\documentclass[12pt]{article} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{amsmath,multicol} \topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip0pt \usepackage[dvips,a5paper,margin=8mm]{geometry} \usepackage{fancybox,color} \newcommand{\ColCadre}[3]{ \boxput*(#1,1){\colorbox{white}{#2}} {\setlength{\fboxsep}{12pt} \fbox{\begin{Bflushleft} #3\end{Bflushleft}}}} \input christ5.tex \parindent0pt \columnseprule0.4pt \begin{document} \parskip0pt \titrage{Racines Carrées}{3eme} \parskip6pt \section{Définitions} \ColCadre{-0.7}{\bf Définition n°1}{ \begin{minipage}{350pt} Soit $a$ un nombre positif. On appelle {\em racine carrée} de $a$ le nombre positif, noté $\sqrt a$, tel que $$\sqrt a^2=a$$ \end{minipage} } \paragraph{Exemples}\subitem{} $$\sqrt4=2\kern1cm\sqrt9=3\kern1cm\sqrt{49}=7$$ \par \ColCadre{-0.7}{\bf Propriété n°1}{ \begin{minipage}{350pt} Soit $a$ un nombre positif. Alors $$\sqrt{a^2}=a$$ \end{minipage} } \paragraph{Exemples} $$\sqrt{6,5^2}=6,5\kern1cm\sqrt{\pi^2}=\pi$$ \paragraph{Applications} $$\Eqalign{ A&=\left(1+\sqrt3\right)^2\kern2cm&B&=\left(\sqrt5+\sqrt7\right)\times\left(\sqrt5-\sqrt7\right)\cr A&=1^2+2\times1\times\sqrt3+\sqrt3^2&B&=\sqrt5^2-\sqrt7^2\cr A&=1+2\sqrt3+3&B&=5-7\cr A&=4+2\sqrt3&B&=-2\cr }$$ \newpage \paragraph{Réduction d'expressions contenant des racines carrées.}\subitem{}\par $$\Eqalign{ A&=3\sqrt2+5\sqrt2\kern2cm&B&=\sqrt3-5\sqrt3\cr A&=(3+5)\sqrt2&B&=(1-5)\sqrt3\cr A&=8\sqrt2&B&=-4\sqrt3\cr }$$ \section{Produit et quotient de racines carrées} \ColCadre{-0.7}{\bf Propriété n°2}{ \begin{minipage}{350pt} $\bullet$ Soit $a$ et $b$ deux nombres positifs. Alors $$\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt b$$ \par $\bullet$ Soit $a$ un nombre positif et $b$ un nombre strictement positif. Alors $$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$$ \end{minipage} } \paragraph{Exemples}\subitem{} $$\Eqalign{ A&=\sqrt{50}\kern2cm&B&=\sqrt{48}\kern2cm&C&=\sqrt{\frac{75}{12}}\cr A&=\sqrt{25\times2}&B&=\sqrt{16\times3}&C&=\sqrt{\frac{25}{4}}\cr A&=\sqrt{25}\times\sqrt2&B&=\sqrt{16}\times\sqrt3&C&=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt4}\cr A&=5\sqrt2&B&=4\sqrt3&C&=\frac52\cr }$$ \par Ces formules de calculs sur les racines carrées sont très intéressantes (surtout celle sur le produit) pour simplifier et réduire des expressions comportant des racines carrées. \paragraph{Exemples}\subitem{} $$\Eqalign{ A&=3\sqrt{32}+2\sqrt{18}\kern2cm&B&=5\sqrt{12}-2\sqrt{75}\cr A&=3\sqrt{16\times2}+2\sqrt{9\times2}&B&=5\sqrt{4\times3}-2\sqrt{25\times3}\cr A&=3\sqrt{16}\times\sqrt2+2\sqrt9\times\sqrt2&B&=5\sqrt4\times\sqrt3-2\sqrt{25}\times\sqrt3\cr A&=3\times4\times\sqrt2+2\times3\times\sqrt2&B&=5\times2\times\sqrt3-2\times5\times\sqrt3\cr A&=12\sqrt2+6\sqrt2&B&=10\sqrt3-10\sqrt3\cr A&=18\sqrt2&B&=0\cr }$$ \section{L'équation \og{}$X^2=a$\fg{}} \ColCadre{-0.7}{\bf Théorème n°1}{ \begin{minipage}{350pt} Soit $a$ un nombre quelconque et $X$ une expression quelconque. \par$\bullet$ Si $a$ est un nombre positif alors l'équation $X^2=a$ admet 2 solutions : $$X=\sqrt a\kern1cm\mbox{et}\kern1cm X=-\sqrt a$$ \par$\bullet$ Si $a$ est nul alors l'équation $X^2=0$ admet 1 seule solution : $$X=0$$ \end{minipage} } \paragraph{Exemples}\subitem{}\par {\em $\bullet$ Résoudre l'équation $x^2=8$.} \par Comme 8 est positif alors $x=\sqrt8$ et $x=-\sqrt8$. \par Une autre façon de voir est d'écrire l'équation sous la forme $x^2-8=0$. $$\Eqalign{ x^2&=8\cr x^2-8&=0\cr (x-\sqrt8)(x+\sqrt8)&=0\cr }$$ et on résoud l'équation-produit ainsi obtenue. \par{\em $\bullet$ Résoudre l'équation $(2x+3)^2=10$.} \par Comme 10 est positif alors $$\Eqalign{ 2x+3&=\sqrt{10}\kern1cm&2x+3&=-\sqrt{10}\cr 2x&=\sqrt{10}-3&2x&=-\sqrt{10}-3\cr x&=\frac{\sqrt{10}-3}2&x&=\frac{-\sqrt{10}-3}{2}\cr }$$ \section{Exercices} {\em $\bullet$ Ecrire $C$ sous la forme $a\sqrt b$, avec $a$ entier relatif et $b$ entier le plus petit possible.} $$\Eqalign{ C&=3\sqrt{20}-7\sqrt5+2\sqrt{125}\cr C&=3\sqrt{4\times5}-7\sqrt5+2\sqrt{25\times5}\cr C&=3\sqrt{4}\times\sqrt5-7\sqrt5+2\sqrt{25}\times\sqrt5\cr C&=3\times2\times\sqrt5-7\sqrt5+2\times5\times\sqrt5\cr C&=6\sqrt5-7\sqrt5+10\sqrt5\cr C&=9\sqrt5\cr }$$ {\em $\bullet$ Simplifier les écritures des expressions $E$ et $F$.} $$\Eqalign{ E&=2\sqrt{27}+\sqrt{18}\times\sqrt6\kern1cm&F&=\left(\sqrt2-4\right)\left(2+4\sqrt2\right)\cr E&=2\sqrt{9\times3}+\sqrt{6\times3}\times\sqrt6&F&=2\sqrt2+4\sqrt2^2-8-16\sqrt2\cr E&=2\sqrt{9}\times\sqrt3+\sqrt6\times\sqrt3\times\sqrt6&F&=2\sqrt2+8-8-16\sqrt2\cr E&=2\times3\times\sqrt3+\sqrt6^2\times\sqrt3&F&=-14\sqrt2\cr E&=6\sqrt3+6\sqrt3\cr E&=12\sqrt3\cr }$$ \rema : De manière générale (Théorème de Pythagore, calcul de longueurs dans un repère orthonormé,\ldots), il faut penser à simplifier les é\-cri\-tu\-res des racines carrées de manière à remarquer plus facilement des particularités. (Par exemple, pour dire que $5\sqrt{12}=2\sqrt{75}$.) \end{document}