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Fichier TeX 
\exo {Inéquation rationnelle}

\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation
$$
   {x+4\over x+1} = {4\over x}.
$$

\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'inéquation
$$
   {x+4\over x+1} \leq {4\over x}.
$$

\finexo

\corrige 

\itemnum On remarque tout d'abord que cette équation n'a de sens que
pour $x\neq 0$ et $x\neq -1$. Il vient alors
$$
   {x+4\over x+1} = {4\over x}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x (x+4) = 4 (x+1)
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x^2 - 4 = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   (x-2) (x+2) = 0.
$$
On a un produit de facteurs égale à zéro, donc l'un des facteurs est
nul. D'où les \tresultat {2 solutions~: $2$ et $-2$}.

\itemnum Même remarque que précédemment, $x$ doît être différent de
$0$ et $-1$. Il vient alors
$$
   {x+4\over x+1} \leq {4\over x}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   {x (x+4)\over x (x+1)} - {4(x+1)\over x(x+1)} \leq 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   {x^2 - 4\over x (x+1)}\leq 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   {(x - 2)(x+2)\over x (x+1)}\leq 0
$$
Un tableau de signes permet de conclure~:
$$\vcenter {\offinterlineskip
   \eightpoint \rm
   \halign {
   % preamble
      #& \cc {$#$}& \tv #& $#$&
         \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} &
         \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} & \cc {$#$} 
      & $#$
   \cr
      & x && -\infty && -2 && -1 && 0&& 2 &&+\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      & x-2&&& - &\tv & - &\tv & - &\tv & - & 0 & +
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x+2&&& - & 0  & + &\tv & + &\tv & + & \tv & +
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x+1&&& - & \tv & - & 0 & + &\tv & + & \tv & +
   \cr
   \noalign {\hrule }
      & x&&& - & \tv & - & \tv & - & 0 & + & \tv & +
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      & \rm quotient &&&  + & 0 & - & \doublevrule & + & \doublevrule & - & 0 & +
   \cr
   \noalign {\hrule }
}}$$
d'où la conclusion~:
$$
   {x+4\over x+1} \leq {4\over x}
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   \dresultat {x \in [-2; -1[ \, \cup \, ]0; 2]}.
$$

\fincorrige

 

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