\exo {Utilisation d'un arbre en probabilités} Les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles Un sac contien six~jetons~: \itemitem {--} deux jetons verts numérotés $1$ et $2$, désignés par $V_1$ et $V_2$, \itemitem {--} trois jetons jaunes numérotés $1$, $2$ et $3$, désignés par $J_1$, $J_2$ et $J_3$, \itemitem {--} un jeton noir numérotés $1$ et désigné par $N_1$. On réalise l'expérience suivante~: on tire au hasard un premier jeton du sac~; parmi les jetons restants, on tire au hasard un second jeton. Un résultat possible est $(V_2, J_3)$ où $V_2$ est le premier jeton tiré et $J_3$ le deuxième. $(J_3, V_2)$ est un autre résultat. \itemnum \`A l'aide d'un arbre, donner la liste des différents résultats possibles. Quel est leur nombre~? \itemnum On considère les événements suivants~: \itemitem {} $A$~: \og \sl Les deux jetons obtenus ont la même couleur\fg \itemitem {} $B$~: \og \sl Les deux jetons obtenus portent le même numéro\fg \item {} Calculer la probabilité de chacun de ces événements. \itemnum Justifier pourquoi les événements $A$ et $B$ sont incompatibles. \itemnum Calculer la probabilité de l'événement $A\cup B$. \finexo \corrige \itemnum L'arbre ci-dessous nous donne les \tresultat {$6\times 5 = 30$ issues possibles} \catcode`\|=12 \input $HOME/tex_doc/format/pstricks/pstricks.tex %% \input /usr/share/texmf/tex/generic/pstricks/pst-eps.tex %% \input /usr/share/texmf/tex/generic/pstricks/pst-node.tex \input $HOME/tex_doc/format/pstricks/pst-tree.tex \bgroup %\eightpoint \rm $$ \pspicture(0,-5.5)(1,5) \pstree [treemode=R, %% mode horizontal levelsep=25mm, %% longueur d'une branche treesep=.5mm %% espace internoeud ] {\Tc*{1mm}} { \pstree {\TR{$V_1$}} { \pstree {\TR{$V_2$}}{\Tr{$(V_1, V_2)$}} \pstree {\TR{$J_1$}}{\Tr{$(V_1, J_1)$}} \pstree {\TR{$J_2$}}{\Tr{$(V_1, J_2)$}} \pstree {\TR{$J_3$}}{\Tr{$(V_1, J_3)$}} \pstree {\TR{$N_1$}}{\Tr{$(V_1, N_1)$}} } % \pstree {\TR{$V_2$}} { \pstree {\TR{$V_1$}}{\Tr{$(V_2, V_1)$}} \pstree {\TR{$J_1$}}{\Tr{$(V_2, J_1)$}} \pstree {\TR{$J_2$}}{\Tr{$(V_2, J_2)$}} \pstree {\TR{$J_3$}}{\Tr{$(V_2, J_3)$}} \pstree {\TR{$N_1$}}{\Tr{$(V_2, N_1)$}} } % \pstree {\TR{$J_1$}} { \pstree {\TR{$V_1$}}{\Tr{$(J_1, V_1)$}} \pstree {\TR{$V_2$}}{\Tr{$(J_1, V_2)$}} \pstree {\TR{$J_2$}}{\Tr{$(J_1, J_2)$}} \pstree {\TR{$J_3$}}{\Tr{$(J_1, J_3)$}} \pstree {\TR{$N_1$}}{\Tr{$(J_1, N_1)$}} } % \pstree {\TR{$J_2$}} { \pstree {\TR{$V_1$}}{\Tr{$(J_2, V_1)$}} \pstree {\TR{$V_2$}}{\Tr{$(J_2, V_2)$}} \pstree {\TR{$J_1$}}{\Tr{$(J_2, J_1)$}} \pstree {\TR{$J_3$}}{\Tr{$(J_2, J_3)$}} \pstree {\TR{$N_1$}}{\Tr{$(J_2, N_1)$}} } % \pstree {\TR{$J_3$}} { \pstree {\TR{$V_1$}}{\Tr{$(J_3, V_1)$}} \pstree {\TR{$V_2$}}{\Tr{$(J_3, V_2)$}} \pstree {\TR{$J_1$}}{\Tr{$(J_3, J_1)$}} \pstree {\TR{$J_2$}}{\Tr{$(J_3, J_2)$}} \pstree {\TR{$N_1$}}{\Tr{$(J_3, N_1)$}} } % \pstree {\TR{$N_1$}} { \pstree {\TR{$V_1$}}{\Tr{$(N_1, V_1)$}} \pstree {\TR{$V_2$}}{\Tr{$(N_1, V_2)$}} \pstree {\TR{$J_1$}}{\Tr{$(N_1, J_1)$}} \pstree {\TR{$J_2$}}{\Tr{$(N_1, J_2)$}} \pstree {\TR{$J_3$}}{\Tr{$(N_1, J_3)$}} } } \endpspicture $$ \egroup \itemnum \' Evénement $A$~: $8$ issues favorables, donc \dresultat {p (A) = {8\over 30} = {4\over 15}}. \item {} \' Evénement $B$~: $8$ issues favorables, donc \dresultat {p (B) = {8\over 30} = {4\over 15}}. \itemnum Comme les jetons sont tous distincts et que l'on procède à des tirages sans remise, on ne peut obtenir deux fois le même jeton. Il est donc impossible d'obtenir un tirage avec deux jetons ayant à la fois la même couleur et le même numéro. Autrement dit \dresultat {A \cap B = \emptyset } \itemnum On a $16$ cas favorables à $A\cup B$, donc \dresultat {p (A \cup B) = {16\over 30} = {8\over 15}}. \item {} {\bf autre méthode~:} $p (A\cap B) = 0$ puisque $A\cap B = \emptyset$, or $P (A\cup B) = p (A) + p (B) - p (A\cap B)$, d'où $p (A\cup B) = {4\over 15} + {4\over 15} - 0$. \fincorrige