\exo{Second ordre, avec une exponentielle} On considère l'équation différentielle $$ y'' + 4y' + 3y = e^{-2x} \leqno (E) $$ dans laquelle $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\rset$. \itemnum Résoudre sur $\rset$ l'équation $$ y'' + 4y' + 3y = 0 \leqno (E_0) $$ \itemnum Déterminer une solution particulière de $(E)$ de la forme $A e^{-2x}$ où $A$ est un réel que l'on déterminera. \itemnum En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$. \itemnum Déterminer la solution particulière $f$ de $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $$ f (0) = 0 \qquad {\rm et} \qquad f' (0) = 0. $$ \finexo \corrige{} \itemnum L'équation caractéristique de $(E_0)$ est $r^2 + 4r + 3 = 0$, et elle possède deux racines réelles~: $r_1 = -1$ et $r_2 = -3$. L'ensemble des solutions de $(E_0)$ est donc constitué de toutes les fonctions pouvant s'écrire sous la forme $$ \dresultat{y (x) = A e^{-x} + B e^{-3x}} \qquad \hbox{où $A$ et $B$ sont des constantes réelles quelconques.} $$ \itemnum Si $h (x) = A e^{-2x}$, alors $h' (x) = -2A e^{-2x}$ et $h'' (x) = 4A e^{-2x}$. On aura alors $h'' + 4h' +3h = -A e^{-2x}$. Pour que $h$ soit solution de $(E)$, il faut prendre $A = -1$. La solution particulière cherchée est donc la fonction $h$ définie sur $\rset$ par \mresultat{h (x) = -e^{-2x}}. \itemnum L'ensemble des solutions de $(E)$ est constitué de toutes les fonctions pouvant s'écrire sous la forme $$ \dresultat{y (x) = -e^{-2x} + A e^{-x} + B e^{-3x}} $$ où $A$ et $B$ sont des constantes réelles quelconques. \itemnum Si $f$ est une solution de $(E)$, alors elle admet une écriture comme ci-dessus, et on aura $f' (x) = 2e^{-2x} - A e^{-x} - 3B e^{-3x}$. Finalement, on aura donc $$ f (0) = -1 + A + B \qquad {\rm et} \qquad f' (0) = 2 - A - 3B. $$ Pour que $f$ vérifie les conditions initiales imposées, $A$ et $B$ doivent vérifier le système $$ \cases{ A + B = 1 \cr A + 3B = 2 \cr} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases{ B = 1/2 \cr A = 1/2 \cr} $$ d'où la solution cherchée \dresultat{f (x) = -e^{-2x} + {1\over2} e^{-x} - {1\over2} e^{-3x}} \fincorrige