Source de calc

$Fichier TeX$
\exo {Parallélogramme, alignements}

On considère un parallélogramme $ABCD$. 

\itemnum Construire les points $M$ et $N$ définis par
$$
   \overrightarrow {AM} = 3 \overrightarrow {AD} 
      \qquad {\rm et} \qquad
   \overrightarrow {BN} = {1\over 2} \overrightarrow {AB}.
$$

\itemitemalphnum Exprimer $\overrightarrow {CM}$ en fonction de
      $\overrightarrow {AB}$  et $\overrightarrow {AD}$.

\itemitemalph Exprimer $\overrightarrow {CN}$ en fonction de
      $\overrightarrow {AB}$  et $\overrightarrow {AD}$.

\itemnum Montrer que les points $C$, $M$ et $N$ sont alignés.

\finexo

\corrige

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/vecteurs/}
\itemnum
$$
   \superboxepsillustrate {calc_018.ps}
$$

\itemalphnum Il vient
$$\eqalign {
   \overrightarrow {CM} 
      &= \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AM}
      \qquad \hbox {(relation de Chasles)}
\cr
      &= \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {AD} + 3
      \overrightarrow {AD}
      \qquad \hbox {puisque $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow
      {BA}$ (car $ABCD$ parallélogramme)
      et $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AD}$ par hyp.}
\cr
      &= \dresultat {-\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} =
      \overrightarrow {CM}}
\cr
}$$

\itemalph De la même façon, on a
$$\eqalign {
   \overrightarrow {CN} 
      &= \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BN}
      \qquad \hbox {(relation de Chasles)}
\cr
      &= \overrightarrow {DA} + {1\over 2} \overrightarrow {AB}
      \qquad \hbox {puisque $\overrightarrow {DA} = \overrightarrow
      {CB}$ (car $ABCD$ parallélogramme)
      et $\overrightarrow {BN} = {1\over 2}\overrightarrow {AB}$ par hyp.}
\cr
      &= \dresultat {{1\over 2}\overrightarrow {AB} -\overrightarrow {AD} =
      \overrightarrow {CN}}
\cr
}$$

\itemnum On remarque que \dresultat {\overrightarrow {CM} =
-2\overrightarrow {CM}}, ce qui prouve que les vecteurs
 $\overrightarrow {CM}$ et $\overrightarrow {CN}$ sont colinéaires, et
 par suite que les points \tresultat {$C$, $M$ et $N$ sont alignés}.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3820711 - 2 décembre 2008)