\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{ulem} \date{} \author{} \title{Chapitre III: Les fractions} \textheight27cm \textwidth19cm \hoffset-3cm \voffset-3.5cm \evensidemargin1cm \oddsidemargin1cm \parskip6pt \begin{document} \tableofcontents \maketitle \section {Simplification de fractions} \textbf{Propriété :} Le quotient de deux nombres ne change pas si l'on multiplie ou si l'on divise le numérateur ET le dénominateur par un même nombre non nul.On peut ainsi écrire que pour tous nombres $a$,$b$ et $c$ avec $b$ et $c$ non nuls : \begin{center} $\displaystyle{\frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}} $ avec $b \neq 0$ et $c \neq 0$ \end{center} \textbf{Exemples :} On obtient très facilement les deux exemples suivants de simplification. \begin{enumerate} \item $\displaystyle{\frac{10}{8}=\frac{5 \times \xout{2}}{4 \times \xout{2}}=\frac {5}{4}}$ \item $\displaystyle{\frac{21}{84}=\frac{3 \times \xout{7}}{12 \times \xout{7}}=\frac{3}{12}=\frac {1 \times \xout{3}}{4 \times \xout{3}}=\frac {1}{4}} $ \end{enumerate} \section {Additions et soustractions} \subsection {Si les dénominateurs sont égaux} \textbf{Propriété :}Si les dénominateurs sont identiques, on n'ajoute (on soustrait) que les numérateurs. \begin{center} $\displaystyle{\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}} $ et $\displaystyle{\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}} $ où $c \neq 0$ \end{center} \textbf{Exemple :} $\displaystyle{\frac{5}{6}+\frac{-7}{6}=\frac{5+(-7)}{6}=\frac{-2}{6}=\frac{1}{3}}$ \subsection {Si les dénominateurs sont différents} \textbf{Propriété :}Si les dénominateurs sont différents, on transforme une des fractions, voire même les deux de façon à les mettre au même dénominateur, qu'on appellera alors le dénominateur commun.On se ramène alors à deux fractions de dénominateurs égaux. \textbf{Exemples :} \begin{enumerate} \item $\displaystyle{\frac{5}{4}+\frac{2}{3}=\frac{15}{12}+\frac{8}{12}=\frac{15+8}{12}=\frac{23}{12}}$ On a cherché pour dénominateur commun un nombre qui soit le plus petit possible, et qui soit à la fois dans la table de 4 et dans celle de 3 : c'est 12 qui convient. Notez qu'on peut l'obtenir en faisant $4 \times 3$, mais ce n'est malheureusement pas une méthode "générale" et bonne comme nous le prouve l'exemple suivant. \item $\displaystyle{\frac{-2}{6}+\frac{1}{4}=\frac{-4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{-4+3}{12}=\frac{-1}{12}}$ Ici, on a cherché pour dénominateur commun un nombre qui soit le plus petit possible, et qui soit à la fois dans la table de 6 et dans celle de 4 : c'est 12 qui convient. Notez que cette fois-ci, la "pseudo-méthode" $6 \times 4$ ne donnait pas le meilleur résultat puisqu'on obtient deux fractions sur 24 (elles sont donc plus lourdes à gérer et il faudrait alors simplifier le résultat obtenu). \end{enumerate} \section {Multiplications} \textbf{Propriété :}Dans tous les cas, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.\par \begin{center} $\displaystyle{\frac{a}{c}\times \frac{b}{d}=\frac{a \times b}{c \times d}} $ où $c \neq 0$ et $d \neq 0$ \end{center} \textbf{Remarque importante :}En général, on essayera de simplifier les fractions AVANT de calculer à l'aide de cette formule. L'intérêt : il y a moins de calculs à faire et les fractions obtenues sont alors simplifiées. \textbf{Exemples:} \begin{enumerate} \item $\displaystyle{\frac{-3}{5}\times \frac{7}{-2}=\frac {-3 \times 7}{5 \times (-2)}=\frac {-21}{-10}=\frac {21}{10}}$ \par On a appliqué la formule à la lettre. Malheureusement, ce n'est pas toujours la meilleure méthode comme nous le montre ce second exemple! \item $\displaystyle{\frac{21}{84}\times\frac{12}{168}=\frac{21 \times 12}{84 \times 168}} $\par Avons-nous envie d'appliquer la formule à la lettre ? Clairement pas.Les calculs,sans être complexes ne donnent pas envie de s'y mettre. On décompose alors chaque nombre aux numérateurs et aux dénominateurs et en simplifiant ensuite ce qui donne :\par $\displaystyle{\frac{21}{84}\times\frac{12}{168}=\frac{21 \times 12}{84 \times 168}=\frac {\xout{3}\times \xout{7}\times 1\times \xout{3}\times \xout{7}\times 5}{\xout{3}\times \xout{7}\times 4\times \xout{3}\times \xout{7}\times 6}=\frac {1\times 5}{4\times 6}=\frac {5}{24}}$ \end{enumerate} \section {Inverse d'une fraction} a et b sont deux relatifs non nuls. L'inverse d'une fraction $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ où $b \neq 0$ est la fraction $\displaystyle{\frac{b}{a}}$ où $a \neq 0$.En effet, nous savons qu'un nombre multiplié par son inverse donne toujours 1. On peut le vérifier ici : $\displaystyle{\frac{a}{b}\times \frac{b}{a}=\frac{a \times b}{b \times a}= 1}$ \textbf{Exemple :} L'inverse de la fraction $\displaystyle{\frac{5}{6}}$ est la fraction $\displaystyle{\frac{6}{5}}$. \section {Divisions} \textbf{Propriété :}Diviser par un nombre (non nul!),c'est le multiplier par son inverse. \begin{center} $\displaystyle{\frac{a}{c}\div \frac{b}{d}=\frac{a}{c} \times \frac{d}{b} } $ où $b \neq 0$,$c \neq 0$ et $d \neq 0$ \end{center} \textbf{Exemples:} \begin{enumerate} \item $\displaystyle{\frac{-3}{5} \div \frac {-2}{7}= \frac{-3}{5}\times \frac{7}{-2}=\frac {-3 \times 7}{5 \times (-2)}=\frac {-21}{-10}=\frac {21}{10}}$ \item $\displaystyle{\frac{21}{84}\div \frac{168}{12}=\frac{21}{84}\times\frac{12}{168}=\frac{21 \times 12}{84 \times 168}=\frac {\xout{3}\times \xout{7}\times 1\times \xout{3}\times \xout{7}\times 5}{\xout{3}\times \xout{7}\times 4\times \xout{3}\times \xout{7}\times 6}=\frac {1\times 5}{4\times 6}=\frac {5}{24}}$ Comme cela a été vu dans l'exemple sur la multiplication. \end{enumerate} \section {Comparaison} \textbf{Propriétés :} \begin{enumerate} \item Deux fractions sont égales si les produits en croix sont égaux. \item Une fraction est plus grande (petite) que 1 si le numérateur est plus grand (petit) que le dénominateur.\item Pour comparer des fractions on peut réduire au même dénominateur positif, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. \end{enumerate} \textbf{Exemples:} \begin{enumerate} \item $\displaystyle{\frac{2}{3}=\frac{10}{15}}$ car les produits en croix $2\times15$ et $3\times10$ sont égaux à $30$. \item On a :$\displaystyle{\frac{2}{3}<1}$ car le numérateur est plus petit que le dénominateur.\par De même,$\displaystyle{\frac{5}{2}>1}$ car le dénominateur est plus petit que le numérateur \item Supposons que nous voulions comparer $\displaystyle{A=\frac{2}{-3}}$ et $\displaystyle{B=\frac{-7}{11}}$. \par On commence déjà par les mettre sous un dénominateur positif,ce qui est déjà fait pour $B$;il ne reste plus qu'à transformer $A$, on obtient : $\displaystyle{A=\frac{-2}{3}}$.\par On les place alors sous un dénominateur commun, on trouve aisément :$\displaystyle{A=\frac{-22}{33}}$ et $\displaystyle{B=\frac{-21}{33}}$.\par Ainsi,on a $A<B$ car $-22<-21$. \end{enumerate} \section {Fraction d'une quantité} \textbf{Propriété:}Prendre une fraction d'une quantité revient à multiplier cette quantité par la fraction.\par \textbf{Exemples:} \begin{enumerate} \item Les $\displaystyle{\frac{4}{5}}$ d'un bidon de $10$L d'huile font $\displaystyle{\frac{4}{5}\times10=8}$L. \item Les$\displaystyle{\frac{3}{4}}$ du tiers d'un bidon d'huile font $\displaystyle{\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{4}}$ du bidon. \item Les $\displaystyle{\frac{9}{4}}$d'une heure (60mn) font $\displaystyle{\frac{9}{4}\times60=135}$mn soit encore 1h et quart. \end{enumerate} \end{document}