\exo{Transformée de Laplace et équation différentielle, {\rm bts mai}, {\sl 1998}} \let \partie \centerpartie L'étude d'un mouvement amorti amène à considérer la fonction $f$ telle que \itemitemalph $f (t) = 0$ pour $t<0$. \itemitemalph $f'' (t) + 2 f' (t) + 2 f (t) = e^{-t}$ pour $t>0$. \itemitemalph $f (0) = 1$ et $f' (0) = 0$. \partie{A -- Détermination de la transformée de Laplace de $f$} Nous allons utiliser la transformée de Laplace pour résoudre cette équation différentielle. Pour cela, nous admettons que $f$ et ses dérivées premières et seconde admettent des transformées de Laplace. On note $F$ la transformée de $f$. ($F (p) = {\cal L} [f (t)]$). \remarque Je vous ai recopié {\sl texto\/} l'énoncé de l'examen. Avec les notations habituelles utilisées en cours, le contenu de la dernière parenthèse serait plutôt~: $F (p) = {\cal L}_f (p)$. \finremarque \itemnum Calculer en fonction de $F (p)$~: $$ {\cal L} \big[ f'' (t)\big] , \qquad {\cal L} \big[ f' (t)\big] , \qquad {\rm et} \qquad {\cal L} \big[ f'' (t) + 2 f' (t) + 2f (t)\big] , $$ \itemnum Calculer ${\cal L} \big[ e^{-t} U (t)\big] $ où $U$ est l'échelon unité. \itemnum En déduire $F (p)$. \partie{B -- Détermination de $f$} \itemnum Vérifier que $$ {1 \over (p+1) (p^2 + 2p + 2)} = {1 \over p+1} - {p+1 \over p^2 + 2p + 2}, $$ puis montrer que $$ F (p) = {1 \over p+1} + {1 \over (p+1)^2 + 1}. $$ \itemnum Déduire du résultat précédent l'expression de $f (t)$ pour $t$ positif. \finexo \corrige{} \let \partie \llappartie \partie{A} % \alphnum\ On a $$\eqalign{ {\cal L} [f'' (t)] &= p {\cal L} [f' (t)] - f' (0^+) \qquad {\rm avec} \qquad f' (0^+) = 0 \cr &= p \left( p {\cal L} [f (t)] - f (0^+) \right) \qquad {\rm avec} \qquad f (0^+) = 1 \cr }$$ Soit finalement, en notant $F (p) = {\cal L} [f (t)]$, \dresultat{{\cal L} [f'' (t)] = p^2 F (p) - p}. \alph\ Dans la deuxième partie du calcul précédent, on a montré que \dresultat{{\cal L} [f' (t) = p F (p) - 1]}. \alph\ Il vient alors, pour le dernier calcul $$\eqalign{ {\cal L} [f'' (t) + 2 f' (t) + 2f (t)] &= {\cal L} [f'' (t)] + 2 {\cal L} [f' (t)] + 2 {\cal L} [f (t)] \cr &= p^2 F (p) - p + 2 (p F (p) - 1) + 2 F (p) \cr &= (p^2 + 2p + 2) F (p) - (p+2) \cr }$$ Finalement, on a \dresultat{{\cal L} [f'' (t) + 2 f' (t) + 2f (t)] = (p^2 + 2p + 2) F (p) - (p+2)}. \num\ Pour cette question, il suffit de se reporter au formulaire, qui affirme que, si $U$ désigne la fonction échelon, alors $$\dresultat{ {\cal L} [e^{-t} U (t)] = {1 \over p+1} }$$ \num\ On applique la transformée de Laplace à l'hypothèse différentielle {\sl b\/}) donnée en introduction du problème. Il vient alors~: $$\displaylines{ f'' (t) + 2 f' (t) + 2 f (t) = e^{-t} %\cr \qquad \Longleftrightarrow \qquad {\cal L} [f'' (t) + 2 f' (t) + 2f (t)] = {\cal L} [e^{-t}] \cr \Longleftrightarrow \qquad (p^2 + 2p + 2) F (p) - (p+2) = {1 \over p+1} \cr \Longleftrightarrow \qquad F (p) = {1 \over p^2 + 2p + 2} \times \left( {1 \over p+1} + (p+2)\right) \cr }$$ Finalement, on a \dresultat{F (p) = {1 \over (p^2 + 2p + 2) (p+1)} + {p+2 \over p^2 + 2p + 2}}. \partie{B} % \num\ On vérifie facilement, par réduction au même dénominateur, que $$\dresultat{ {1 \over (p+1) (p^2 + 2p + 2)} = {1 \over p+1} - {p+1 \over p^2 + 2p + 2}, }$$ En combinant avec l'expression de $F (p)$ obtenue dans la partie {\bf A.}, on obtient $$\displaylines{ F (p) = {1 \over p+1} - {p+1 \over p^2 + 2p + 2} + {p+2 \over p^2 + 2p + 2} = {1 \over p+1} + {1 \over p^2 + 2p + 2} \cr {\rm soit} \qquad \dresultat{ F (p) = {1 \over p+1} + {1 \over (p+1)^2 + 1}. } }$$ \num\ Par lecture inverse du tableau des transformées de Laplace, on voit que l'original de $1 / (p+1)$ est $e^{-t} U (t)$. Pour $1 / \big( (p+1)^2 + 1\big) $, il faut invoquer un théorème de changement d'échelle~: si $F (p) = 1 / (p ^2 + 1)$, alors l'original est $\sin (t) \times U (t)$. Mais dans notre cas, c'est plutôt $F (p+1)$ que l'on a. On sait alors que l'original est la fonction $h$ définie par $h (t) = e^{-t} \sin (t) \times U (t)$. Finalement, l'original $f$ cherchée est somme des deux originaux particuliers ci-dessus, soit $$\dresultat{ f (t) = e^{-t} \times U (t) \times (1 + \sin (t) ) }$$ \fincorrige