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\exo {Transformations usuelles}

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O, \vec \imath , \vec
\jmath \,)$, on considère les points 
$$
   A (-4; 0)
      \qquad {\rm et} \qquad
   B (-2; 2),
$$
et on nomme $d$ la droite$(AB)$.

\itemnum On considère $t$, la translation de vecteur 
$\vec u {1\choose -1}$, et on nomme $d_1$ l'image de la droite $d$ par
cette translation. 

\itemitemalph Sur un graphique, représenter la droite $d$ et son image
   $d_1$.

\itemitemalph Déterminer, par le calcul, l'image $A_1$ du point $A$ par
cette translation.

\itemitemalph Déterminer, par le calcul, l'image $B_1$ du point $B$ par
cette translation.

\itemitemalph En déduire une équation de $d_1$.

\itemnum On considère $s$, la symétrie centrale de centre $O$, et on
nomme $d_2$ l'image de la droite $d$ par cette symétrie. 

\itemitemalph Représenter $d_2$ sur le graphique précédent.

\itemitemalph Déterminer, par le calcul, une équation de $d_2$.

\itemnum On considère $\cal S$, la symétrie axiale d'axe la droite
d'équation $y = -1$, et on nomme $d_3$ l'image de la droite $d$ par
cette symétrie. 

\itemitemalph Représenter $d_3$ sur le graphique précédent.

\itemitemalph Lire sur le graphique une équation de $d_3$ (aucune
justification n'est demandée).

\itemnum On considère $r$, la rotation de centre $O$ et d'angle $\pi
/2$, et on nomme $d_4$ l'image de la droite $d$ par cette rotation. 

\item {} Représenter $d_4$ sur le graphique précédent.


\finexo

\corrige

\itemalphnum
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/transform/}
$$
   \superboxepsillustrate {synt_001.ps} 
$$

\itemalph Par définition de la translation, on a $\overrightarrow
{AA_1} = \vec u$. Ce qui donne~:
$$
   \overrightarrow {AA_1} = \vec u
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   {x_1 + 4\choose y_1} = {1\choose -1}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      x_1 + 4 = 1
   \cr 
      y_1 = -1
   \cr }
      \qquad {\rm d'où} \qquad \dresultat {A_1 (-3 ; -1)}.
$$

\itemalph De la même façon, il vient
$$
   \overrightarrow {BB_1} = \vec u
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   {x_1 + 2\choose y_1 - 2} = {1\choose -1}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      x_1 + 2 = 1
   \cr 
      y_1 - 2 = -1
   \cr }
      \qquad {\rm d'où} \qquad \dresultat {B_1 (-1 ; 1)}.
$$

\itemalph Cherchons l'équation réduite de $d_1$. Il vient
$$
   \overrightarrow {A_1B_1} = {2\choose 2}
       \qquad \hbox {donc le coefficient directeur de $d_1$ est }
       {2\over 2} = 1
$$
donc l'équation de $d_1$ est de la forme $y = x + b_1$. En utilisant
les coordonnées du point $B_1$, on trouve facilement $b_1 = 2$, d'où
l'équation cherchée \dresultat {d_1~: y = x + 2}.

\itemnum \advance \alphno by 1
\alph \ Cherchons les coordonnées du points $A_2$, image
du point $A$ par la symétrie $s$. Il vient
$$
   \overrightarrow {OA_2} = - \overrightarrow {OA}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   {x_2\choose y_2} = - {-4 \choose 0}
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {A_2 (4; 0)}
$$
Et comme l'on sait que $d_2$ est une droite parallèle à $d$, qui est
elle-même parallèle à $d_1$, on en déduit que $d_2$ et $d_1$ ont le
même coefficient directeur. En utilisant ensuite les coordonnées du
point $A_2$, on trouve \dresultat {d_2~: y = x - 4}.

\itemnum \advance \alphno by 1
\alph \ On lit \dresultat {d_3~: y = -x - 6}.

\fincorrige

 

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