\documentclass{article} \usepackage[LGR,T1]{fontenc} \usepackage[greek,frenchb]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[dvips]{graphicx} \topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip10pt \usepackage[dvips,a5paper,margin=8mm]{geometry} \input christ5.tex \columnseprule0.25pt \parindent0pt \begin{document} \parskip0pt \titrage{Fonctions linéaires et affines}{3eme} \parskip6pt \section{Fonctions linéaires} \subsection{Vocabulaire} \begin{defi} Soit $a$ un nombre quelconque \og{}fixe\fg{}. \par Une fonction {\bf linéaire} associe à un nombre $x$ quelconque le nombre $a\times x$. $a$ s'appelle {\em le coefficient} de la fonction linéaire. \par On note le plus souvent une fonction par une lettre, $f$ par exemple. On écrit alors $f(x)=ax$ et on lit {\em $f$ de $x$ égal $a$ fois $x$}. $f(x)$ s'appelle {\em l'image de $x$ par la fonction $f$}. \par On peut également noter la fonction sous la forme $$f:x\mapsto ax$$ \end{defi} \subsection{Représentation graphique} \begin{ppte} Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. On dira alors que $y=ax$ est {\em une équation} de la droite et que $a$ est le {\em coefficient directeur} de la droite. \end{ppte} \par Exemples \par\compo{1}{memofonction}{1}{{\em Représenter graphiquement les fonctions $f:x\mapsto0.5x$ et $g$ définie par $g(x)=-3x$.} \par $f$ est une fonction linéaire donc sa représentation graphique passe par l'origine du repère.\\Je choisis $x=1$, son image est $f(1)=~0,5\times1=0,5$. Je place le point de coordonnées $(1;0,5)$. \vspace{5mm} \par $g$ est une fonction linéaire donc sa représentation graphique passe par l'origine du repère.\\Je choisis $x=-1$, son image est $g(-1)=-3\times(-1)=3$. Je place le point de coordonnées $(-1;3)$. } \newpage \section{Fonctions affines} \subsection{Vocabulaire} \begin{defi} Soit $a$ et $b$ deux nombres quelconques \og{}fixes\fg{}. \par Une fonction {\bf affine} associe à un nombre $x$ quelconque le nombre $a\times x+b$. \par On note le plus souvent une fonction par une lettre, $f$ par exemple. On écrit alors $f(x)=ax+b$ et on lit {\em $f$ de $x$ égal $a$ fois $x$ plus $b$}. $f(x)$ s'appelle {\em l'image de $x$ par la fonction $f$}. \par On peut également noter la fonction sous la forme $$f:x\mapsto ax+b$$ \end{defi} \par Remarque : une fonction linéaire est un cas particulier d'une fonction affine avec $b=0$. \subsection{Représentation graphique} \begin{ppte} Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction affine est une droite passant par le point de coordonnées $(0;b)$ et parallèle à la représentation graphique de la fonction linéaire associée $g:x\mapsto ax$. On dira alors que $y=ax+b$ est {\em une équation} de la droite. \\ $a$ s'appelle {\em le coefficient directeur de la droite} et $b$ s'appelle {\em l'ordonnée à l'origine}. \end{ppte} \par Exemples \par\compo{2}{memofonction}{1}{{\em Représenter graphiquement les fonctions $f:x\mapsto0.5x-2$ et $g$ définie par $g(x)=-3x+4$.} \par $f$ est une fonction affine donc sa représentation graphique passe par le point de coordonnées $(0;-2)$. \par Je choisis $x=1$, son image est $f(1)=~0,5\times1-2=-1,5$. Je place le point de coordonnées $(1;-1,5)$. \vspace{5mm} \par $g$ est une fonction affine donc sa représentation graphique passe par le point de coordonnées $(0;4)$. \par Je choisis $x=2$, son image est $g(2)=~-3\times(2)+4=-2$. Je place le point de coordonnées $(2;-2)$. } \newpage \section{Applications des fonctions linéaires} Une fonction linéaire représente une situation de proportionnalité. Elle s'applique donc aux \og{}pourcentages\fg{}. \begin{ppte}{}\par \begin{itemize} \item Prendre $t$\% d'un nombre $x$, c'est multiplier ce nombre $x$ par $\dfrac{t}{100}$. \item Augmenter un nombre $x$ de $t$\%, c'est multiplier ce nombre $x$ par $1+\dfrac{t}{100}$. \item Réduire un nombre $x$ de $t$\%, c'est multiplier ce nombre $x$ par $1-\dfrac{t}{100}$. \end{itemize} \end{ppte} \section{Exercice} {\em Un opérateur téléphonique propose à ses clients trois formules de facturation mensuelle des communications. \begin{description} \item[Formule 1] : 0,12\textgreek{\euro} la minute. \item[Formule 2] : un abonnement fixe de 4,8\textgreek{\euro} et 0,04\textgreek{\euro} par minute. \item[Formule 3] : un forfait de 10\textgreek{\euro} pour $3\,h$ de communications. \end{description} } \begin{myenumerate} \item{\em Calcule le montant des factures des communications selon les trois formules pour des durées de $35\,min$, de $1\,h\,20\,min$ et $2\,h\,45\min$.} \par On remarque que $1\,h\,20\,min=80\,min$ et $2\,h\,45\,min=165\,min$. On obtient le tableau suivant : {\small $$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}&$35\,min$&$1\,h\,20\,min$&$2\,h\,45\,min$\\ \hline Formule 1&$0,12\times35=4,2$&$0,12\times80=9,6$&$0,12\times165=19,8$\\ \hline Formule 2&$\Eqalign{ 0,04\times35&=1,4\cr 1,4+4,8&=6,2\cr }$&$\Eqalign{ 0,04\times80&=3,2\cr 3,2+4,8&=8\cr }$&$\Eqalign{ 0,04\times165&=6,6\cr 6,6+4,8&=11,2\cr }$\\ \hline Formule 3&10&10&10\\ \hline \end{tabular} $$ } \item{\em Cette question a pour but de rechercher la formule la plus avantageuse selon la durée des communications téléphoniques comprises entre 0 et 3 heures.} \begin{enumerate} \item{\em Soit $x$ la durée, en minutes, des communications.\par Exprime, en fonction de $x$, le coût des communications selon les différentes formules; on appellera $f_1(x)$, $f_2(x)$, $f_3(x)$ les prix obtenus en appliquant respectivement la formules 1, la formule 2 et la formule 3.} \par On a donc : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $f_1(x)=0,12\times x$. \item[$\bullet$] $f_2(x)=0,04\times x+4,8$ (il ne faut pas oublier l'abonnement.) \item[$\bullet$] $f_3(x)=10$ (on paie toujours la même chose quelque soit la durée de communications.) \end{itemize} \item {\em Sur une feuille de papier millimétré, on considère un repère orthogonal. L'origine est placée en bas à gauche de la feuille. Sur l'axe horizontal, $1\,cm$ représente $20\,min$; sur l'axe vertical, $1\,cm$ représente 20\textgreek{\euro}. \par Trace les représentations graphiques de $f_1$, $f_2$ et $f_3$ en se limitant au cas où $0\leqslant x\leqslant180$.} $$\includegraphics{memofonction.3}$$ \item\label{quest}{\em Utilise le graphique pour répondre aux questions suivantes :} \begin{enumerate} \item\label{questa}{\em Quelle est la formule la plus avantageuse pour $1\,h\,30\min$ ?} Regardons les points des 3 droites d'abscisse $90\,min$ : c'est la formule 2 qui est la plus avantageuse. \item\label{questb}{\em Pour quelle durée de communications les formules 1 et 2 ont-elles le même coût ?} On regarde l'abscisse du point d'intersection des droites représentant $f_1$ et $f_2$ : $60\,min$. \item\label{questc}{\em Pour quelles durées de communication la formule 3 est-elle la plus avantageuse ?} On regarde à partir de quelle durée la droite représentant $f_3$ est \og{}en dessous\fg{} des deux autres droites : à partir de $130\,min$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{myenumerate} \par Remarque : Les résultats de la question \ref{quest} peuvent être retrouvés par le calculs. \begin{itemize} \item pour la question \ref{questa}, en comparant $f_1(90)$, $f_2(90)$, $f_3(90)$; \item pour la question \ref{questb}, en résolvant l'équation $f_1(x)=f_2(x)$; \item pour la question \ref{questc}, en résolvant les inéquations $f_3(x)\leqslant f_1(x)$ et $f_3(x)\leqslant f_2(x)$. \end{itemize} \end{document}