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\exo {\' Etude d'une fonction polynome -- \' Equation, inéquation}

On considère la fonction $f$ définie sur $\rset $ par
$$
   f (x) = -x^2 + 4x - 1.
$$

\itemnum Montrer que, pour tout réel $x$, $f (x) = - (x - 2)^2 + 3$.

\itemitemalphnum Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur
$]-\infty ; 2]$.

\itemitem {} On admet que $f$ est décroissante sur $[2; +\infty [$.

\itemitemalph Dresser le tableau de variation de $f$.

\itemitemalph Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous
$$\vcenter {\offinterlineskip 
   \def \cc#1{%
      \hbox to 14mm {\hfill #1\hfill }}
\halign {
   % preamble
      #\tv && \cc {$#$}& #\tv
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x&& -1&& 0&& 1&& 2&& 3&& 4&& 5&
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & f (x)&& && && && && && && &
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}
$$

\itemitemalph Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur
l'intervalle $[-1 ; 5]$ (sur le repère ci-dessous).

\itemnum Résoudre algébriquement
$$
   \alph \qquad f (x) = -1
      \qquad \qquad
   \alph \qquad f (x) \geq 2.
$$
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/}
$$
   \superboxepsillustrate {vars_007a.ps}
$$

\finexo

\corrige

\itemnum Développons l'expression proposée. Il vient~:
$$
   - (x - 2)^2 + 3 
   = - (x^2 - 4x + 4) + 3
   = - x^2 + 4x - 1 
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {- x^2 + 4x - 1 = f (x) = - (x - 2)^2 + 3}
$$

\itemalphnum Il s'agit de montrer que 
$$
      {\rm si} \qquad
   a \leq b \leq 2
      \qquad {\rm alors} \qquad
   f (a) \leq f (b).
$$
On suppose donc $a \leq b \leq 2$ et on utilise la deuxième écriture
de $f (x)$. Il vient
$$\eqalign {
   a \leq b \leq 2
      \quad &\Longrightarrow \quad
   a - 2 \leq b - 2 \leq 0
\cr
      &\Longrightarrow \quad
   (a - 2)^2 \geq (b - 2)^2 \geq 0
      \qquad \hbox {puisque $x \mapsto x^2$ décroissante sur $]-\infty
   ; 0]$}
\cr
      &\Longrightarrow \quad
   -(a - 2)^2 \leq -(b - 2)^2 \leq 0
      \qquad \hbox {puisque l'on multiplie par $-1$ qui est négatif}
\cr
      &\Longrightarrow \quad
   -(a - 2)^2 + 3 \leq -(b - 2)^2 + 3 \leq 3
      \qquad \hbox {c'est à dire} \qquad 
   \dresultat {f (a) \leq f (b)} \leq 3.
\cr
}$$
Ce qui prouve que \tresultat {$f$ est croissante sur $]-\infty ; 2]$}.

\itemalph \alph \ On obtient finalement les tableaux suivant~:
$$
\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -\infty && 2&& +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule }
      \buucenter {$f (x)$}&& &
      \brightuuparrow & \buup {$3$}& 
      \brightddownarrow  & \down {\phantom {1}}
   \cr
}}
}
   \qquad \qquad
\vcenter {\offinterlineskip 
   \def \cc#1{%
      \hbox to 8mm {\hfill #1\hfill }}
\halign {
   % preamble
      #\tv && \cc {$#$}& #\tv
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x&& -1&& 0&& 1&& 2&& 3&& 4&& 5&
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & f (x)&& -6&& -1&& 2&& 3&& 2&& -1&& -6&
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}
$$

\itemalph et la courbe représentative de la fonction $f$ sur $[-1; 5]$
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/2nd/analyse/fonctions/}
$$
   \superboxepsillustrate {vars_007b.ps}
$$

\itemalphnum Il vient
$$
   f (x) = -1 
      \quad \Longleftrightarrow \quad 
   -x^2 + 4x - 1 = -1
      \quad \Longleftrightarrow \quad 
   -x^2 + 4x = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad 
   x (4 - x) = 0
$$
et ce produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs
est nul, d'où les \tresultat {2 solutions~: $0$ et $4$}.

\itemalph Il vient
$$\displaylines {
   f (x) \geq 2
      \quad \Longleftrightarrow \quad 
   -(x-2)^2 + 3 \geq 2
      \quad \Longleftrightarrow \quad 
   1 - (x - 2)^2 \geq 0
\cr
      \Longleftrightarrow \quad 
   \big( 1 + (x-2) \big) \big( 1 - (x-2) \big) \geq 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad 
   (x-1) (3 - x) \geq 0.
}$$
Un tableau de signes permet alors de conclure
$$\vcenter {\offinterlineskip
   \eightpoint \rm
   \halign {
   % preamble
      \tv #& \cc {$#$}& \tv #& $#$&
         \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} 
      & $#$
   \cr
      & x && -\infty && 1 && 3 &&+\infty
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x - 1 &&& - & 0 & + & \tv & + 
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      & 3 - x &&& + & \tv & + & 0 & -
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      & \rm produit &&& - & 0 & + & 0 & -
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}$$
D'où \dresultat {f (x) \geq 2 \quad \Longleftrightarrow \quad x \in
[1; 3]}.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.07s - 3827692 - 3 décembre 2008)