\paragraphe {Premières notions de fiabilité} Dans tout ce paragraphe, nous nous intéressons à un dispositif choisi au hasard dans une population constituée des dispositifs du même type. On désigne par $T$ la variable aléatoire qui, à tout dispositif choisi au hasard dans la population, associe son {\sl temps de bon fonctionnement\/} ou sa durée de vie avant une défaillance. Pour simplifier, l'origine des temps $t = 0$ est choisie lorsque le dispositif est mis en marche pour la première fois. Notre variable $T$ est donc une variable aléatoire continue à valeurs dans $[0; +\infty [$. Nous noterons $f$ la densité de probabilité de la variable $T$. \sparagraphe {Fonction de défaillance -- Fonction de fiabilité} On appelle {\sl fonction de défaillance\/} la fonction $F$ définie pour tout $t\geq 0$ par $$\dresultat { F (t) = P (T \leq t) }$$ Le nombre $F (t)$ représente la probabilité qu'un dispositif choisi au hasard dans la population ait une défaillance avant l'instant $t$. \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/btsmai/algebre/fiabilite/} $$ \superboxepsillustrate {cour_001a.ps} $$ Cette fonction nous amène naturellement une fonction associée~: la {\sl fonction de fiabilité\/} $R$ définie pour tout $t\geq 0$ par $$\dresultat { R (t) = 1 - F (t) }$$ Le nombre $R (t)$ représente la probabilité qu'un dispositif choisi au hasard dans la population n'ait pas de défaillance avant l'instant $t$. $$ \superboxepsillustrate {cour_001b.ps} $$ \sparagraphe {Taux d'avarie instantané} Sur la courbe représentative de la fonction de défaillance $F$, on s'intéresse à la pente de la tangente pour un instant $t$ donné. (Cette pente est égale à $F' (t)$.) On appelle {\sl taux d'avarie instantané\/} à l'instant $t$ ce nombre, et on le note $\lambda (t)$. On montre que l'on a pour tout $t\geq 0$~: $$\dresultat { \lambda (t) = {f (t) \over R (t)} }$$ {\bf Remarques~:} $\bullet $ Comme $R (t) = 1 - F (t)$, on montre facilement que l'on a également~: $$ \dresultat { \lambda (t) = -{R' (t) \over R (t)} } \qquad {\rm et} \qquad \dresultat { \lambda (t) = {f (t) \over 1 - F (t)} } $$ Les relations précédentes permettent donc de trouver $\lambda (t)$ si l'on connaît $F (t)$ ou $R (t)$. Inversement, si l'on connaît $\lambda (t)$, on peut obtenir $R (t)$ (respectivement $F (t)$) comme solution de l'équation différentielle du premier ordre~: $$ {R' (t)\over R (t)} = - \lambda (t) \qquad {\rm (respectivement} \qquad {F' (t)\over 1 - F (t)} = - \lambda (t) \qquad ) $$ On a alors $$ \dresultat { R (t) = e^{-\int _0^t \lambda (x) \, dx} } \qquad {\rm et} \qquad \dresultat { F (t) = 1 - e^{-\int _0^t \lambda (x) \, dx} } $$ $\bullet $ On constate expérimentalement que, pour la plupart des matériels, la courbe représentative du taux d'avarie instantané $t\mapsto \lambda (t)$ a la forme donnée par la figure ci-dessous. Elle est appelée {\sl courbe en baignoire\/} et comporte 3~parties distinctes~: $$ \superboxepsillustrate {cour_001c.ps} $$ \` A gauche, la période de début de fonctionnement, où le taux d'avarie instantané décroît avec le temps, car les pannes précoces dues à des défauts de fabrication ou de conception sont de moins en moins nombreuses. Au centre, la période de maturité, ou \og vie utile\fg , où le taux d'avarie instantané reste à peu près constant~; pendant cette période, les pannes paraissent dues au hasard. \` A droite, la période d'usure, où le taux d'avarie instantané augmente avec le temps, car les pannes sont dues à l'usure croissante du matériel. \sparagraphe {MTBF} On appelle {\sl Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement (MTBF)\/} l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$. On a donc $$\dresultat { MTBF = E (T) = \int _0^{+\infty } t f (t) \, dt }$$ \remarque \` A l'origine, le sigle $MTBF$ provient de l'expression \og {\sl Mean Time Between Failures}\fg \ qui signifie \og temps moyen entre deux défaillances\fg . \finremarque \sparagraphe {Fiabilité d'un système} Pour un système constitués de $n$ composants {\bf montés en série} (le bon fonctionnement de chacun étant indépendant du bon fonctionnement des autres), on montre que l'on a $$\dresultat { R (T) = R_1 (t) \times R_2 (t) \times \cdots \times R_n (t) }$$ où $R_1$, $R_2$, \dots , $R_n$ sont les fonctions de fiabilités respectives des $n$ composants. (En effet, le système est défaillant dès qu'un seul composant est défaillant.) Pour un système constitués de $n$ composants {\bf montés en parallèles} (le bon fonctionnement de chacun étant indépendant du bon fonctionnement des autres), on montre que l'on a $$\dresultat { F (T) = F_1 (t) \times F_2 (t) \times \cdots \times F_n (t) }$$ où $F_1$, $F_2$, \dots , $F_n$ sont les fonctions de défaillances respectives des $n$ composants. (En effet, le système est fonctionnel dès qu'un seul composant est fonctionnel.)