\paragraphe{Loi normale (dite de Laplace-Gauss)} \sparagraphe{Cas général} Une variable aléatoire {\bf continue} $X$ suit une {\sl loi normale de paramètres $m$ et $\lambda$} lorsque sa densité de probabilité est la fonction $f$ définie par $$\dresultat{ f (x) = {1\over \sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-{1\over2} \left( {x-m \over \sigma}\right)^2} } \qquad {\rm où} \qquad \sigma \geq 0 \quad {\rm et} \quad m \in \rset. $$ Elle est notée ${\cal N} (m, \sigma)$ et on montre que sa variance et son écart-type vérifient~: $$ \dresultat{E (X) = m} \qquad \qquad \dresultat{V (X) = \sigma^2} \qquad {\rm et} \qquad \dresultat{\sigma (X) = \sigma} $$ En étudiant les variations de cette fonction, on remarque que $$ f (x+m) = f (x-m). $$ La courbe $C_f$ présente donc une symétrie par rapport à l'axe vertical d'équation $x=m$. On a $\displaystyle{ f' (x) = {1\over \sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-{1\over2} \left( {x-m \over \sigma}\right)^2} \cdot \left( - {1\over2}\right) 2 \cdot \left( {x-m \over \sigma}\right)^1 \cdot {1\over \sigma} }$, du signe opposé à $(x-m)$. d'où le tableau de variations~: $$ \dresultat{\vbox{ \eightpoint\rm \def \hfq{\hfil \ } \offinterlineskip \halign{ % preamble &\hfq #\hfq \cr $x$& \vrule& $-\infty$&& $m$&& $+\infty$% \cr \noalign{\hrule} $f' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt && $+$& $0$& $-$% \cr \noalign{\hrule} \bbuucenter{$f (x)$}& \vrule& \down{$0$}& \bbrightuuparrow & \bbuup{$\displaystyle{1\over \sigma \cdot \sqrt{2\pi}}$}& \bbrightddownarrow & \down{$0$}% \cr }} }$$ % et la courbe % \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/algebre/proba/} \epsfxsize = 80mm % $$\displaylines{ \superboxepsillustrate{cour_011a.ps} \cr \hbox{loi normale ${\cal N} (m, \sigma)$, avec $m = 1, 2$ et $\sigma = 0, 5$} \cr }$$ \sparagraphe{Loi normale centrée réduite} On appelle {\sl loi normale centrée réduite\/} la loi normale ${\cal N} (0, 1)$ de paramètres $m = 0$ et $\sigma = 1$. Et on a le théorème suivant, qui permet de ramener l'étude de toute loi normale à l'étude de la loi normale centrée réduite. \assert Théorème . Si une variable aléatoire $X$ suit la loi normale ${\cal N} (m, \sigma)$, alors la variable aléatoire $\displaystyle T = {X-m \over \sigma}$ suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$. \endassert La densité de probabilité de cette loi, et la fonction de répartition sont données par~: $$ \dresultat{ f (t) = {1\over \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-{t^2\over2}}, } \qquad {\rm et} \qquad \dresultat{ P (T \leq t) = \Pi (t) = \int_{-\infty}^t f (t) \, dt } $$ alors qu'espérance, variance et écart-type sont donnés par $$ \dresultat{E (T) = 0} \qquad \qquad \dresultat{V (T) = 1} \qquad \qquad \dresultat{\sigma (T) = 1} $$ et sa courbe représentative est la suivante~: % \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/algebre/proba/} %\epsfxsize = 80mm % $$\displaylines{ \superboxepsillustrate{cour_011b.ps} \cr \hbox{loi normale ${\cal N} (0, 1)$} \cr }$$ Pour calculer la probabilité d'un événement concernant une variable aléatoire $T$ suivant la loi normale ${\cal N} (0, 1)$, on utilise en général la table du formulaire et les deux propriétés suivantes~: \itemitem{$\bullet$} cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, \itemitem{$\bullet$} l'aire totale comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à 1. \assert Exemples~: . \numno 0 \itemnum Calcul de $P (T \leq 1, 67) = \Pi (1, 67)$ $$ \superboxepsillustrate{cour_011e.ps} $$ a table donne directement le résultat. Il suffit de trouver les deux premiers chiffres de $t$ dans la colonne, soit $1, 6$~: le troisième chiffre de $t$ est indiqué dans la première ligne, soit $0, 07$. La réponse est donnée à l'intersection de la ligne correspondant à $1, 6$ et de la colonne correspondant à $0, 07$, soit $P (T \leq 1, 67) = 0, 952\, 5$. $$\vbox{\offinterlineskip \halign{ % preamble #\tv & \cc{$#$}& #\tv width .8pt && \cc{$#$}& #\tv \cr \noalign{\hrule} & t && 0, 00 && 0, 01 && \ldots && 0, 07 && \ldots & \cr \noalign{\hrule height .8 pt} & 0, 0 && 0, 500\, 0 && 0, 504\, 0 && \ldots && 0, 527\, 9 && \ldots & \cr & 0, 1 && 0, 539\, 8 && 0, 543\, 8 && \ldots && 0, 567\, 5 && \ldots & \cr & \vdots && \vdots && \vdots && \vdots && \vdots && \vdots & \cr & 1, 6 && 0, 945\, 2 && 0, 946\, 3 && \ldots && 0, 952\, 5 && \ldots & \cr & \vdots && \vdots && \vdots && \vdots && \vdots && \vdots & \cr \noalign{\hrule} }}$$ \itemnum Calcul de $P (T \geq 1, 25)$. $$ \superboxepsillustrate{cour_011f.ps} $$ On a $P (T \geq 1, 25) = 1 - P (T < 1, 25)$, car $P (\overline A) = 1 - P (A)$. \item {} Or $\Pi (1, 25) = P (T \leq 1, 25)$ et $P (T = 1, 25) = 0$ puisque $T$ est une variable aléatoire {\bf continue}, d'où~: $$\eqalign{ P (T \geq 1, 25) &= 1 - \Pi (1, 25) \cr &= 1 - 0, 894\, 4 \cr &= 0, 105\, 6. \cr }$$ \itemnum Calcul de $P (T \leq -1, 67)$. $$ \superboxepsillustrate{cour_011g.ps} $$ On a $$\eqalign{ P (T \leq -1, 67) &= \Pi (-1, 67) \cr &= P (T \geq 1, 67) \qquad \hbox{vu la symétrie de la courbe} \cr &= 1 - \Pi (1, 67) \cr &= 1 - 0, 952\, 5 \cr &= 0, 047\, 5 \cr }$$ \itemnum Calcul de $P ((t_1 \leq T \leq t_2)$. $$ \superboxepsillustrate{cour_011h.ps} $$ On a bien évidemment $$\dresultat{ P (t_1 \leq T \leq t_2) = \Pi (t_2) - \Pi (t_1). }$$ \itemnum Dans le cas particulier où $t_1 = -t_2$, on a $$ \superboxepsillustrate{cour_011i.ps} $$ $$\eqalign{ P (-t \leq T \leq t) &= \Pi (t) - \Pi (-t) \cr &= 2 \left[ \Pi (t) - \Pi (0)\right] \qquad \hbox{vu la symétrie de la courbe} \cr }$$ Or $\Pi (0) = 1/2$, d'où $$\dresultat{ P (-t \leq T \leq t) = 2 \Pi (t) - 1 }$$ \item {} Par exemple $$\displaylines{ P \left( -{2\over3} \leq T \leq {2\over3} \right) \simeq 0, 5 \qquad \qquad P (-1 \leq T \leq 1) \simeq 0, 68 \qquad \qquad P (-2 \leq T \leq 2) \simeq 0, 95 \cr P (-2, 6 \leq T \leq 2, 6) \simeq 0, 99 \qquad \qquad P (-3 \leq T \leq 3) \simeq 0, 997 \cr }$$ \endassert \sparagraphe{Retour au cas général} Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale ${\cal N} (m, \sigma)$. On sait que la variable $T = (X-m)/\sigma$ suit alors la loi normale ${\cal N} (0, 1)$. Si on veut calculer la probabilité $p (a \leq X \leq b)$, on se ramène à la variable $T$, qui suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$, pour pouvoir se servir du formulaire. On procède alors de la façon suivante~: $$\eqalign{ P (a \leq X \leq b) &= P (a-m \leq X-m \leq b-m) \cr &= P \left( {a-m \over \sigma} \leq {X-m \over \sigma} \leq {b-m \over \sigma}\right) \cr &= P \left( {a-m \over \sigma} \leq T \leq {b-m \over \sigma}\right) \cr }$$ \sparagraphe {Quelques aires remarquables} {\narrower \narrower {\bf Avertissement~:} les valeurs indiquées dans ce paragraphe ne sont données qu'à titre {\bf indicatif} afin de donner un ordre d'idée. Pour un calcul précis (intervalle de confiance par exemple), il faut impérativement se reporter aux formulaires dédiés. \par } Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale ${\cal N} (m, \sigma)$. On sait que la variable $T = (X-m)/\sigma$ suit alors la loi normale ${\cal N} (0, 1)$, Sur le graphique ci-dessous, on indique quelques une des aires remarquables~: \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/algebre/proba/} \epsfxsize = 140mm % $$\displaylines{ \superboxepsillustrate{cour_011c.ps} \cr \tresultat {loi normale ${\cal N} (m, \sigma)$ et quelques aires remarquables} \cr }$$ En effet, on a $X = m + \sigma T$. Pour tout réel $t>0$, le calcul de $P (-t \leq T \leq t)$ donne alors $$\eqalign{ P (-t \leq T \leq t) &= P (-t\sigma \leq \sigma T \leq t\sigma) \cr &= P (m-t\sigma \leq m+\sigma T \leq m+t\sigma) \cr &= P (m-t\sigma \leq X \leq m+t\sigma) \cr }$$ On a ainsi, par exemple, $P (m-2\sigma \leq X \leq m+2\sigma) = 2 \Pi (2) - 1 \approx 0, 95$. (Ce n'est qu'une approximation assez grossière~: pour plus de précision, il faudrait prendre $t = 1, 96$ et non pas $t=2$.) \sparagraphe{Approximation d'un loi binômiale par une loi normale} On admet que si $n$ est \og grand\fg\ et $p$ ni \og trop proche de 0\fg, ni \og trop proche de 1\fg, alors la loi ${\cal B} (n, p)$ est très proche de la loi ${\cal N} (m, \sigma)$ où $m = np$ et $\sigma = \sqrt{np (1-p)}$. On convient en général d'utiliser cette approximation lorsque $np$ et $n (1-p)$ sont supérieurs à 15. On remarque que, lors d'une telle approximation, la moyenne et l'écart-type sont conservés. \epsfxsize = 100mm $$ \displaylines { \superboxepsillustrate{cour_011d.ps} \cr \tresultat {Approximation de la loi ${\cal B} (100; 0, 15)$ par la loi ${\cal N} (15, \sqrt {100\times 0, 15\times 0, 85})$ } \cr }$$