Source de aff

$Fichier TeX$
\exo {Déterminer l'expression d'une fonction affine}

Soit $f$ une fonction affine
$$
   f (x) = ax+b
$$
où $a$ et $b$ sont des constantes réelles.

Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ telles que l'on ait
$$
   f (\sqrt 3) = 1
      \qquad {\rm et} \qquad
   f (1) + f (\sqrt 3) = \sqrt 3 - 1
$$


\finexo

\corrige

On a deux inconnues $a$ et $b$. Les deux hypothèses vont nous donner
deux équations. Un système nous permettra de conclure. Il vient donc
$$\displaylines {
   \cases {
      f (\sqrt 3) = 1
   \cr
      f (1) + f (\sqrt 3) = \sqrt 3 - 1
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \matrix {
      \eightpoint\rm (1)
   \cr
      \eightpoint\rm (2)
   \cr
   }
   \cases {
      a\sqrt 3 + b = 1
   \cr
      a + b + a\sqrt 3 + b = \sqrt 3 - 1
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \matrix {
      \eightpoint\rm (1)
   \cr
      \eightpoint\rm (2) - 2 \times (1)
   \cr
   }
   \cases {
      a\sqrt 3 + b = 1
   \cr
      a - a\sqrt 3 = \sqrt 3 - 3
   \cr }
\cr
      \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      a\sqrt 3 + b = 1
   \cr
      a ( 1- \sqrt 3) = \sqrt 3 - 3
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      a\sqrt 3 + b = 1
   \cr
      a = {\sqrt 3 - 3\over 1- \sqrt 3} = {(\sqrt 3 - 3)(1+ \sqrt
   3)\over (1- \sqrt 3)(1+ \sqrt 3)} 
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      3 + b = 1
   \cr
      a = \sqrt 3
   \cr }
\cr
}$$
d'où l'expression de $f$~: \dresultat {f (x) = \sqrt 3 x - 2}.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 17 décembre 2003 (0.09s - 3827762 - 3 décembre 2008)