\documentclass[a4paper,11pt]{article} \usepackage{francois_meria} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[dvips]{epsfig} \title{} \author{\texttt{François Meria}} \date{} \lhead{\textit{Mathématiques} - 4\ieme} \chead{} \rhead{\textit{Année} 2005/2006} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} \setlength{\parindent}{0mm} \begin{document} \vskip 0.4cm \centerline{\huge Calculs de vitesses, mouvement uniforme} \vskip 1cm La vitesse instantannée est le rapport d'une petite variation de distance par une petite variation de temps. Dans le cas qui nous intéresse en classe de 4\ieme, on suppose que les mouvements étudiés sont \emph{uniformes}, \ie ~ que la relation \begin{equation} \label{v} \boxed{v=\frac{d}{t} } \end{equation} est toujours vérifée.\\ On peut retenir cette relation de la manière suivante \begin{equation} \label{textev} \boxed{ \text{vitesse}=\frac{\text{distance parcourue}}{\text{temps de parcours}}} \end{equation} Cette relation signifie que l'on peut calculer \begin{enumerate}[i.] \item la \textit{vitesse} connaissant la \textit{distance parcourue} et le \textit{temps de parcours} ; \item la \textit{distance parcourue} connaissant la \textit{vitesse} et le \textit{temps de parcours} ; \item le \textit{temps de parcours} connaissant la \textit{vitesse} la \textit{vitesse} et la \textit{vitesse}. \end{enumerate} \vskip 0.5cm Dans la pratique, pour déterminer une donnée à partir des deux autres, on peut utiliser un tableau de proprotionnalité et calculer une quatrième proportionnelle, comme dans l'exemple suivant. \begin{exemple} Une voiture parcourt 18 km à la vitesse de 36 km.h$^{-1}$ ; en combien de temps la voiture parcourt-elle cette distance ? \end{exemple} \begin{multicols}{2} On peut utiliser le tableau suivant $$\begin{array}{|c|c|} \hline & \\ 36 ~\dfrac{\text{km}}{\text{h}} & 18 \text{~km} \\ & \\ \hline & \\ 1 & t \\ & \\ \hline \end{array}.$$ \columnbreak Ainsi, on a $$t=\frac{18\text{~km}\times 1}{36 ~\dfrac{\text{km}}{\text{h}}},$$ soit $t=0,5~\text{h}$. \end{multicols} \section*{Exercices d'application de la formule $v=\dfrac{d}{t}$} \begin{exercice} Un ascenseur permet de monter à une vitesse de 3m par seconde. \begin{enumerate}[1.] \item Combien de temps lui faut-il pour monter à 40~m de haut ? \item Combien de temps lui faut-il pour monter à 370~m de haut ? \item De quelle hauteur s'élève-t-il en 1 minute et 12 secondes ? \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Calculer la donnée manquante dans le tableau suivant. On donnera s'il y a lieu les résultats avec un chiffre après la virgule. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline vitesse & distance parcourue & temps de parcours \\ (km.h$^{-1}$) & km & h\\ \hline \ldots & 37 & 4 \\ \hline 58 & \ldots & 54 \\ \hline 23 & 17 & \ldots \\ \hline 20 & \ldots & 59 \\ \hline 39 & 40 & \ldots \\ \hline 53 & \ldots & 31 \\ \hline 5 & 31 & \ldots \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{exercice} Dans l'exerecice précédent, il n'est pas nécessaire de tenir compte des unités car celles-ci sont homogènes (km/h ; km et h), en sorte que l'on peut très bien calculer en se passant d'elles et qu'il n'y a alors pas d'intérêt particulier à les introduire dans le calcul.\\ Par contre, lorsque les résultats demandés sont dans des unités non homogènes (par exemple km/h ; dam et min) il peut être utile de laisser les unités et de faire les conversions dans les calculs en utilisant les résultats sur les nombres en écriture fractionnaire. Donnons un exemple. \begin{exemple} Calculer la vitesse $v$ en m.s$^{-1}$ connaissant la distance $d=3~$hm et le temps de parcours $t=2$~min.\\ On a : $$ v=\dfrac{d}{t} =\dfrac{3~\text{hm}}{2\text{~min}} =\dfrac{3\times 100~\text{m}}{2\times 60~ \text{s}}=\dfrac{3\times 100}{2\times 60} \cdot \dfrac{\text{m}}{\text{s}}=2,5~ \text{m}.\text{s}^{-1}. $$ \end{exemple} \begin{exercice} Calculer la donnée manquante dans le tableau suivant. On donnera s'il y a lieu les résultats avec un chiffre après la virgule. \begin{center} \begin{tabular}{|c|l|c|l|c|l|} \hline vitesse & unité & distance & unité & temps & unité \\ \hline \ldots & m/s & 15 & hm & 23 & min \\ \hline 15 & km/h & \ldots & cm & 8 & s \\ \hline 55 & dam/min & 49 & km & \ldots & h \\ \hline 10 & m/s & \ldots & km & 33 & quart d'heure \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{exercice} \begin{exercice} Même exercice que le précédent. \begin{center} \begin{tabular}{|c|l|c|l|c|l|} \hline vitesse & unité & distance & unité & temps & unité \\ \hline \ldots & m/h & 8 & km & 38 & s \\ \hline 44 & km/h & \ldots & dam & 21 & min \\ \hline 57 & m/s & 40 & dm & \ldots & min \\ \hline 9 & m/jour & \ldots & mm & 16 & h \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{exercice} \end{document}