\documentclass[a4paper,11pt,dvips]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{geometry} \usepackage{array} \usepackage{fancybox} \usepackage{amsmath} \usepackage{multicol} \usepackage{graphicx} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \setlength{\textwidth}{17cm} \setlength{\textheight}{25cm} \setlength{\oddsidemargin}{-5.5mm} \setlength{\evensidemargin}{0pt} \setlength{\marginparwidth}{1cm} \setlength{\headheight}{13pt} \setlength{\topmargin}{-30pt} \setlength{\footskip}{26pt} \setlength{\headsep}{13pt} \geometry{ hmargin=1.5cm, vmargin=1cm } \rfoot{\textit{\footnotesize{Cours distances et angles\\ classe de 4\textsuperscript{ème} - année 2002-2003}}} \rhead{}\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \begin{document} \centerline{\shadowbox{\parbox{12 cm}{\centering\textsc{\large Distances et angles}}}} \section*{Références au programme} {\footnotesize \begin{center}\begin{tabular}{|p{4cm}|p{6.5cm}|p{6.5cm}|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Contenus}}&\multicolumn{1}{c|}{\textbf{Compétences exigibles}}&\multicolumn{1}{c|}{\textbf{Commentaires}}\\ \hline Tangente ; distance d'un point à une droite &\begin{itemize}\item[$\bullet$] Construire la tangente à un cercle en l'un de ses points. \item[$\bullet$]Savoir que le point le plus proche d'un point donné est le pied de la perpendiculaire menée du point à la droite. \end{itemize} & \\\hline Cosinus d'un angle aigu&\begin{itemize} \item[$\bullet$] Utiliser, pour un triangle rectangle, la relation entre le cosinus d'un angle aigu et les longueurs de deux côtés adjacents. \item[$\bullet$] Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée : \begin{itemize}\item du cosinus d'un angle aigu donné, \item de l'angle aigu dont on connaît le cosinus . \end{itemize}\end{itemize}& \\ \hline \end{tabular}\end{center}} \section{Distance d'un point à une droite} \begin{minipage}{12cm}\begin{tabular}{cp{10cm}}\textbf{Propriété : }& \indent On considère une droite ($d$) et un point $A$ qui n'appartient pas à ($d$). \par Le point de la droite ($d$) le plus proche de $A$ est le point $H$ tel que la droite ($AH$) est perpendiculaire à ($d$). \par $AH$ est appelée la {\textbf {distance}} du point $A$ à la droite ($d$) : c'est la plus courte distance du point $A$ à un point quelconque de la droite ($d$). \end{tabular}\\[0.2cm] {\textbf{Remarque :}} pour tout point $M$ de ($d$) non confondu avec $H$, on a $AH$ < $AM$. \end{minipage}\hfill\begin{minipage}{4.5cm}\begin{center}\includegraphics{courscosinus.1}\end{center}\end{minipage} \section{Tangente à un cercle en un point} \begin{minipage}{12cm}\begin{tabular}{cp{10cm}}\textbf{Propriété : }& \indent On considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et un point $A$ de ce cercle. \par On dit qu'une droite $d$ est {\textbf{tangente }} au cercle $\mathcal{C}$ au point $A$ si la droite $d$ a un seul point d'intersection avec le cercle $\mathcal{C}$ : le point $A$. \par La tangente en $A$ au cercle $\mathcal{C}$ est la droite perpendiculaire au rayon $\left[OA\right]$ et passant par le point $A$. \end{tabular}\\[0.2cm] {\textbf{illustration :}} sur le dessin ci-contre, la droite $d$ est tangente en $A$ au cercle $\mathcal{C}$ alors que la droite $d'$ n'est pas tangente en $B$ au cercle $\mathcal{C}$. \end{minipage}\hfill\begin{minipage}{4.5cm}\begin{center}\includegraphics[scale=0.8]{courscosinus.2}\end{center}\end{minipage} \section{Cosinus d'un angle aigu} \subsection{vocabulaire de la trigonométrie} \begin{minipage}{8cm} \includegraphics{courscosinus.3}%\end{center} \end{minipage} \hfill\begin{minipage}{8cm}Un angle aigu d'un triangle rectangle est formé de deux côtés : l'hypoténuse et le côté adjacent.(adjacent : du latin {\emph {adjacens}}, situé auprès donc "qui touche")\end{minipage} \subsection{le nombre cosinus} \begin{minipage}{12cm}\begin{tabular}{cp{10cm}}\textbf{Propriété : }& \indent Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le nombre égal au quotient : $$\frac{longueur \, du \,c \hat{o} t \acute{e} \, adjacent}{longueur \, de \, l'hypot \acute{e} nuse}$$ Ce quotient ne dépend que de la mesure de l'angle. \end{tabular}\\[0.5cm] {\textbf{illustration :}} le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1, car l'hypoténuse d'un triangle rectangle est toujours le plus grand côté. \end{minipage}\hfill\begin{minipage}{4.5cm}\includegraphics[scale=1.1]{courscosinus.4}\end{minipage} \subsection{Utilisation de la calculatrice } \subsubsection{Déterminer un cosinus} Pour déterminer avec une calculatrice le cosinus d'un angle dont on connaît la mesure, on utilise la touche \Ovalbox{{\textbf{cos}}}.\\ {\textbf{Exemple :}} Déterminer un arrondi au millième de $\cos$\,43° : on tape \Ovalbox{{\textbf{cos}}}\,\Ovalbox{{\textbf{4}}}\,\Ovalbox{{\textbf{3}}}\,\Ovalbox{{\textbf{\small{EXE}}}} et on obtient 0,731\,353\,7 donc $\cos$\,43°$\approx $ 0,731. \subsubsection{Déterminer un angle} Pour déterminer un angle avec une calculatrice, connaissant son cosinus, on utilise la touche correspondant à "cos$^{-1}$" que l'on atteint souvent avec la touche \Ovalbox{{\textbf{\small{INV}}}} ou \Ovalbox{{\textbf{\small{2nd}}}} ou \Ovalbox{{\textbf{\small{SHIFT}}}}. \\ {\textbf{Exemple :} } Déterminer un arrondi au centième de l'angle $\widehat{B}$ sachant que $\cos\widehat{B}$ = 0,67 :\\ On tape \Ovalbox{{\textbf{cos$^{-1}$}}}\,\Ovalbox{{\textbf{0}}}\,\Ovalbox{{\textbf{,}}}\,\Ovalbox{{\textbf{6}}}\,\Ovalbox{{\textbf{7}}} et on obtient 47,932\,93 donc mes\,$\widehat{B}\approx$ 47,9°. \section{Calculs d'angles et de longueurs avec le cosinus} \subsection{Calculer la mesure d'un angle aigu d'un triangle rectangle} \begin{minipage}{10cm} Sur la figure ci-contre, on a deux triangles rectangles et un certain nombre de longueurs affichées.\\ A l'aide de la trigonométrie : \begin{enumerate} \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{RTA}$. \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ATC}$. \item En déduire la nature du triangle $RTC$. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill\begin{minipage}{6cm}\includegraphics{courscosinus.5}\end{minipage} \subsection{Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle} \begin{minipage}{10cm} Sur la figure ci-contre, on a deux triangles rectangles et certaines mesures d'angles et de longueurs.\\ A l'aide de la trigonométrie : %\includegraphics{bissectrice.eps} \begin{enumerate} \item Calculer la longueur $RT$. \item Calculer la longueur $SU$. %\item En déduire la nature du triangle $RTC$. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill\begin{minipage}{6cm}\includegraphics[scale=0.9]{courscosinus.6}\end{minipage} \end{document}