RLC_libres_doc.tex

\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\fancyhf{}
\fancyhead[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\texttt{PSTricks}}
\fancyfoot[C]{février 2 003}
\fancyfoot[R]{Oscillations libres}
%re-définition d'enumerate
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi)}
\renewcommand{\labelenumii}{\bf\theenumii)}
\renewcommand{\labelenumiii}{\theenumiii)}
\makeatletter
\def\greek#1{\expandafter\@greek\csname c@#1\endcsname}
\def\@greek#1{\ifcase#1\or$\ALPHA$\or$\BETA$\or$\GAMMA$\or$\DELTA$\fi}%
\renewcommand{\theenumiii}{\greek{enumiii}}
% fin enumerate
\makeatother
\pagestyle{fancy}
\date{15 février 2003}
\title{Étude des oscillations électriques\\
avec \texttt{PSTricks}}
\author{Manuel Luque}
\newpsstyle{MonStyleY11}{plotpoints=1000,linecolor=red}
\newpsstyle{MonStyleY12}{plotpoints=1000,linecolor=blue}
\newpsstyle{MonStyleY13}{plotpoints=1000,linecolor=green}
\newpsstyle{MonStyleY14}{plotpoints=1000,linecolor=yellow}
\newpsstyle{couleurVide}{fillstyle=none,framearc=0.05,linestyle=none}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psset{datas=false}
\rput(0,0){\psRLC[styleY1=MonStyleY11,rv=10,sinus=true]}
\rput(0,0){\psRLC[styleY1=MonStyleY12,rv=50,%
        stylescreen=couleurVide,stylecadre=couleurVide]}
\rput(0,0){\psRLC[styleY1=MonStyleY13,rv=200,%
        stylescreen=couleurVide,stylecadre=couleurVide]}
\rput(0,0){\psRLC[styleY1=MonStyleY14,rv=800,%
        stylescreen=couleurVide,stylecadre=couleurVide]}
\end{pspicture}
\end{center}
\section{Le problème}
Le commutateur\footnote{Le schéma a été réalisé avec \texttt{pst-circ}, ce package peut-être
 obtenu chez : http://christophe.jorssen.free.fr/} est sur le plot 1 le condensateur se charge, on
bascule le commutateur sur le plot 2 pour le décharger. C'est un
problème que j'ai déjà traité avec \texttt{PSTricks}\footnote{%
\texttt{http://members.aol.com/Mluque5130/index.htm}}, je le
reprends aujourd'hui en le limitant au cas des oscillations
libres, car c'est la partie essentielle des oscillations électriques du nouveau programme de
physique de terminale S.
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-0.5)(5,5)
\pnode(0,0){M}
\ground(M)
\uput[135](M){M}
\pnode(-3,0){N}
\pnode(-3,4.5){P}
\pnode(3,0){B}
\node(B)
\uput[-90](B){B}
\pnode(3,4.5){B1}
\pnode(-0.5,4.5){K1}
\pnode(0,3.5){K}
\uput[90](K1){1}
\pnode(0.5,4.5){K2}
\uput[90](K2){2}
\pnode(0,3){A}
\node(A)
\uput[180](A){A}
\pnode(1.5,3){Y1}
\pnode(4.5,0){Y2}
\Ucc[tension,dipoleconvention=generator,labeloffset=1.2](N)(P){E}
\wire(P)(K1)
\wire(N)(M)
\wire(K2)(B1)
\resistor[intensitylabel=$i$,intensitylabeloffset=0.3,intensitywidth=0.5mm,%
tensionlabel=$u_R$,tensionoffset=-0.8,tensionlabeloffset=-1.1,dipoleconvention=generator](M)(B){$r'$}%
\capacitor[tensionlabel=$u_C$,tensionoffset=-0.8,tensionlabeloffset=-1.1,intensitylabel=$i$,intensitylabeloffset=0.3](K)(M){C}
\coil[intensitylabel=$i$,dipolestyle=curved,intensitylabeloffset=0.3,labeloffset=-1](B)(B1){$(L,r)$}
\Tswitch(K1)(K2)(K){K}
\pscurve[linecolor=red]{->}(A)(0.33,3.15)(0.66,2.85)(Y1)
\pscurve[linecolor=red]{->}(B)(3.25,0.25)(4,-0.2)(Y2)
\uput[0](Y1){$Y_1$}
\uput[0](Y2){$Y_2$}
\end{pspicture}
\end{center}
\caption{Montage pratique}
\end{figure}
Soit $R=r+r'$ la résistance totale du circuit. On
établira\footnote{Voir par exemple le petit livre des éditions \textsc{Vuibert Prépa}
 : \textit{Oscillations.}} sans peine l'équation différentielle du circuit en
fonction de la tension $u$ aux bornes du condensateur.
$$\ddot{u}+2\lambda \dot{u} + \omega_0^2u=0$$
Après avoir posé :
$$2\lambda=\frac{R}{L},\ \omega_0^2=\frac{1}{LC}\ \textrm{et}\ R_C=2\sqrt{\frac{L}{C}}$$
Je me propose d'écrire une commande en \texttt{PSTricks} simulant
ce que l'on observerait sur l'écran d'un oscilloscope possédant deux voies
$Y_1$ et $Y_2$ (et même plus, on verra par la suite), en incluant aussi la possibilité d'inverser,
d'additionner et de soustraire les voies, ainsi que de passer en mode
$XY$. La base de temps et les sensibilités verticales
étant bien sûr paramétrables, par l'intermédiaire de cette
commande.
 
Rappelons les trois régimes possibles suivant la valeur de la
résistance totale $R$ du circuit.
\begin{enumerate}
  \item \textbf{Régime pseudo-périodique :} $R<R_C$. Les
  conditions initiales seront les suivantes~:
$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
    u(0)&=&E\\
  \displaystyle\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(0)&=&0
\end{array}
\right.
$$
En posant $\Omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}$, les solutions
sont~:
\begin{equation*}
u(t)=E\mathrm{e}^{-\lambda t}\left(\cos\Omega t+\frac{\lambda}{\Omega}\sin\Omega
t\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
i(t)=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=-CE\mathrm{e}^{-\lambda t}
    \left(\Omega-\frac{\lambda^2}{\Omega}\right)\sin\Omega t
\end{equation*}
  \item \textbf{Régime critique :} $R=R_C$.
\begin{equation*}
u(t)=E\mathrm{e}^{-\lambda t}\left(\lambda t+1\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
i(t)=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=-CE\lambda^2t\mathrm{e}^{-\lambda t}
\end{equation*}
  \item \textbf{Régime apériodique :} $R>R_C$. On pose :
$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
    r_1&=&-\lambda+\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}\\
    r_2&=&-\lambda-\sqrt{\lambda^2-\omega_0^2}\\
    a&=&-\dfrac{r_2E}{r_1-r_2}\\
    b&=&\dfrac{r_1E}{r_1-r_2}
\end{array}
\right.
$$
\begin{equation*}
u(t)=a\mathrm{e}^{r_1t}+b\mathrm{e}^{r_2t}
\end{equation*}
\begin{equation*}
i(t)=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=C\left(ar_1\mathrm{e}^{r_1t}+br_2\mathrm{e}^{r_2t}\right)
\end{equation*}
\end{enumerate}
Pour représenter l'image de l'intensité, on visualise la tension
aux bornes de $r'$, soit avec les conventions d'orientation :
$$u_{r'}=-r'i=-r'C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$$
Pour retrouver le ``bon signe'' on positionnera le paramètre
\texttt{invert2=true}.
\section{La définition de la commande}
\subsection{Tension aux bornes du condensateur sur la voie Y1}
\begin{CenterExample}[label=tension aux bornes de C]
\psRLC[rv=10,enveloppe=true]
\end{CenterExample}
\begin{CenterExample}[label=tension aux bornes de C très amortie]
\psRLC[rv=100]
\end{CenterExample}
\begin{CenterExample}[label=tension aux bornes de C en régime critique]
\psRLC[rv=400]
\end{CenterExample}
\subsection{Tension aux bornes du condensateur sur la voie Y1 et tension aux bornes de $r'$ sur la voie Y2}
\subsubsection{La voie Y2 n'est pas inversée}
{\psset{i=true}
Le paramètre \texttt{i=true} est passé en option générale si
plusieurs figures doivent être dessinées avec les deux voies, ou
bien rendu actif sur une seule commande, comme dans l'exemple qui suit.
\begin{verbatim}
\psset{i=true}
\end{verbatim}
Comme sur l'exemple suivant.
\begin{CenterExample}[label=tension aux bornes de C et de r']
\psRLC[rv=10,Y2=0.1,i=true]
\end{CenterExample}
\begin{CenterExample}[label=tension aux bornes de C et de r']
\psRLC[rv=100,Y2=0.5]
\end{CenterExample}
\begin{CenterExample}[label=tension aux bornes de C et de r' en régime critique]
\psRLC[rv=400]
\end{CenterExample}
}
\subsubsection{La voie Y2 est inversée}
Comme dans l'exemple précédent, les paramètres
\texttt{i=true,invertY2=true} sont passés en option générale si
plusieurs figures doivent être dessinées avec les deux voies, ou
bien rendus actifs sur une seule commande, ainsi que le montre l'exemple suivant.
{\psset{i=true,invertY2=true}
\begin{verbatim}
\psset{i=true,invertY2=true}
\end{verbatim}
\begin{CenterExample}[label=tension aux bornes de C et de r' voie Y2 inversée]
\psRLC[rv=10,Y2=0.1,invertY2=true]
\end{CenterExample}
\begin{CenterExample}[label=tension aux bornes de C et de r' voie Y2 inversée]
\psRLC[rv=100,Y2=0.5,invertY2=true]
\end{CenterExample}
\begin{CenterExample}[label=tension aux bornes de C et de r' voie Y2 inversée]
\psRLC[rv=400]
\end{CenterExample}
}
\subsection{Mode XY : intensité en abscisse et tension en
ordonnée}
\begin{CenterExample}[label=mode XY]
\psRLC[rv=10,XY=true,Y2=0.1]
\end{CenterExample}
\section{Additionner ou soustraire les voies}
Cette fonction exclue toutes les autres. Le résultat de l'addition
ou de la soustraction est représenté sur la Y1. Pour
soustraire $Y_1-Y_2$, inverser la voie Y2 puis additionner. De
même pour faire $Y_2-Y_1$ inverser Y1. Le résultat sera
exact si la sensibilité verticale est la même pour les deux voies.
\begin{CenterExample}[label=mode XY]
\psRLC[rv=100,add=true,invertY2=true]
\end{CenterExample}
\section{La possibilité de représenter en surimpression, la trace de la tension
sinusoïdale de période $T_0$}
\begin{CenterExample}[label=Surimpression de la tension sinusoïdale]
\psRLC[rv=20,sinus=true]
\end{CenterExample}
\section{La possibilité de dessiner l'enveloppe de la tension}
Cette possibilité a été illustrée au tout début. Elle n'a
d'intérêt que pour les oscillations pseudo-périodiques. En voici
un autre exemple.
\begin{CenterExample}[label=Surimpression de la tension sinusoïdale]
\psRLC[rb=5,rv=5,enveloppe=true,L=0.1,balayage=5]
\end{CenterExample}
\section{Les paramètres}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|l|}\hline
 \textbf{Paramètres}& \textbf{par défaut}&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{particularités}}\\\hline
E&5&tension initiale en V\\\hline
rb&10&résistance de la bobine en $\Omega$\\\hline
rv&10&résistance additionnelle variable en $\Omega$\\\hline
L&0,040&inductance de la bobine en H\\\hline
C&1e-6 $(1.10^{-6})$&capacité du condensateur en F\\\hline
balayage&1& en ms/div\\\hline
Y1&2&sensibilité verticale de la voie 1 en V/div\\\hline
Y2&2&sensibilité verticale de la voie 2 en V/div\\\hline
offsetY1&0&décalage vertical de Y1 en div\\ \hline
offsetY2&0&décalage vertical de Y2 en div\\ \hline
invertY1&false& pour inverser la voie Y1 (true)\\ \hline
invertY2&false& pour inverser la voie Y2 (true)\\ \hline
XY&false& mode XY : Y2 en abscisse et Y1 en ordonnée\\ \hline
i&false&tension aux bornes de $r'$ sur la voie Y2\\ \hline
add&true&additionne les  voies, met le résultat sur Y1\\ \hline
sinus&false& avec \texttt{true}, met la sinusoïde en
surimpression\\ \hline
enveloppe&false&\begin{tabular}{c}avec \texttt{true}, \\ dessine l'enveloppe des
oscillations amorties\end{tabular}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\section{Décaler les deux voies pour faire des comparaisons}
\begin{CenterExample}[label=tension aux bornes de C et de r' voie Y2 inversée]
{\psset{i=true,datas=false}
\psRLC[E=10,Y2=1,Y1=5,invertY2=true,offsetY1=2,offsetY2=-2]
}
\end{CenterExample}
\section{Modifier le design de l'oscilloscope, des courbes etc.}
La couleur de fond de l'écran, la couleur et l'épaisseur du trait
des oscillogrammes de chaque voie, la transparence de l'enveloppe
sont définis par un style. Dans le fichier source, au début du fichier on a :
\begin{verbatim}
\newpsstyle{colorVert}{plotpoints=10000,linecolor=Vert}
\newpsstyle{colorBlue}{plotpoints=10000,linecolor=blue}
\newpsstyle{colorRed}{plotpoints=10000,linecolor=red}
\newpsstyle{colorscreen}{fillstyle=solid,fillcolor=MonGris}
\newpsstyle{enveloppeJaune}{fillstyle=vlines,hatchcolor=yellow,%
hatchsep=1\pslinewidth,hatchangle=0,hatchwidth=0.1\pslinewidth}
\newpsstyle{colorcadre}{linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=blue,framearc=0.05}
\end{verbatim}
Ils définissent dans l'ordre :
\begin{itemize}
  \item le nombre de points calculés, la couleur du tracé de :
\begin{itemize}
  \item voie Y1 ;
  \item voie Y2 ;
  \item mode XY.
\end{itemize}
  \item la couleur de fond de l'écran ;
  \item le style de l'enveloppe.
\end{itemize}
Ces paramètres sont modifiables en créant son propre style, par
exemple :
\begin{verbatim}
\newpsstyle{MonStyleY1}{plotpoints=1000,linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=1mm}
\end{verbatim}
\newpsstyle{MonStyleY1}{plotpoints=1000,linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=1mm}
\begin{CenterExample}[label=MonStyleY1]
\psRLC[styleY1=MonStyleY1,L=0.1,datas=false]
\end{CenterExample}
 
\begin{tabular}{|l|c|l|}\hline
 \textbf{style}& \textbf{par défaut}&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{particularités}}\\\hline
 styleY1&colorVert&tracé de Y1\\ \hline
 styleY2&colorBlue&tracé de Y2\\ \hline
 styleXY&colorRed&tracé en mode XY\\ \hline
 stylescreen&colorscreen&couleur du fond de l'écran\\ \hline
 styleenveloppe&enveloppeJaune&couleur de l'enveloppe\\ \hline
 stylecadre&colorcadre&style du cadre\\ \hline
\end{tabular}
\section{Représenter plusieurs courbes sur l'écran}
Il faut d'abord positionner l'option \texttt{datas=false}, puis
placer tous les écran ou même endroit et définir un style
différent pour chaque voie.
\begin{verbatim}
\newpsstyle{MonStyleY11}{plotpoints=1000,linecolor=red}
\newpsstyle{MonStyleY12}{plotpoints=1000,linecolor=blue}
\newpsstyle{MonStyleY13}{plotpoints=1000,linecolor=green}
\newpsstyle{couleurVide}{fillstyle=none}
\end{verbatim}
\begin{CenterExample}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psset{datas=false}
\rput(0,0){\psRLC[styleY1=MonStyleY11,rv=10,sinus=true]}
\rput(0,0){\psRLC[styleY1=MonStyleY12,rv=50,%
        stylescreen=couleurVide,stylecadre=couleurVide]}
\rput(0,0){\psRLC[styleY1=MonStyleY13,rv=200,%
        stylescreen=couleurVide,stylecadre=couleurVide]}
\rput(0,0){\psRLC[styleY1=MonStyleY14,rv=800,%
        stylescreen=couleurVide,stylecadre=couleurVide]}
\end{pspicture}
\end{CenterExample}
\end{document}