groupe.tex

\setcounter{chapter}{-2}
 
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\chapter{Goupes, Anneaux, Corps, Algèbres. Qu'est-ce?}
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\section{Groupes}
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	$(G,*)$ est un \emph{groupe} si, et seulement si,
\begin{quote}
\begin{itemize}
	\item $*$ est une loi de composition \emph{interne}, \emph{associative}, avec
un \emph{élément neutre} noté $e$;
	\item tout élément $g\in G$ admet un \emph{inverse} (dans $G$) :
$$
\qqs g\in G,\ \exists t\in G,\ g*t=t*g=e
$$
\end{itemize}
\end{quote}
 
Le groupe $(G,*)$ est \emph{commutatif} ou \emph{abélien} si, et seulement si, la
loi de composition interne $*$ est commutative.
 
Une partie $H\subset G$ est un \emph{sous-groupe} de $(G,*)$ si, et seulement
si, 
\begin{quote}
\begin{itemize}
	\item $e\in H$;
	\item $*$ est \emph{stable} sur $H$ : $\qqs(h,h')\in H^2,\ h*h'\in H$;
	\item stabilité de la \emph{prise d'inverse} : $\qqs h,\ h\in H\implique
h^{-1}\in H$.
\end{itemize}
\end{quote}
 
	Une application $u : (G,*)\rightarrow (\mathcal{G},\cdot)$ est un
\emph{morphisme de groupes} si, et seulement si,
$$
\qqs(g,g')\in G^2,\  u(g*g')=u(g)\cdot u(g')
$$
 
Quelques exemples de goupes commutatifs : $(\Z,+)$, $(\R,+)$, $(\C,+)$, \dots
 
Quelques exemples de goupes non commutatifs : $\bigl(\mathcal{GL}(E),\rond\bigr)$,
$\bigl(\mathcal{GL}_n(\K),\times\bigr)$, \dots
 
 
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\section{Anneaux}
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$(A,+,*)$ est un \emph{anneau} si, et seulement si,
\begin{quote}
\begin{itemize}
	\item $(A,+)$ est un \emph{groupe commutatif};
	\item $*$ est une loi de composition \emph{interne}, \emph{associative}, avec
\emph{élément neutre} et \emph{distributive} par rapport à $+$.
\end{itemize}
\end{quote}
 
L'anneau $(A,+,*)$ est dit \emph{commutatif} si, et seulement si, la loi $*$ est
\emph{commutative}.
 
Une partie $B\subset A$ est un \emph{sous-anneau} de $(A,+,*)$ si, et seulement si,
\begin{quote}
\begin{itemize}
	\item $(B,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$;
	\item $*$ est \emph{stable} sur $B$ et l'élément neutre $e\in B$.
\end{itemize}
\end{quote}
 
	Une application $u : (A,+,*)\rightarrow (\mathcal{A},\oplus,\cdot)$ est un
\emph{morphisme d'anneaux} si, et seulement si,
$$
\qqs(a,a')\in A^2,\  u(a+a')=u(a)\oplus u(a')\ \et\
u(a*a')=u(a)\cdot u(a')
$$
 
Quelques exemples d'anneaux commutatifs : $(\Z,+,\times)$,
$(\K[X],+,\times)$, \dots
 
Quelques exemples d'anneaux non commutatifs :
$\bigl(\mathcal{L}(E),+,\rond\bigr)$, $\bigl(\mathcal{M}_n(\K),+,\times\bigr)$,
\dots 
 
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\section{Corps}
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$(\K,+,*)$ est un \emph{corps} si, et seulement si,
\begin{quote}
\begin{itemize}
	\item $(\K,+,*)$ est un \emph{anneau};
	\item tout élément \emph{non nul} de $\K$ admet un inverse pour la loi $*$.
\end{itemize}
\end{quote}
 
Le corps $(\K,+,*)$ est dit \emph{commutatif} si, et seulement si, la loi $*$ est commutative.
 
Quelques exemples de corps commutatif : $(\Q,+,\times)$, $(\R,+,\times)$,
$(\C,+,\times)$, $\bigl(\K(X),+,\times\bigr)$ le corps des fractions
rationnelles à coefficients dans le corps $\K$, \dots
 
 
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\section{Algèbre}
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$(A,+,*,\cdot)$ est une $\K$-\emph{algèbre} si, et seulement si,
\begin{quote}
\begin{itemize}
	\item $(A,+,\cdot)$ est un $\K$-espace vectoriel;
	\item $(A,+,*)$ est un anneau;
	\item $\qqs(a,a')\in A^2,\ \qqs\lambda\in\K,\
\lambda\cdot(a*a')=(\lambda\cdot a)*a'=a*(\lambda\cdot b)$
\end{itemize}
\end{quote}
 
La $\K$-algèbre $(A,+,*,\cdot)$ est dite \emph{commutative} si, et seulement si, la
loi interne $*$ est commutative.
 
Une partie $B\subset A$ est une $\K$-\emph{sous-algèbre} de $(A,+,*)$ si, et seulement si,
\begin{quote}
\begin{itemize}
	\item $(B,+,\cdot)$ est un $\K$-sous-espace vectoriel de $(A,+,\cdot)$;
	\item $*$ est \emph{stable} sur $B$ et l'élément neutre $e\in B$.
\end{itemize}
\end{quote}
 
	Une application $u : (A,+,*,\cdot)\rightarrow (\mathcal{A},\oplus,\otimes,\odot)$ est un
\emph{morphisme d'algèbres} si, et seulement si,
$$
\qqs(a,a')\in A^2,\ \qqs\lambda\in\K,\
u(\lambda\cdot a+a')=\lambda\odot u(a)\oplus u(a'),\
\et\
u(a*a')=u(a)\otimes u(a')
$$
 
Quelques exemples d'algèbres commutatives : $(\K[X],+,\times)$, \dots
 
Quelques exemples d'algèbres non commutatives :
$\bigl(\mathcal{L}(E),+,\rond,\cdot\bigr)$, $\bigl(\mathcal{M}_n(\K),+,\times,\cdot\bigr)$,
\dots