\paragraphe{Développement limité d'une fonction en $0$} \everymath = {\displaystyle } Soit $f$ une fonction définie en $0$ et sur un voisinage de $0$. On dit que $f$ {\sl admet un développement limité d'ordre $n$ en $0$} s'il existe des nombres réels $a_0, a_1, \ldots, a_n$ et une fonction $\varepsilon$ tels que, sur un voisinage de $t = 0$, $f (t)$ peut s'écrire $$ f (t) = a_0 + a_1t + \cdots + a_n t^n + t^n \varepsilon (t) \qquad {\rm avec} \qquad \lim_{t \to 0} \varepsilon (t) = 0. $$ Le polynôme $a_0 + a_1t + \cdots + a_n t^n$ est appelé {\sl partie régulière\/} du développement limité d'ordre $n$ de $f$ en $0$. {\bf Remarques~:} \item{$\bullet$} On a $a_0 = f (0)$. \item{$\bullet$} On admettra que si un tel développement existe, il est unique. \item{$\bullet$} Le fait que $\lim_{t \to 0} \varepsilon (t) = 0$ signifie en particulier que, pour tout nombre positif $d$ fixé, aussi proche de $0$ que l'on veut, il existe un intervalle centré en 0 sur lequel $|\varepsilon (t)| < d$.