\exo {Recherche d'asymptote} On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x \neq -2$ par $$ f (x) = {x^2 - x - 6 + 2e^{-x} \over 2+x}. $$ \itemnum Déterminer les 3~constantes réelles $a$, $b$ et $c$ telles que l'on ait, pour tout $x\neq -2$~: $$ f (x) = ax + b + {ce^{-x} \over 2+x}. $$ \itemnum En déduire que la droite d'équation $y = x-3$ est asymptote à la courbe de $f$ en $+\infty $. \finexo \corrige {} \itemnum Par identification, il est assez clair que l'on devra avoir $$ {x^2 - x - 6\over 2+x} = ax+b \qquad {\rm et} \qquad {2e^{-x}\over 2+x} = {ce^{-x}\over 2+x}. $$ On a donc immédiatement \dresultat {c=2}. Pour déterminer $a$ et $b$, on peut~: soit effectuer la division euclidienne de $x^2-x-6$ par $2+x$, soit procéder par réduction au même dénominateur puis identification des coefficients~: $$\displaylines { {x^2 - x - 6\over 2+x} = ax+b \quad \Longleftrightarrow \quad {x^2 - x - 6\over 2+x} = {(ax+b)(2+x) \over 2+x} = {ax^2 + (2a+b) x + 2b\over 2+x} \cr \Longleftrightarrow \quad x^2 - x - 6 = ax^2 + (2a+b) x + 2b \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { 1 = a \cr -1 = 2a + b \cr -6 = 2b \cr } \cr }$$ d'où l'on tire \dresultat {(a, b) = (1, -3)}, soit encore \dresultat {f (x) = x - 3 + {2e^{-x} \over 2+x}}. \itemnum On a alors $$ \lim _{x\to +\infty } \big( f (x) - (x-3)\big) = \lim _{x\to +\infty } {2e^{-x} \over 2+x} = 0 \qquad {\rm puisque} \qquad \cases { \lim _{+\infty } e^{-x} = 0 \cr \lim _{+\infty } 2 + x = +\infty \cr } $$ ce qui prouve que la droite d'équation $y=x-3$ est \tresultat {asymptote en $+\infty $ à la courbe de $f$}. \fincorrige