\exo{Une étude complète de fonction polynôme} On considère $C_f$, la courbe représentative de la fonction $f$, définie sur $\rset$ par $$ f (x) = x^3 -3 x^2 + 2x + 1. $$ \itemitemalphnum Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$. \itemitemalph \'Etudier le signe de $f'$. En déduire le tableau des variations de $f$. On calculera en particulier les valeurs exactes des extrema. \itemitemalph Déterminer une équation de $T$, la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse~$2$. \itemitemalph {\bf Sans calculatrice}, déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $f (2, 001)$ \itemnum On note $\Delta$ la droite d'équation $y = 1$. Déterminer les positions relatives de $C_f$ et $\Delta$. On précisera en particulier les points d'intersections de ces deux courbes. \itemnum On note $C_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\rset$ par $$ g (x) = -x $$ \itemitemalph Que peut-on dire de la courbe $C_g$~? \itemitemalph Déterminer les points d'intersection de $C_g$ avec $C_f$. ({\sl Indication\/}~: on pourra calculer $f (-1)$ et $g (-1)$). \itemitemalph Déterminer les points de $C_f$ qui possèdent une tangente parallèle à $C_g$. \itemnum Tracer soigneusement, dans un repère orthonormé, la courbe $C_f$ ainsi que les droites $C_g$ et $\Delta$. \finexo \corrige{} \itemalphnum $f' (x) = 3x^2 - 6x + 2$ \itemalph $\Delta = 36 - 24 = 12 = (2 \sqrt3)^2$, $x = 3 \pm \sqrt3$ \itemalph $T : \quad y = 2x - 1$ \itemalph \fincorrige