Source de synt

$Fichier TeX$
\exo {Petit problème de géométrie analytique}

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, \vec \imath , \vec
\jmath \,)$, on considère les points
$$
   A (4; 0),
      \qquad \qquad
   B (4; 4)
      \qquad \qquad
   C (0; 4)
      \qquad \qquad
   F (-2; 2)
      \qquad \qquad
   G (-2; -2).
$$

\itemnum Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure.

\itemitemalphnum Tracer sur la figure précédente les droites $d_1$ et $d_2$
d'équations respectives~:
$$
   d_1~: y = -x + 4
      \qquad {\rm et} \qquad
   d_2~: y = 2.
$$

\itemitemalph Quel est le coefficient directeur de $d_1$, de $d_2$?

\itemitemalph Déterminer par le calcul les coordonnées du point
d'intersection de $d_1$ et $d_2$.

\itemitemalphnum Déterminer les coordonnées du point $H$ tel que
$AFCH$ soit un parallélogramme.

\itemitemalph Déterminer les coordonnées du centre $I$ de ce
parallélogramme.

\itemitemalphnum Déterminer les coordonnées des vecteurs
$\overrightarrow {AG}$ et $\overrightarrow {BF}$.

\itemitemalph Les droites $(AG)$ et $(BF)$ sont-elles parallèles~?
(Justifier.) 

\itemitemalph Que peut-on dire du quadrilatère $ABFG$~? (Justifier.)

\itemitemalph Soit $M$ un point de coordonnées $(6; y)$. Déterminer
son ordonnée $y$ pour que les droites $(AM)$ et $(FB)$ soient
parallèles. 

\itemitemalphnum Déterminer une équation de la droite $(CG)$. 

\itemitemalph Déterminer, par le calcul, une équation de la droite
$(AF)$. 

\itemitemalphnum Résoudre le système de 2~équations à 2~inconnues~:
$$
   \cases {
      y = 3x + 4
   \cr
      y = -{1\over 3} x + {4\over 3}
   \cr }
$$

\itemitemalph Interprétation géométrique de ce calcul~?

\itemnum Déterminer une équation de la parallèle à $(AF)$ passant par $C$.

\finexo

\corrige

\itemnum 
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/geometrie/analytique/}
$$
   \superboxepsillustrate {synt_007.ps}
$$

\itemalphnum \alph \quad Le \tresultat {coefficient directeur de $d_1$
est $-1$}, alors que le \tresultat {coefficient directeur de $d_2$
est $0$}

\itemalph Déterminer les coordonnées du point d'intersection revient à
résoudre le système~:
$$
   \cases {
      y = -x+4
   \cr
      y = 2
   \cr }
      \quad \Longrightarrow \quad
   \cases {
      2 = -x+4
   \cr
      y = 2
   \cr }
      \quad \Longrightarrow \quad
   \cases {
      x = 2
   \cr
      y = 2
   \cr }
$$
d'où \tresultat {l'unique point d'intersection~: $(2, 2)$}.

\itemalphnum Le quadrilatère $AFCH$ est un parallélogramme si et
seulement si $\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {FC}$. Posons $H
(x, y)$. Il vient alors le calcul
$$
   \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {FC}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   {x - 4\choose y} = {2\choose 2}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      x - 4 = 2
   \cr
      y = 2
   \cr}
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {H (6; 2)}
$$

\itemalph Le point $I$ est le milieu de la diagonale $[AC]$. D'où le calcul
$
   I \left( {4 + 0\over 2}; {0 + 4\over 2} \right)
$, soit \dresultat {I (2; 2)}.

\itemalphnum Il vient~:
$$
   \overrightarrow {AG} = {-6 \choose -2}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \overrightarrow {BF} = {-6 \choose -2}
$$

\itemalph Ces 2~vecteurs étant égaux, il sont en particulier
      colinéaires. On en déduit que~:
$$
   \tresultat {les droites $(AG)$ et $(BF)$ sont parallèles}. 
$$

\itemalph Au vu de la question précédente, il est clair que $M$ est un
point de la droite $(AG)$. Or cette droite est de coefficient
directeur $-2/-6 = 1/3$ (d'après la question précédente) et elle passe
par le point $A (4; 0)$. On en déduit que son équation réduite est de
la forme
$$
   y = {1\over 3} x + b
      \qquad {\rm avec} \qquad
   0 = {1\over 3} \times 4 + b
      \qquad \hbox {d'où l'équation} \qquad
   (AG)~: y = {1\over 3} x - {4\over 3}.
$$
Notre point $M$ étant le point d'abscisse $6$ de cette droite, on a
alors facilement \dresultat {M \left( 6 ; {2/3}\right) }. {\bf rque~:}
on aurait également pu utiliser la relation de colinéarité des
vecteurs $\overrightarrow {AM}$ et $\overrightarrow {FB}$.

\itemalphnum L'équation réduite de $(AF)$ est de la forme $y = ax+b$. Or
$$
   \overrightarrow {AF} {-6\choose 2}
      \qquad {\rm donc} \qquad
   a = {2\over -6} = -{1\over 3}.
$$
De plus, $A$ est sur cette droite, d'où
$$
   0 = -{1\over 3} \times 4 + b
      \qquad {\rm et} \qquad
   b = {4\over 3}.
      \qquad \hbox {Finalement, on obtient} \qquad
   \dresultat {(AF)~: y = -{1\over 3} x + {4\over 3}}
$$

\itemalph En procédant comme précédemment, on trouve \dresultat {(CG)~:
      y = 3x + 4}. 

\itemnum Résoudre le système donné revient à chercher l'intersection
des droites $(AF)$ et $(CG)$. Il vient~:
$$
   \cases {
      y = 3x + 4
   \cr
      y = -{1\over 3} x + {4\over 3}
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      y = 3x + 4
   \cr
      3y = -x + 4
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      y = 3x + 4
   \cr
      3(3x+4) = -x + 4
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      y = 8/5
   \cr
      x = -4/5
   \cr }
$$
d'où \tresultat {le point d'intersection de $(AF)$ et $(CG)$~:
$\displaystyle {\left( - {4\over 5}; {8\over 5}\right)}$}

\itemnum Une parallèle à (AF) possède le même cefficient directeur que
      $(AF)$. En utilisant ensuite les coordonnées du point $C$ et en
      procédant de la même manière que précédemment, on trouve que
      l'équation réduite de la droite cherchée est
      \dresultat {y = -{1\over 3} x + 4}.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3827771 - 3 décembre 2008)