\documentclass[10pt]{article} \usepackage[]{persopc} \geometry{ hmargin=2cm , vmargin=1cm} %\everymath{\displaystyle} \begin{document} \titre{Barycentre dans le plan}{$1$\up{ere}S} \fcours{Géométrie du plan} \section{Rappels} \subsection{Vecteurs et géométrie élémentaire} \subsubsection{Colinéarité de deux vecteurs} \noindent \parbox[t]{10cm}{ \begin{definition} Dire que deux vecteurs non nuls $\vect{u}=\Vect{AB}$ et $\vect{v}=\Vect{CD}$ sont {\bf colinéaires} signifie qu'ils ont la même direction. Cela signifie que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (donc éventuellement confondues).\\ Par convention le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur $\vect{u}$. \end{definition} } \noindent \parbox[t]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_vec.7} \end{center}}\\ \begin{theoreme} Dire que deux vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ sont colinéaires équivaut à dire "Il existe un réel $k$ tel que $\vect{u}=k\vect{v}$ ou il existe un réel $k'$ tel que $\vect{v}=k'\vect{u}$ \end{theoreme} \begin{theoreme} Parallélisme et alignement \begin{itemize} \item Dire que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont {\bf parallèles} équivaut à dire qu'il existe un réel $k$ non nul tel que $\Vect{CD}=k\Vect{AB}$ \item $A$ et $B$ sont deux points distintcs. Dire que les points $A,B,M$ sont alignés équivaut à dire qu'il existe un réel $k$ tel que $\Vect{AM}=k\Vect{AB}$. ($k=\frac{AM}{AB}$ si $M \in [AB)$ et $k=-\frac{AM}{AB}$ sinon) \end{itemize} Ainsi la droite $(AB)$ est l'ensemble de tous les points $M$ tels que $\Vect{AM}$ et $\Vect{AB}$ sont colinéaires donc~:\\ $M \in (AB)$ équivaut à "Il existe un réel $k$ tel que $\Vect{AM}=k\Vect{AB}$". \end{theoreme} \subsubsection{Vecteurs et droites} \begin{definition} Un vecteur directeur d'un droite $d$ est un vecteur non nul dont la direction est celle de $d$. \end{definition} \noindent Remarques~: \begin{enumerate} \item Si $A$ et $B$ sont deux points distincts et quelconques de $d$ alors $\Vect{AB}$ est un vecteur directeur de $d$. \item Si $\vect{u}$ est un vecteur directeur de $d$ alors $k\vect{u}$, avec $k$ réel non nul, est aussi un vecteur directeur de $d$. \item Deux vecteurs directeurs d'une droite $d$ sont colinéaires. \end{enumerate} \subsection{Vecteurs et géométrie analytique} Dans cette section, un repère (cartésien) \rep du plan est fixé. \subsubsection{Lien entre coordonnées d'un point et vecteur} \noindent \parbox[t]{10cm}{ \begin{definition} Dire que le point $M$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans le repère \rep équivaut à dire que $\Vect{OM}=x\vect{i}+y\vect{j}$. On note $M(x;y)$, $x$ est l'abscisse et $y$ l'ordonnée. \end{definition} } \noindent \parbox[t]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_vec.8} \end{center}}\\ \subsubsection{Coordonnées de vecteurs} \noindent \parbox[t]{10cm}{ \begin{definition} Dire que le vecteur $\vect{u}$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans le repère \rep équivaut à dire que $\vect{u}=x\vect{i}+y\vect{j}$ ou encore que le point $M$ tel que $\Vect{OM}=\vect{u}$ a pour coordonnées $(x;y)$ dans le repère \rep. On note $\vect{u}(x;y)$. \end{definition} } \noindent \parbox[t]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_vec.9} \end{center}}\\ \begin{theoreme} Égalité de deux vecteurs \\ Dire que les vecteurs $\vect{u}(x;y)$ et $\vect{v}(x';y')$ sont égaux signifie que leurs couples de coordonnées sont égaux~: $x=x'$ et $y=y'$. \end{theoreme} \begin{theoreme} $\vect{u}(x;y)$ et $\vect{v}(x';y')$ sont deux vecteurs quelconques et $k$ est un réel quelconque. \begin{itemize} \item Le vecteur $\vect{u}+\vect{v}$ a pour coordonnées $(x+x';y+y')$ \item Le vecteur $k\vect{u}$ a pour coordonnées $(kx;ky)$. \end{itemize} \end{theoreme} \noindent \parbox[t]{10cm}{ \begin{theoreme} Coordonnées du vecteur $\Vect{AB}$ \\ $A(x_{A};y_{A})$ et $B(x_{B};y_{B})$ sont deux points quelconques.\\ Le vecteur $\Vect{AB}$ a pour coordonnées $(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})$. \end{theoreme} } \noindent \parbox[t]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_vec.10} \end{center}}\\ \subsubsection{Traduction analytique de la colinéarité} \begin{theoreme} Dire que les vecteurs $\vect{u}(x;y)$ et $\vect{v}(x';y')$ sont colinéaires équivaut à dire que $xy'-x'y=0$. \end{theoreme} \noindent Conséquences~: \begin{enumerate} \item Si une droite $d$ a pour équation $y=mx+p$ alors $\vect{u}(1;m)$ est un vecteur directeur de $d$. \item Si le vecteur $\vect{u}(1;m)$ est un vecteur directeur de $d$ alors $m$ est le coefficient directeur de $d$. \end{enumerate} \subsubsection{Norme d'un vecteur dans un repère orthonormal} Ici le repère \rep est orthonormal. \begin{theoreme} $\vect{u}(x;y)$ est un vecteur quelconque, alors $\Vert \vect{u} \Vert = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$.\\ $A(x_{A};y_{A})$ et $B(x_{B};y_{B})$ sont deux points quelconques, la distance $AB$ est donnée par $AB=\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$ \end{theoreme} \section{Barycentre de deux points} \subsection{Approche} \exo{} Activité $1$ page $236$ du manuel. \subsection{Définition} \begin{definition} Un couple du type $(A,\alpha)$, où $A$ est un point et $\alpha$ un réel quelconque, est appelé un point pondéré. On dit aussi que $A$ est affecté du coefficient ou du poids $\alpha$. \end{definition} \begin{propriete} $A$ et $B$ sont deux points quelconques, $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $\alpha+\beta \not= 0$.\\ Il existe un unique point $G$ du plan tel que~: $$ \alpha \myvec{GA} +\beta \myvec{GB}=\vec{0} $$ \end{propriete} \begin{preuve} \vspace{10em} \end{preuve} \begin{definition} $(A,\alpha)$ et $(B,\beta)$ sont deux points pondérés tels que $\alpha +\beta \not= 0$. On appelle {\bf barycentre} de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ l'unique point $G$ tel que $$ \alpha \myvec{GA} +\beta \myvec{GB}=\vec{0} $$ \end{definition} \noindent {\bf Remarques}~:\\ \begin{itemize} \item Ainsi, dire que $G$ est le {\bf barycentre} de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ signifie deux choses~: $$ \alpha +\beta \not= 0 {\textnormal{ et }} \alpha \Vect{GA} +\beta \Vect{GB}=\vect{0} $$ \item D'après la preuve précédente, le barycentre n'existe pas lorsque $\alpha +\beta \not= 0 $ et $A \not= B$. \end{itemize} %======================================================================== \exo{} \begin{enumerate} \item Démontrez, lorsque $A \not= B$, que le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ est sur la droite $(AB)$. \item Réciproquement, démontrez que tout point $M$ de la droite $(AB)$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ avec $\alpha$ et $\beta$ convenablement choisis. \item Résumez ce qui a été démontré en une seule phrase. \end{enumerate} %======================================================================== \noindent {\bf Remarque}~: Retenez surtout de l'exo précédent, que deux points pondérés et leur barycentre sont alignés$\ldots$ \subsection{Homogénéité du barycentre} \begin{propriete} Si $G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$ alors $G$ est aussi le barycentre de $(A,k\alpha)$, $(B,k\beta)$ lorsque $k$ est une constante réelle non nulle. Autrement dit, le barycentre est invariant si on change les coefficients par des coefficients proportionnels. \end{propriete} \begin{preuve} \vspace{5em} \end{preuve} \begin{definition} Lorsque les points $A$ et $B$ sont affectés du même coefficient $\alpha$, non nul, le barycentre de $G$ de $(A,\alpha)$, $(B,\alpha)$ est appelé {\bf l'isobarycentre} de $A$ et $B$.\\ Il est donc, d'après ce qui précède, le barycentre de $(A,1), (B,1)$ et c'est le seul point $G$ tel $\Vect{GA}+\Vect{GB}=\vect{0}$. \end{definition} %============================================================================== \exo{} Prouvez, lorsque $A \not= B$, que l'isobarycentre de $A$ et $B$ n'est pas un point quelconque$\ldots$ %============================================================================== \subsection{Réduction vectorielle} \begin{theoreme} $G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$.\\ Alors {\bf pour tout point} {$\mathbf M$}, {$\mathbf \alpha \Vect{MA}+ \beta \Vect{MB}=(\alpha+\beta) \Vect{MG}$} \end{theoreme} \begin{preuve} \vspace{5em} \end{preuve} \section{Barycentre de trois points} Les définitions et résultats de la section précédente s'étendent sans difficulté au cas d'un système de trois points pondérés. \subsection{Extension des théorèmes et propriétés précédentes} \begin{theoreme} $A$, $B$, $C$ sont trois points et $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ trois réels tels que $\alpha+\beta+\gamma \not= 0$.\\ Il existe un unique point $G$ du plan tel que~: $$ \alpha \Vect{GA} +\beta \Vect{GB}+\gamma \Vect{GC}=\vect{0} $$ Ce point est appelé le {\bf barycentre} des points pondérés $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$, $(C,\gamma)$. \end{theoreme} \begin{propriete} $G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$, $(C,\gamma)$ alors $G$ est aussi le barycentre de $(A,k\alpha)$, $(B,k\beta)$ et $(C,k\gamma) $où $k$ est une constante non nulle. Autrement dit le barycentre est invariant si on change les poids par des poids proportionnels. \end{propriete} \begin{definition} Lorsque les points $A$, $B$ et $C$ sont affectés du même coefficient $\alpha$, non nul, le barycentre $G$ de $(A,\alpha)$, $(B,\alpha)$, $(C,\gamma)$ est appelé {\bf l'isobarycentre} de $A$, $B$ et $C$. \end{definition} D'après la propriété précédente l'isobarycentre de $A$, $B$ et $C$ est aussi l'isobarycentre de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,1)$ et c'est le seul point $G$ tel $\Vect{GA} + \Vect{GB}+ \Vect{GC}=\vect{0}$. %============================================================================== \exo{} Prouvez, lorsque $ABC$ est un triangle que l'isobarycentre de $A,B,C$ est le centre de gravité du triangle $ABC$. %============================================================================== \begin{theoreme} Réduction vectorielle. \\ $G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$, $(C,\gamma)$.\\ Alors {\bf pour tout point} {$\mathbf M$}, {$\mathbf \alpha \Vect{MA}+ \beta \Vect{MB}+\gamma \Vect{MC}=(\alpha+\beta+\gamma) \Vect{MG}$} \end{theoreme} \subsubsection{Règle d'associativité} \begin{theoreme} $G$ est le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$, $(C,\gamma)$.\\ Supposons que $\alpha+\beta \not=0$ et notons $H$ le barycentre de $(A,\alpha)$, $(B,\beta)$.\\ Alors $G$ est le barycentre de $(H, \alpha+\beta)$ , $(C,\gamma)$. \end{theoreme} \begin{preuve} \vspace{10em} \end{preuve} \noindent {\bf Remarque}: \\ Cette propriété est quelques fois appelée règle d'associativité, elle dit que dans la recherche du barycentre de trois points, on peut remplacer certains d'entre eux par leur barycentre $H$ (sous réserve d'existence), affecté de la somme non nulle de leurs coefficients. \section{Barycentre de $n$ points} \noindent On généralise (les preuves sont identiques), les résultats établis pour deux ou trois points.\\[1em] $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$ sont $n$ points et $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ $n$ réels tels que $a_{1}+a_{2}+\ldots a_{n}\not= 0$. \begin{itemize} \item Il existe un unique point $G$ tel que~: $$ a_{1}\Vect{GA_{1}}+a_{2}\Vect{GA_{2}}+\ldots+a_{n}\Vect{GA_{n}}=\vect{0}. $$ Le point $G$ est appelé le barycentre des $n$ points pondérés $(A_{1},a_{1}), (A_{2},a_{2}),\ldots ,(A_{n},a_{n})$. \item Pour tout point $M$, $$ a_{1}\Vect{MA_{1}}+a_{2}\Vect{MA_{2}}+\ldots +a_{n}\Vect{MA_{n}}= (a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n})\Vect{MG} $$ \item Pour tout réel $k$, non nul, les points pondérés $(A_{1},a_{1}), (A_{2},a_{2}),\ldots ,(A_{n},a_{n})$, et les points \\ $(A_{1},ka_{1}), (A_{2},ka_{2}),\ldots ,(A_{n},ka_{n})$ ont le même barycentre. Autrement dit, on ne change pas la barycentre en changeant les coefficients par des coefficients proportionnels. \item Dans le cas où $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}\not=0$, $G$ est appelé l'isobarycentre des $n$ points $A_{1},A_{2},\ldots,A_{n}$. \item Règle d'associativité~:\\ Pour trouver le barycentre $G$, de $n$ points, lorsque $n \geq 3$, on peut remplacer $p$ points, pris parmi les $n$ points, par leur barycentre (s'il existe) affecté de la somme non nulle de leurs coefficients. \end{itemize} \subsection{Coordonnées du barycentre} \begin{theoreme} Dans un repère \rep du plan, le barycentre de $n$ points pondérés a pour abscisse (resp. ordonnée) la moyenne pondérée, par les coefficients des points, des abscisses (resp. ordonnées) de ces points. Ainsi~: (avec des notations évidentes) $$ x_{G}=\frac{a_{1}x_{A_{1}}+a_{2}x_{A_{2}}+\ldots+a_{n}x_{A_{n}}}{a_{1}+a_{2} +\ldots + a_{n}}$$ $$ y_{G}=\frac{a_{1}y_{A_{1}}+a_{2}y_{A_{2}}+\ldots+a_{n}y_{A_{n}}}{a_{1}+a_{2} +\ldots + a_{n}} $$ \end{theoreme} \end{document}