\exo {\` Equation du second degré à coefficients dans $\rset $} \itemnum Résoudre dans $\cset $ l'équation $$ z^2 - 2\sqrt 2 z + 4 = 0. $$ \itemnum Déterminer le module et un argument de chacune des solutions. \finexo \corrige \itemnum On utilise la méthode du discriminant. Il vient $\Delta = 8 - 16 = -8$ d'où les deux racines complexes conjuguées $$ z_1 = {2\sqrt 2 -2i\sqrt 2\over 2} \quad {\rm soit} \quad \dresultat {z_1 = \sqrt 2 -i\sqrt 2} \qquad {\rm et} \qquad \dresultat {z_2 = \sqrt 2 +i\sqrt 2}. $$ \itemnum On trouve comme module commun \dresultat {|z_1| = |z_2| = 2}, d'où la détermination des arguments~: $$ \cases { \cos \theta _1 = \sqrt 2 / 2 \cr \sin \theta _1 = -\sqrt 2 / 2 \cr } \quad \Longrightarrow \quad \dresultat {\theta _1 = -{\pi \over 4}} \qquad {\rm et} \qquad \dresultat {\theta _2 = -{\pi \over 4}} \quad \hbox {puisque $z_2 = \overline {z_1}$}. $$ Finalement, on a donc $$ \dresultat {z_1 = 2e^{-i\pi /4}} \qquad {\rm et} \qquad \dresultat {z_2 = 2e^{i\pi /4}} $$ \fincorrige