\exo {Aire entre deux courbes} \itemnum Soit $P$ la fonction définie sur $\rset $ par $$ P (x) = 2x^3 - x^2 - 4x +3. $$ \itemitemalph Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, on a~: $$ P (x) = (x - 1)^2 (2x + 3). $$ \itemitemalph Résoudre l'équation d'inconnue réelle $x$~: \qquad $P (x) = 0$. \catcode`\|=12 \input $HOME/tex_doc/format/pstricks/pstricks.tex \input $HOME/tex_doc/format/arc.tex \itemnum Dans un repère orthogonal $(O, \vec \imath , \vec \jmath )$ d'unités graphiques $1\cm $ en abscisse et $0, 5\cm $ en ordonnée, on considère les arcs de courbe $\Arc {ACB}$ et $\Arc {ADB} $ (voir la figure ci-dessous) \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/integr/} $$ \superboxepsillustrate {aire_006.ps} $$ \itemitem {--} l'arc $\Arc {ACB}$ est une partie de la courbe représentative $C_1$ de la fonction $f$ définie par $$ f (x) = 2x^3 + 3x^2 + 6 $$ \itemitem {--} l'arc $\Arc {ADB}$ est une partie de la courbe représentative $C_2$ de la fonction $g$ définie par $$ g (x) = 4x^2 + 4x + 3. $$ \itemitemalph Montrer que l'équation $f (x) = g (x)$ se ramène à l'équation $P (x) = 0$ définie à la question {\bf 1}. En déduire les coordonnées des points d'intersection $A$ et $B$ des courbes $C_1$ et $C_2$. \itemitemalph Calculer en $\cm ^2$ l'aire de la portion de plan comprise entre les deux arcs (hachurée sur la figure). On donnera la valeur exacte puis une valeur arrondie au $\mm ^2$. \finexo \corrige \itemalphnum On vérifie facilement que $(x-1)^2 (2x+3) = 2x^3 - x^2 -4x +3$, ce qui prouve que \dresultat {P (x) = (x-1)^2 (2x+3)}. \itemalph Il vient $$ P (x) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-1)^2 (2x+3) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-1)^2 = 0 \quad {\rm ou} \quad (2x+3) = 0 $$ On trouve donc deux solutions~: \tresultat {$x = 1$ et x = $-3/2$}. \itemalphnum Il vient $$ f (x) = g (x) \quad \Longleftrightarrow \quad (2x^3 + 3x^2 + 6) - (4x^2 + 4x + 3) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 2x^3 - x^2 - 4x + 3 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \dresultat {P (x) = 0} $$ Et rechercher l'intersection des courbes $C_1$ et $C_2$ revient à résoudre le système $$\displaylines { \cases { y = f (x) \cr y = g (x) \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { g (x) = f (x) \cr y = g (x) \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { 0 = f (x) - g (x) \cr y = g (x) \cr } \cr \Longleftrightarrow \quad \cases { 0 = P (x) \cr y = g (x) \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { x = 1 \quad {\rm ou} \quad x = -3/2 \cr y = g (x) \cr } }$$ Et comme $g (1) = 11$ et $g (-3/2) = 6$, on en déduit les deux points d'intersection~: \dresultat {A (-3/2 ; 6)} et \dresultat {B (1; 11)}. \itemalph On a, en unité d'aire, $$\eqalign { {\cal A} &= \int _{-3/2}^1 f (x) - g (x) \, dx = \int _{-3/2}^1 P (x) \, dx = \int _{-3/2}^1 2x^3 - x^2 - 4x + 3 \, dx \cr &= \Big[ 2 {x^4\over 4} - {x^3\over 3} -4 {x^2\over 2} + 3x\Big] _{-3/2}^1 = \Big[ {x^4\over 2} - {x^3\over 3} -2 x^2 + 3x\Big] _{-3/2}^1 = \Big( {1\over 2} - {1\over 3} - 2 + 3\Big) - \Big( {81\over 32} + {27\over 24} - {9\over 2} - {9\over2} \Big) }$$ Soit ${\cal A} = {625\over 96}$ en unité d'aire. Or 1~ua $= 0, 5 \cm \times 1 \cm = 0, 5\cm ^2$, d'où $$ \dresultat {{\cal A} = {625\over 192}\cm ^2 \approx 3, 255 \cm ^2 \approx 325,5 \mm ^2 } $$ (car $1\cm = 10\mm $, donc $1\cm ^2 = 10^2 \mm ^2$) \fincorrige