Source de pol_004.tex
\exo {Manipulation d'expressions polynomiales}
On considère l'expression
$$
E (x) = (2x+1) (x-2) - (x-2) (x+4)
$$
\itemnum Développer $E (x)$.
\itemitemalphnum Factoriser $E (x)$.
\itemitemalph Contrôler votre résultat en développant la forme
factorisée de $E (x)$.
\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $E (x) = 0$.
\itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $E (x) = 6$.
\itemnum Calculer $E (2+\sqrt 3)$.
\finexo
\corrige {}
\itemnum Il vient
$$
E (x) = 2x^2 - 3x -2 - (x^2 + 2x - 8)
\qquad {\rm soit} \qquad
\dresultat {E (x) = x^2 - 5x + 6}.
$$
\itemalphnum En reprenant l'expression initiale, il vient
$$
E (x) = (2x+1) (x-2) - (x-2) (x+4)
= (x-2) \big[ (2x+1) - (x+4)\big]
\qquad {\rm soit} \qquad
\dresultat {E (x) = (x-2) (x-3)}.
$$
\itemalph Et le développement de cette dernière expression donne bien
\dresultat {(x-2) (x-3) =x^2 - 5x +6}.
\itemnum On utilise la forme factorisée de $E$, en invoquant le fait
qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs
est nul. On a alors immédiatement~:
$$
E (x) = 0
\qquad \Longleftrightarrow \qquad
(x-2) (x-3) = 0
\qquad \Longleftrightarrow \qquad
\tresultat {$x=2$ ou $x=3$}.
$$
\itemnum On utilise cette fois la forme développée de $E$. Il vient
$$
E (x) = 6
\quad \Longleftrightarrow \quad
x^2 - 5x + 6 = 6
\quad \Longleftrightarrow \quad
x^2 - 5x = 0
\quad \Longleftrightarrow \quad
x (x-5) = 0
\quad \Longleftrightarrow \quad
\tresultat {$x=0$ ou $x=5$}.
$$
%% \itemnum Utilisons la forme développée de $E$. On a
%% $$
%% E (2+\sqrt 3) = 4 + 4\sqrt 3 + 3 - 10 - 5\sqrt 3 + 6
%% \qquad {\rm soit} \qquad
%% \dresultat {E (2+\sqrt 3) = 3 - \sqrt 3}
%% $$
\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 16 novembre 2003 (0.06s - 3777682 - 20 novembre 2008)
