\paragraphe{L'espace vectoriel $\rset^n$} \sparagraphe{L'ensemble $\rset^n$} On note $\rset^3$ (ou $\rset \times \rset \times \rset$) l'ensemble des triplets $(x, y, z)$ ou $(x_1, x_2, x_3)$ de nombres réels, et on note $\rset^4$ l'ensemble des quadruplets $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ de nombres réels. De manière plus générale, pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $\rset^n$ l'ensemble des $n$-uplets $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ de nombres réels \sparagraphe{L'addition dans $\rset^n$} On définit la somme de deux $n$-uplets $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ et $(x'_1, x'_2, \ldots, x'_n)$ par $$ \pmatrix{x_1 \cr x_2 \cr \vdots \cr x_n \cr} + \pmatrix{x'_1 \cr x'_2 \cr \vdots \cr x'_n \cr} = \pmatrix{x_1 + x'_1 \cr x_2 + x'_2 \cr \vdots \cr x_n + x'_n \cr} $$ On démontre que $\rset^n$ muni de cette addition possède, au niveau de cette opération, les mêmes propriétés que l'ensemble des vecteurs du plan, en remplaçant le vecteur nul $\vec 0$ du plan par le $n$-uplet $(0, \ldots, 0)$ et en prenant $(-x_1, -x_2, \ldots, -x_n)$ (noté aussi $-(x_1, x_2, \ldots, x_n)$) comme opposé de $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ pour l'addition. \sparagraphe{Multiplication par un réel} On définit le produit d'un réel $\lambda$ et d'un $n$-uplet $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ par $$ \lambda \cdot \pmatrix{x_1 \cr x_2 \cr \vdots \cr x_n \cr} = \pmatrix{\lambda x_1 \cr \lambda x_2 \cr \vdots \cr \lambda x_n \cr} $$ Là encore, s'il n'y a pas ambiguïté, on omet souvent le signe $\cdot$ de cette opération. On démontre que $\rset^n$ muni de la multiplication par un nombre réel possède, au niveau de cette opération, les mêmes propriétés que l'ensemble des vecteurs du plan muni de la multiplication par un nombre réel. \sparagraphe{L'espace vectoriel $\rset^n$} On vient de voir que $\rset^n$, muni des opérations $+$ et $\cdot$, possède les mêmes propriétés que l'ensemble des vecteurs du plan (ou de l'espace euclidien à 3~dimensions) muni des propriétés $+$ et $\cdot$ analogues. On prolonge cette analogie par le langage utilisé~: L'ensemble $\rset^n$, muni de l'addition et de la multiplication par un nombre réel, est appelé {\sl espace vectoriel}. Ses éléments sont appelés {\sl vecteurs}, et on note $\vec u = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ un élément quelconque de $\rset^n$. Soit $n$ un entier naturel non nul. Pour tout $n$-uplet $(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$, on appelle {\sl combinaison linéaire des vecteurs} $\vec u_1$, $\vec u_2$, $\ldots$, $\vec u_n$ le vecteur $\lambda_1 \vec u_1 + \lambda_2 \vec u_2 + \ldots + \lambda_n \vec u_n$.