index.tex

\documentclass[twocolumn]{article}
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\columnseprule0.25pt
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°1\hfill401DM1}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} En détaillant sur ta copie, effectue les calculs suivants
$$\Eqalign{
A&=2\times5-3\qquad&B&=(4+7\times2)\div3\cr
C&=\frac{2}{3}\times\frac{4}{3}&D&=\frac{7}{4}-\frac{2}{3}\cr
E&=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{6}&F&=(-1)+(-4)\cr
G&=(+4)+(-7)&H&=(-4)-(+7)\cr
}$$
\exo{2} Un blouson a un prix réel de 120 euros.
\begin{enumerate}
\item Le vendeur consent à faire une remise de 20\% sur le prix réel. Quel est le nouveau prix du blouson ?
\item Le client est encore indécis. Alors le vendeur décide de solder le blouson à 81,6\textgreek{\euro}. Quel pourcentage du prix après la première remise représente la deuxième remise ?
\item Quel pourcentage du prix réel représente le total des deux remises ?
\par Que remarque-t-on ?
\end{enumerate}
\exo{3}
\begin{enumerate}
\item Construis un parallélogramme $ABCD$ tel que $AB=5\,cm$, $BC=3\,cm$ et $\widehat{ABC}=65$°.
\item Calcule son périmètre.
\item Place un point $M$ à l'extérieur du parallélogramme $ABCD$.
\item Construis le point $N$ tel que le quadrilatère $MDNB$ soit un parallélogramme. Explique ta construction.
\item Prouve que le quadrilatère $MANC$ est un parallélogramme
\end{enumerate}
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°2\hfill401DM2}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} Effectue, en les détaillant, les calculs suivants :
$$\Eqalign{
A&=(-3)+(+7)-(+4)\kern1cm&B&=(-4)\times(-5)+12\cr
C&=[7+(-9)]\times(-6)&D&=12\times(-4)+(-13)\times(-4)\cr
E&=[4\times(-6)-(-7)]\times(-2)\cr
}$$
\exo{2} Détermine la valeur de l'expression $G=2x+3y-xy$ pour $x=2;\,y=-3$ puis pour $x=-1;\,y=-2$.
\exo{3} Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$.
\begin{enumerate}
\item Place le point $I$, milieu du segment $[AB]$, et le point $K$, milieu du segment $[CD]$.
\item Par la symétrie centrale de centre $O$, quelle est l'image du point $A$ ? du point $B$ ? du segment $[AB]$ ? du point $I$ ?\par On justifiera chaque réponse.
\item Démontre que le quadrilatère $AICK$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\exo{4} Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6\,cm$, $BC=5\,cm$ et $AC=8\,cm$.
 On appelle $I$ le milieu du segment $[AB]$ et $J$ le milieu du segment $[AC]$.
\par\begin{enumerate}
\item Soit $M$ un point extérieur au triangle $ABC$.
\par Construis le point $N$, symétrique du point $M$ par rapport au point $I$.
\item Soit $(d_1)$ la parallèle à la droite $(AN)$ passant par $C$ et $(d_2)$ la parallèle à la droite $(NC)$ passant par $A$. Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent en $O$.\par Prouve que le quadrilatère $ANCO$ est un parallélogramme.
\item Déduis-en que $J$ est le milieu du segment $[NO]$.
\end{enumerate}
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°3\hfill401DM3}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} La lumière solaire pénètre jusqu'à la côte $-500$ mètres sous le niveau de la mer.
\begin{enumerate}
\item Des scientifiques ont mesuré que les cachalots peuvent descendre 5 fois plus profondément que la lumière solaire.
\par Quelle côte peuvent atteindre les cachalots ?
\item En 1960, le bathyscaphe Trieste, est descendu $21,8$ fois plus profondément que la lumière solaire.\par Quelle côte avait atteint ce sous-marin ?
\end{enumerate}
\exo{2} Effectue les calculs suivants
$$\Eqalign{
A&=(-4)\times(-3)+7\times(-5)\qquad&B&=6\times(-7)-(-4)\times2\qquad\cr
\cr
C&=[3\times(-4)+2]\times[2\times(-5)-1]&D&=[7\times(-8)-6]\times4-2\cr
}$$
\exo{3} Soit $EFC$ un triangle tel que $EF=6\,cm$, $EC=4\,cm$, $FC=8\,cm$. Dans le triangle $EFC$, la hauteur issue de $E$ coupe la droite $(FC)$ en $E'$ et la hauteur issue de $F$ coupe la droite $(EC)$ en $F'$.
\begin{enumerate}
\item Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle $EE'F$ ? Quel est le rayon de ce cercle ?
\item Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle $FF'E$ ? Quel est le rayon de ce cercle ?
\item Explique pourquoi les points $E,\,F,\,E',\,F'$ sont sur un même cercle\footnote{4 points qui appartiennent à un même cercle sont dits {\bf cocycliques}.}.
\end{enumerate}
\exo{4} Construis un cercle $\cal C$ de diamètre $[AA']$ tel que $AA'=10\,cm$. Place ensuite le point $M'$ sur le cercle $\cal C$ tel que $AM'=6\,cm$ et $B$, le point du segment $[AA']$ tel que $AB=2\,cm$.\par La perpendiculaire à la droite $(AM')$ passant par $B$ coupe la droite $(AM')$ en $M$.
\par Démontre que les droites $(MB)$ et$(A'M')$ sont parallèles.
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°4\hfill401DM4}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} On donne $a=-2$ et $b=5$. Calculez :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Le produit des inverses de $a$ et $b$.
\item L'inverse du produit de $a$ et $b$.
\item L'opposé de l'inverse de $a$.
\item L'inverse de l'opposé de $a$.
\item L'opposé du produit des inverses de $a$ et $b$.
\item L'inverse du produit des inverses de $a$ et $b$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\exo{2}
\begin{enumerate}
\item J'ai choisi un nombre $x$. Je lui ai retranché 12 et j'ai multiplié le résultat par $-9$. J'ai ainsi trouvé 900.\par Quel était la valeur de $x$ ?
\item J'ai choisi un nombre $y$. Je l'ai multiplié par $-100$ et j'ai ajouté $1\,000$ au résultat. J'ai ainsi trouvé 999.\par Quel était la valeur de $y$ ?
\end{enumerate}
\exo{3} Soit $ABC$ un triangle sans angle obtus. Soit $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[AC]$.
\begin{enumerate}
\item Construis la hauteur issue de $A$. Elle coupe la droite $(BC)$ en $H$.
\begin{enumerate}
\item Construis le point $E$, symétrique du point $H$ par rapport au point $I$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère $EAHB$ ? Justifie la réponse.
\item Déduis-en que $IH=IA$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Construis le point $F$, symétrique du point $H$ par rapport au point $J$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère $FCHA$ ? Justifie la réponse.
\item Déduis-en que $JH=JA$.
\end{enumerate}
\item Que représente la droite $(IJ)$ pour le segment $[AH]$ ? Justifie la réponse.
\item Déduis-en que les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\exo{4} Soit $P$, $A$, $U$ trois points alignés. Une droite passant par $A$ coupe le cercle de diamètre $[PA]$ en $I$ et le cercle de diamètre $[AU]$ en $T$.
\par Démontre que les droites $(PI)$ et $(UT)$ sont parallèles.
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°5\hfill401DM5}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} Effectue les calculs suivants
$$\Eqalign{A&=[(-3)\times7+6]\div(-5)\qquad&B&=[(-40)\div8+7]\times(-3)\cr
C&=18\div(-6)-5\times(-2)&D&=(7-(-3)\times4)\times(-2)+(-12)\cr
}$$
\exo{2}
\begin{enumerate}
\item Construis un triangle $EFG$ tel que $EF=6\,cm$, $\widehat{EFG}=50$°, $\widehat{FEG}=60$°.\par Soit $K$ le milieu du segment $[EF]$. La parallèle à la droite $(EG)$ passant par $K$ coupe le segment $[FG]$ en $L$.
\item Prouve que $L$ est le milieu du segment $[FG]$.
\end{enumerate}
\exo{3} Soit $ABC$ un triangle et $M$ un point quelconque du segment $[AB]$. La parallèle à la droite $(BC)$ passant par $M$ coupe la droite $(AC)$ en $N$. $K$ est le symétrique du point $M$ par rapport au point $B$. On appelle $L$ le point d'intersection des droites $(BC)$ et $(KN)$.
\begin{enumerate}
\item Fais une figure.
\item Prouve que $L$ est le milieu du segment $[KN]$.
\end{enumerate}
\exo{4} L'indice CAC 40 mesure l'activité boursière française. A la bourse de Paris:
\begin{itemize}
\item l'ouverture se fait à 9h00 : le niveau du CAC 40 est alors celui de la veille;
\item la fermeture ou \og clôture\fg{} s'effectue à 17h30 : on arrêt alors les cotations et on affiche la tendance finale : hausse ou baisse.
\end{itemize}
\par Le 6 Août 2001, le CAC 40 a clôturé en hausse de 0,69\% et le 7 Août 2001, il affichait une baisse finale de 0,29\%. Son niveau était alors de 5051,65 points.\par Quel était alors son niveau le 6 Août 2001 à l'ouverture ?
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°6\hfill401DM6}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} Soit un triangle $OBE$.
\par Soit $A$ le symétrique de $B$ par rapport à $O$. Soit $C$ le symétrique de
 $E$ par rapport à $O$.\par Soit $D$ le symétrique de $O$ par rapport à $B$. Soit $F$ le symétrique de $O$ par rapport à $E$.
\begin{enumerate}
\item Fais une figure.
\item Prouve que les droites $(AC)$ et $(BE)$ sont parallèles.
\item Que peut-on dire des droites $(BE)$ et $(DF)$ ? Justifie.
\item Conclue que les droites $(AC)$ et $(DF)$ sont parallèles et que $$AC=\frac{1}{2}DF$$
\end{enumerate}
\exo{2} $ABC$ est un triangle. $D$ est le milieu du segment $[BC]$. $N$ est le milieu du segment $[AD]$. La droite $(CN)$ coupe le segment $[AB]$ en $F$.\par Par $D$, on trace la parallèle à $(CF)$; elle coupe la droite $(AB)$ en $E$.
\begin{enumerate}
\item Fais la figure.
\item Démontre que $F$ est le milieu du segment $[AE]$.
\item Démontre que $E$ est le milieu du segment $[BF]$.
\end{enumerate}
\exo{3} Calcule les expressions suivantes
$$\Eqalign{
A&=\frac{3}{4}-\frac{5}{4}\qquad&B&=\frac{3}{5}-\frac{2}{10}\qquad&C&=\frac{4}{5}-\frac{6}{7}\cr
\cr
D&=\frac{2}{7}\times\frac{14}{5}&&&F&=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\times\frac{1}{4}\cr
}$$
\exo{4} Ce mois-ci, Emilie a dépensé un quart de son argent de poche pour des livres, un tiers pour le cinéma et un autre tiers pour des dépenses diverses.
\par A-t-elle dépensé tout son argent ? Si non, calcule la fraction de son argent de poche qu'il lui reste.
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°7\hfill401DM7}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1}
 Les $\dfrac{4}{5}$ des élèves d'une classe ont participé à une excursion; les $\dfrac{2}{3}$ des élèves partis sont des filles.
\begin{enumerate}
\item Quelle fraction de la classe représentent les filles qui sont parties en excursion ?
\item Il y a 30 élèves dans la classe. Combien de filles ont participé à l'excursion ?
\end{enumerate}
\exo{2} Martine, Pascale et Agnès veulent acheter ensemble une chaîne HI-FI de 1995\textgreek{\euro}. Martine peut payer $\dfrac{1}{3}$ du prix, Pascale $\dfrac{2}{5}$ et Agnès $\dfrac{2}{7}$. Est-ce suffisant ?
\exo{3}
\begin{enumerate}
\item Construis un triangle $ABC$ tel que $AB=6cm$, $AC=9cm$ et $BC=8cm$.
\item
\begin{enumerate}
\item Sur le segment $[BC]$, place le point $I$ tel que $BI=\dfrac{3}{4}BC$.
\item Comment construire le point $I$ uniquement avec une règle non graduée et un compas ?
\end{enumerate}
\item La parallèle à la droite $(AC)$ passant par $I$ coupe la droite $(AB)$ en $J$.
\par Calcule les longueurs $BJ$ et $IJ$.
\end{enumerate}
\exo{4} Soit $ABC$ un triangle tel que $BC=6\,cm$ et $I$ le milieu du segment $[BC]$. On appelle $P$ le point du segment $[BC]$ tel que $BP=1\,cm$.\par La parallèle à la droite $(AI)$ passant par le point $P$ coupe la droite $(AC)$ en $N$ et la droite $(AB)$ en $M$.
\begin{enumerate}
\item Fais une figure.
\item\label{q2} Montre que 
$$\frac{PN}{AI}=\frac{5}{3}$$
\item\label{q3} Montre que $$\frac{PM}{AI}=\frac{1}{3}$$
\item Déduis des questions \ref{q2} et \ref{q3} que
$$PN+PM=2\times AI$$
\end{enumerate}
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°8\hfill401DM8}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} Exprime sous la forme la plus simple possible les expressions suivantes :
$$A=\frac{4}{7}+\frac{7}{9}\div\frac{2}{3}\kern2cm
B=\left(\frac{4}{7}+\frac{7}{9}\right)\div\frac{2}{3}
$$
\exo{2} On considère le tableau de répartition des tailles pour un échantillon de 1000 hommes et de 1000 femmes adultes (source INSEE). Dans cet échantillon,
\par\vskip2mm
\vbox{\offinterlineskip
\halign{\tv #&\hfq #\hfq&\tv #&\hfq #\hfq&\tv #&\hfq #\hfq&\tv #\cr
\traithorizontal
&{\bf Taille en cm}&&{\bf Hommes}&&{\bf Femmes}&\cr
\traithorizontal
&$140\leq t<150$&&10&&38&\cr
  \traithorizontal
&$150\leq t<160$&&36&&360&\cr
\traithorizontal
&$160\leq t<170$&&383&&531&\cr
\traithorizontal
&$170\leq t<195$&&571&&71&\cr
\traithorizontal
}}\vskip-3.5cm
{\leftskip6cm 
\par 1. Quel est le nombre total d'adultes de taille strictement inférieure à $170\,cm$ ?
\par 2. Quel est le nombre de femmes dont la taille est supérieure ou égale à $160\,cm$ ?
\par 3. Quel est le pourcentage des femmes que représentent les femmes
dont la taille est comprise entre $170\,cm$ et $195\,cm$?\par}
\par 4. Quel est le pourcentage des adultes que représentent les hommes dont la taille est strictement inférieure à $160\,cm$ ?
 
\exo{3} On considère un cercle de diamètre $[AB]$. Soit $C$ un point de ce cercle et $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $C$. La parallèle à la droite $(BC)$ passant par le point $D$ coupe la droite $(AB)$ en $E$.
\begin{enumerate}
\item Réalise une figure.
\item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
\item Démontre que $B$ est le milieu du segment $[AE]$.
\item Quelle est le centre du cercle circonscrit au triangle $ADE$ ?
\item Exprime l'aire ${\cal A}'$ du disque de diamètre $[AE]$ en fonction de l'aire $\cal A$ du disque de diamètre $[AB]$.
\end{enumerate}
\exo{4} Soit $({\cal C})$ un cercle de centre $O$ et de diamètre $[AM]$ tel que $AM=10\,cm$. $N$ est un point du cercle $({\cal C})$ tel que $AN=6\,cm$. La droite $(d_1)$ est la perpendiculaire à la droite $(AN)$ passant par $O$ : elle coupe la droite $(AN)$ en $C$.
\begin{enumerate}
\item Que représente le point $C$ pour le segment $[AN]$ ?
\item $D$ est le point du segment $[AO]$ tel que $AD=2\,cm$. La parallèle à la droite $(MN)$ passant par $D$ coupe la droite $(AN)$ en $E$.\par Calcule la longueur $EC$.
\item La droite $(ED)$ recoupe le cercle $({\cal C})$ au point $P$ et la droite $(OC)$ coupe la droite $(PM)$ en $R$.
\par Evalue le rapport $\dfrac{MR}{MP}$.
\end{enumerate}
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°9\hfill401DM9}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} Simplifie les écritures des nombres suivants
$$\Eqalign{
A&=10^{-5}\times10^7\times10^8\kern2cm&B&=\frac{10^7\times10^{-2}}{10^{-5}}\cr
\cr
C&=\frac{10^{-4}\times\left(10^{-7}\right)^2}{\left(10^6\right)^3}&D&=\frac{10^{-5}\times10^{-6}\times(-10)^9}{(-10)^{-3}\times(-10)^8}\cr
}$$
\exo{2} 4 personnes découvrent un trésor et le partage se fait de la façon suivante : la 1\iere personne prend un quart du trésor, la deuxième un tiers, la troisième $\dfrac{1}{5}$ et la dernière personne reçoit le reste soit 117 pièces d'or.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la fraction du trésor que représente la part de la 4\ieme personne ?
\item Déduis-en que le trésor contenait 540 pièces d'or.
\item Quels sont les nombres de pièces obtenus par chacune des personnes ?
\end{enumerate}
\exo{3} Soit un quadrilatère $ABCD$ tel que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles. Soit $M$ le milieu du segment $[AD]$ et $N$ le milieu du segment $[AC]$. La droite $(MN)$ coupe le segment $[BC]$ en $P$.
\begin{enumerate}
\item Démontre que les droites $(MN)$ et $(DC)$ sont parallèles.
\item Prouve que $P$ est le milieu du segment $[BC]$. Déduis-en que $AB=2\times NP$.
\item La parallèle à la droite $(BC)$ passant par $N$ coupe le segment $[AB]$ en $K$. Prouve que $NKBP$ est un parallélogramme
\item Soit $O$ le symétrique de $N$ par rapport au point $P$. Quelle est la nature du quadrilatère $NBOC$ ? Justifie la réponse. 
\end{enumerate}
\exo{4} La luminosité du Soleil est de $4\times10^{26}$ Watts, celle d'une centrale électrique est 4 milliards de Watts. Combien faut-il de centrales électriques pour éclairer de la même façon que le Soleil ? On donnera le résultat sous la forme d'une puissance de 10.
\exo{5}
\begin{enumerate}
\item Construis un triangle $ABC$ tel que $AB=8cm,\,AC=12cm$ et $BC=10cm$.
\item Soit $E$ le point du segment $[AB]$ tel que $AE=3,2cm$. La parallèle à la droite $(BC)$ passant par $E$ coupe le droite $(AC)$ en $D$.\par Calcule la longueur $AD$.
\end{enumerate}
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°10\hfill401DM10}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} $ABC$ est un triangle tel que $AB=5\,cm$, $BC=7\,cm$, $\widehat{ABC}=60$°. La hauteur issue de $A$ coupe la droite $(BC)$ en $H$. Soit $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $H$ et $E$ le symétrique de $C$ par rapport à $H$.
\par Montre que le quadrilatère $ACDE$ est un losange.
\exo{2}
\par\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics{401dmtous.1}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{7.5cm}
Sur la figure ci-contre, les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles avec $BN=3\,cm$, $BM=4,8\,cm$, $AB=7\,cm$ et $MN=3\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Reproduis en vraie grandeur la figure et donne un programme de construction de cette figure.
\item Calcule le périmètre du triangle $ABC$. (Calcule d'abord les longueurs $AC$ et $BC$)
\item Sachant que $AH=3cm$, quelle est l'aire du triangle $BMN$ ?
\end{enumerate}
\end{minipage}
\exo{3}
\begin{enumerate}
\item  Ecris les expressions suivantes sous forme fractionnaire la plus simple possible.
$$\Eqalign{
A&=\frac{2}{3}-\frac{5}{6}\times\left(1-\frac{1}{7}\right)\quad&B&=\frac{3}{4}-\frac{5}{2}\div\frac{1}{4}\quad&C&=\frac{13\times10^{14}\times10^6}{2\times(10^3)^7}
}$$
\item Donne l'écriture décimale et l'écriture scientifique de l'expression
$$D=\frac{4,5\times10^{-3}\times10^4\times7,2\times\left(10^2\right)^{-3}}{0,5\times10^3\times3\times10^{-5}}$$
\end{enumerate}
\exo{4} Un atome est formé d'un noyau et d'électrons qui gravitent autour du noyau. Repésentons par une boule de $8\,cm$ de diamètre le noyau d'un atome qui mesure en réalité $4\times10^{-12}\,mm$ de diamètre.
\begin{enumerate}
\item Quelle échelle utilise-t-on ? (C'est le nombre par lequel on a multiplié le diamètre du noyau).
\item A quelle distance devrait être placé, sur le dessin, un électron qui tourne en réalité à $5\times10^{-8}\,mm$ du noyau ?
\item A cette échelle, un électron est représenté par une minuscule boule de $0,2\,mm$ de diamètre. Quel est le diamètre réel, en $mm$, d'un électron ?
\end{enumerate}
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°11\hfill401DM11}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
{\small
\exo{1} Le tableau ci-dessous donne la répartition des élèves de 4\ieme selon le nombre de livres empruntés au C.D.I. durant un mois.
$$
\begin{tabularx}{12cm}{|X|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre de livres&0&1&2&3&4&5\\
\hline
Effectifs&37&27&39&18&10&4\\
\hline
Fréquences en \% (arrondies au dixième)&&&&&&\\
\hline
Angles arrondis au degré entier&&&&&&\\
\hline
\end{tabularx}
$$
\begin{enumerate}
\item Combien y-a-t-il d'élèves en 4\ieme dans ce collège ?
\item
\begin{enumerate}
\item Combien d'élèves empruntent au moins 3 livres ?
\item Combien d'élèves empruntent moins de 2 livres ?
\end{enumerate}
\item Complète la ligne des fréquences.
\item Construis le diagramme circulaire des fréquences. On complétera la ligne des angles du tableau et on prendra $4\,cm$ pour le rayon  du cercle.
\end{enumerate}
\exo{2} $ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que $AB=6cm$ et $BC=2,5cm$.
\begin{enumerate}
\item Calcule la longueur $AC$.
\item Soit $M$ le point du segment $[AB]$ tel que $AM=3,6\,cm$. La perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $M$ coupe le segment $[AC]$ en $N$.
\begin{enumerate}
\item Justifie que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
\item Déduis-en quelle méthode utiliser pour calculer la longueur $AN$.\par Calcule la longueur $AN$.
\end{enumerate}
\item Calcule la longueur $MN$ de deux façons différentes.
\end{enumerate}
\exo{3}
\par
\begin{minipage}{8cm}
\includegraphics{401dmtous.2}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{4.5cm}
 Soit $ABCDEFGH$ le parallélépipède rectangle représenté ci-contre avec $AB=10\,cm$ et $BC=BF=5\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Calcule la longueur $AF$.
\item Quelle est la nature du triangle $ACF$ ? Justifie.
\item Soit $O$ le milieu du segment $[CF]$. Prouve que les droites $(AO)$ et $(CF)$ sont perpendiculaires.
\item Calcule la longueur $AO$. On calculera d'abord la longueur $CO$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
}
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°12\hfill401DM12}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} Ecris en fonction de $x$ :
\begin{enumerate}
        \item le double de $x$ augmenté de 1;
        \item la somme de 3 et du triple de $x$;
        \item le tiers de $x$ diminué de 5;
        \item le produit de 5 par la somme de $x$ et de 4;
        \item la somme de 6 et du produit de 7 par $x$.
\end{enumerate}
\exo{2} Emilie veut acheter plusieurs livres d'une même collection; ils coûtent tous le même prix. Mais Emilie nous dit :\par\og{{\em Avec l'argent dont je dispose si j'achète 4 livres, il me reste 35\textgreek{\euro}\,; mais si j'en achète 6, il me manque 65\textgreek{\euro}.}\fg{}
\par Est-il possible que le prix d'un livre soit 10\textgreek{\euro}{}? 60\textgreek{\euro}{} ? Vous détaillerez votre raisonnement dans les deux cas.
\exo{3}
\par\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[scale=0.8]{401dmtous.3}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{7.5cm}
 $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle dont la base $ABCD$ est un carré. De plus, $AC=4\,cm$ et $CF=6,5\,cm$.
\par 1. Représente en vraie grandeur la face $ABCD$. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifie votre réponse.\par
 Calcule la longueur $AB$.
\par 2. Quelle est la nature du quadrilatère $ACHF$ ? Représente ce quadrilatère en vraie grandeur.
\par 3. Calcule le cosinus de l'angle $\widehat{ACF}$, puis la hauteur du parallélépipède.
\par 4. Détermine la hauteur du parallélépipède par une autre méthode.
\end{minipage}
\par
\exo{4}
\par
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[scale=0.8]{401dmtous.4}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{7.5cm}
 En voyage à Paris, on veut photographier La Tour Eiffel (Voir Schéma ci-contre).\par Le segment $[BC]$ représente La Tour Eiffel; l'appareil-photo est au point $A$.\par On a les mesures suivantes :\par $BC=300\,m$, $BI=350\,m$, $AI=1,5\,m$.\par Calcule l'angle $\widehat{BAC}$ sous lequel on voit La Tour Eiffel.
\end{minipage}
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°13\hfill401DM13}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} Soit un segment $[RS]$ tel que $RS=6,5\,cm$ et ${\cal C}$ le cercle de diamètre $[RS]$. Soit $A$ un point du cercle ${\cal C}$ tel que $RA=2,5\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $RAS$ ? Justifie la réponse.
\item Calcule la longueur $SA$.
\item Soit $T$ le point du cercle ${\cal C}$ tel que $\widehat{RST}=30$°.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $RST$ ? Justifie la réponse.
\item Calcule la longueur $ST$.
\item La perpendiculaire à la droite $(RS)$ passant par $T$ coupe la droite $(RS)$ en $H$. Calcule la longueur $TH$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo{2} Donne l'écriture décimale et l'écriture scientifique des expressions suivantes
$$E=3,5\times10^8\times0,2\times10^{-10}\kern2cm F=\frac{4\times10^{12}\times9\times10^{-5}}{1,2\times10^2}$$
\exo{3}
\begin{enumerate}
\item Développe et réduis les expressions suivantes
$$\Eqalign{
A&=8+4(x-3)\kern1.5cm&B&=1-3(a+2)\cr
C&=\frac{1}{2}(a-8)+5&D&=2(3-4x)+4(1-2x)\cr
E&=3(x+3)-2(3x-1)&F&=-4(x+1)+x(3-x)\cr
}$$
\item Calcule chacune des expressions pour $x=3$, en utilisant l'écriture qui parait la plus simple.
\end{enumerate}
\exo{4} Deux élèves ont développé et réduit l'expression $A=5x(2-x)-3x^2$
\begin{enumerate}
\item Brigitte a répondu $A=2x^2+10x$. Teste cette égalité pour
  $x=2$.\par Que peux-tu conseiller à Brigitte ?
\item Alain a répondu $A=6x-6x^2$
\begin{enumerate}
\item Teste cette égalité pour $x=2$. La réponse d'Alain te semble-t-elle correcte ?
\item Teste cette égalité pour $x=1$. Que conseilles-tu alors à Alain ?
\end{enumerate}
\item Donne le bon développement de l'expression $A$.
\end{enumerate}
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°14\hfill401DM14}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
{\small
\exo{1}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\fbox{
\begin{minipage}{6cm}
\em
\begin{itemize}
\item Choisir un nombre $x$.
\item Retrancher 3 au double de $x$.
\item Elever le résultat au carré.
\item Retrancher 16 au résultat obtenu.
\end{itemize}
\end{minipage}
}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Si $x=5$, quel est le résultat final ?
\item Appelle $x$ le nombre choisi : écris l'expression littérale qui traduit le programme de calcul.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\exo{2} Dans un porte-monnaie, il y a 23 pièces. Il n'y a que des pièces de 10 francs et des pièces de 5 francs.
\par On appelle $x$ le nombre de pièces de 10 francs.
\begin{enumerate}
\item Exprime, fonction de $x$ le nombres de pièces de 5 francs.
\item Montre et explique pourquoi la somme d'argent $S_1$ que représentent les pièces de 10 francs est $S_1=10\times x$.
\item Exprime, en fonction de $x$, la somme $S_2$ que représentent les pièces de 5 francs.
\item Exprime, en fonction de $x$, la somme d'argent $S$ qu'il y a dans le porte-monnaie.
\par Développe et réduis l'expression de $S$.
\item Si $x=11$, que vaut $S$ ?
\end{enumerate}
\exo{3} Un agriculteur cultive du blé, puis fabrique lui-même sa farine. Il décide de faire une fois par semaine du pain artisanal qu'il vend 23 francs le kilogramme.\par Chaque mois ses dépenses sont constituées par 2600 francs de frais fixes, auxquels il faut ajouter 3 francs par kilogramme de pain fabriqué.
\begin{enumerate}
\item Au mois de Juin, il vend $200\,kg$ de pain. Quelle est sa recette ? Quelle est sa dépense ?\par Fait-il un bénéfice ? Si oui, de quel montant ?
\item On appelle $x$ la masse de pain en kilogrammes, vendue en un mois. On note $R$ le montant des recttes de l'agriculteur et $D$ le montant de ses dépenses au cours du même mois.
\begin{enumerate}
\item Exprime $R$ et $D$ en fonction de $x$.
\item En déduire que le bénéfice $B$ est $B=20x-2600$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo{4}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Construis un triangle $RST$, rectangle en S, tel que $RS=12\,cm$, $ST=9\,cm$.
\item Calcule son aire.
\item Calcule l'angle $\widehat{STR}$.
\end{enumerate}
\item Soit $I$ le point du segment $[ST]$ tel que $SI=3\,cm$. La perpendiculaire à la droite $(ST)$ passant par $I$ coupe la droite $(RT)$ en $J$.\par Calcule les longueurs $TI,\,TJ$ et $IJ$.
\item Soit $O$ le milieu du segment $[RT]$ et $P$ le symétrique du point $S$ par rapport au point $I$.
\par Quelle est la nature du quadrilatère $STPR$ ? Justifie la réponse.
\item Le cercle $(\cal C)$ de diamètre $[ST]$ recoupe la droite $(RT)$ en $K$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $SKT$ ? Justifie la réponse.
\item Calcule la longueur $TK$.
\item Prouve que la droite $(RS)$ est la tangente au cercle $(\cal C)$ en $S$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°15\hfill401DM15}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
{\small
\exo{1} Soit $(\cal C)$ un cercle de diamètre $[AB]$ tel que $AB=6\,cm$ et $O$ le centre du cercle $(\cal C)$. Soit $K$ un point du cercle $(\cal C)$ tel que $\widehat{AOK}=60$°. Soit $C$ le point de la droite $(AB)$, extérieur au segment $[AB]$, tel que $AC=2\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $AOK$ ? Justifie la réponse.
\item La tangente au cercle $(\cal C)$ en $B$ coupe la droite $(CK)$ en $E$. 
 La tangente au cercle $(\cal C)$ en $A$ coupe la droite $(CK)$ en $D$.
\par Prouve que les droites $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles.
\item Prouve que $\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{1}{4}$.
\end{enumerate}
\exo{2} {\em La figure sera effectuée sur feuille blanche non quadrillée.} L'unité est le centimètre.\par Soit un demi-cercle $({\cal C})$ de diamètre $[AB]$ tel que $AB=10$. Soit $O$ le milieu du segment $[AB]$ et $H$ le milieu du segment $[AO]$. La perpendiculaire en $H$ à la droite $(AB)$ coupe le demi-cercle $({\cal C})$ en $M$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Que représente la droite $(MH)$ pour le segment $[AO]$ ? Justifie la réponse.
\item Déduis-en la longueur $AM$ et la nature du triangle $AMO$
\item Quelle est la distance du point $M$ à la droite $(AB)$ ? Justifie la réponse puis calcule cette longueur.
\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $AMB$ ?\par Justifie la réponse et déduis-en la longueur exacte de $MB$.
\item Calcule la mesure de l'angle $\widehat{ABM}$.
\item La médiatrice du segment $[AB]$ coupe la droite $(MB)$ en $N$. 
Calcule la valeur exacte de la longueur $NB$ puis une valeur approchée au dixième près.
\end{enumerate}
\exo{3} La distance Beuvrages - Reims est de $182\,km$.
\begin{enumerate}
\item Si la vitesse moyenne est de $130\,km/h$, quel est le temps mis
  pour effectuer le trajet ? On donnera le résultat en heure-minute.
\item Malheureusement, 2 arrêts aux péages durent 10 minutes. Calcule la nouvelle vitesse moyenne.
\item Quel est le pourcentage de baisse sur la vitesse moyenne ? Justifie la réponse.
\end{enumerate}
\exo{4} La distance de freinage d'un véhicule jusqu'à l'arrêt total est donnée par
 la formule
$$\begin{tabularx}{12cm}{cX}
$D=\dfrac{4V^2}{1000K}$\kern1cm&$D$ : distance de freinage en $m$.\par $V$ : vitesse du véhicule en $km/h$.\par $K$ : coefficient d'adhérence de la route.\\
\end{tabularx}$$
\par Calcule la distance de freinage pour qu'un véhicule qui roule à 110 $km/h$ sur une route dont le coefficient d'adhérence est 0,25 puisse s'arrêter totalement.
\exo{5}  Donne l'écriture décimale et l'écriture scientifique des expressions suivantes
$$E=3,5\times10^8\times0,2\times10^{-10}\kern2cm F=\frac{4\times10^{12}\times9\times10^{-5}}{1,2\times10^2}$$
}
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°16\hfill401DM16}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} On pose
$$A=\frac{12}{5}-\frac{3}{5}\times\frac{7}{9}\kern2cm
B=\left(\frac{2}{3}-3\right)\div\frac{1}{9}$$
\begin{enumerate}
\item Calcule $A$ et écris la réponse sous forme de fraction irréductible.
\item Calcule $B$ et écris la réponse sous la forme d'un entier relatif.
\end{enumerate}
\exo{2} Le triangle $EST$ est isocèle en $E$ et la hauteur issue de $T$ coupe le segment $[SE]$ en $H$.
\par On sait que $ES=ET=12\,cm$ et que l'aire du triangle est de $42\,cm^2$.
\begin{enumerate}
\item Prouve que la longueur $TH$ mesure $7\,cm$.
\item Construis alors la figure en vraie grandeur.
\item Calcule la mesure de l'angle $\widehat{TES}$ (on donnera sa valeur arrondie au degré près).
\item Déduis-en une valeur approchée de l'angle $\widehat{TSE}$.
\end{enumerate}
\exo{3} Soit $B$ et $C$ deux points du cercle $({\cal C})$ de centre $O$ et de diamètre $[AE]$.
\begin{enumerate}
\item Démontre que les triangles $ACE$ et $ABE$ sont des triangles rectangles.
\item La parallèle à la droite $(EC)$ passant par $B$ coupe la droite $(AC)$ en $K$.
\par La parallèle à la droite $(EB)$ passant par $C$ coupe la droite $(AB)$ en $J$.
\par Les droites $(BC)$ et $(CJ)$ se coupent en $H$. Démontre que le quadrilatère $BHCE$ est un parallélogramme.
\item Soit $A'$ le milieu du segment $[BC]$. Démontre que $A'$ est le milieu du segment $[HE]$.
\item Démontre que $AH=2\times OA'$.
\item Démontre que $H$ est le point de concours des hauteurs.
\end{enumerate}
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°17\hfill401DM17}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
{\small
\exo{1} Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=5,1\,cm$, $BC=8,5\,cm$ et $AC=6,8\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Fais une figure soignée. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifie la réponse.
\item Soit $M$ le point du segment $[AB]$ tel que $AM=3,4\,cm$.
\par Construis la droite parallèle à la droite $(BC)$ passant par $M$ : elle coupe le côté $[AC]$ en $N$.
\par Calcule la longueur $AN$. On donnera la valeur approchée à $0,1\,cm$ près.
\end{enumerate}
\exo{2} Dans l'après-midi du 24 décembre 2001, au distribanque de la rue des Maths ont été faits les retraits suivants. Complète le tableau.
$$\begin{tabularx}{12cm}{|X|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Sommes retirées en francs&200&400&600&800&$1\,000$&$1\,200$&$1\,400$\\
\hline
Nombre de personnes ayant retiré cette somme&35&40&33&75&25&20&22\\
\hline
Fréquence en $\%$ de chaque type de retrait&&&&&&&\\
\hline
\end{tabularx}
$$
\begin{enumerate}
\item Fais le diagramme en bâtons des effectifs (on prendra $1\,cm$ pour 10 personnes).
\item Quel est le pourcentage de retraits égaux à $1\,000$ francs ou plus ?
\end{enumerate}
\exo{3} La distance moyenne $d$ de la Tere au Soleil est d'environ $149,5$ millions de kilomètres.
\begin{enumerate}
\item Donne la notation scientifique de $d$.
\item Le rayon $R$ de la Terre mesure approximativement $6\,400$ kilomètres.\par Calcule à une unité près par défaut le quotient $\dfrac{d}{R}$.
\item Sachant que la vitesse de propagation de la lumière est environ égale à $300\,000$ kilomètres par seconde, calcule en minutes et secondes le temps $t$ mis par la lumière émise par le Soleil pour nous parvenir sur Terre. Ce temps sera donné à une seconde près par excès.
\end{enumerate}
\exo{4} On donne la figure ci-dessous (qui n'est pas en vraie grandeur), dont les longueurs réelles sont $AM=9\,cm$, $MB=6\,cm$, $BH=9\,cm$, $HC=16\,cm$, $NC=8\,cm$.\par Les droites $(MN)$ et $(AH)$ sont perpendiculaires ainsi que les droites $(BC)$ et $(AH)$.
$$\includegraphics{401dmtous.5}$$
\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des droites $(MN)$ et $(BC)$ ? Justifie la réponse.
\item Calcule les longueurs $AN$ et $DN$.
\item A partir des longueurs réelles données, reproduis la figure à l'échelle $1/2$.
\item Calcule la longueur $AH$.
\item Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ? Justifie la réponse.
\item Détermine la mesure, à un degré près, de l'angle  $\widehat{ABH}$.
\end{enumerate}
}
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°18\hfill401DM18}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} La somme de deux nombres est $-10$. L'un de ces nombres est le triple de l'autre. Trouve ces deux nombres.
\exo{2} Soit $ABC$ un triangle rectangle isocèle en $A$ tel que $AC=3\,cm$ et $A'$ un point extérieur au triangle $ABC$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calcule les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$.
\item Calcule l'aire du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Construis les images $B',C'$ respectives des points $B$ et $C$ par la translation qui transforme $A$ en $A'$.
\item En justifiant les réponses :
\begin{itemize}
\item quelles sont les longueurs des segments $[A'C']$ et $[A'B']$ ?
\item quelles sont les mesures des angles $\widehat{B'A'C'}$ et $\widehat{A'B'C'}$ ?
\item Quelle est la nature du triangle $A'B'C'$ ?
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo{3} $ABC$ est un triangle et $I$ est le milieu du segment $[BC]$. $D$ est l'image de $A$ par la translation qui transforme $B$ en $I$. $E$ est le symétrique de $A$ par rapport à $I$.
\begin{enumerate}
\item Fais une figure.
\item\label{qb} Démontre que le quadrilatère $ADIB$ est un parallélogramme.
\item\label{qc} Démontre que le quadrilatère $ABEC$ est un parallélogramme.
\item Déduis des questions \ref{qb} et \ref{qc} que le point $C$ a pour image le point $E$ par la translation qui transforme $D$ en $I$.
\end{enumerate}
\exo{4} Durant la tempête de Décembre 1999, un arbre s'est brisé en $B$. Son extrémité $E$ est tombé à $12\,m$ des racines $R$ en faisant un angle de 30\degre avec le tronc (qui est resté perpendiculaire au sol). Quelle était la hauteur de l'arbre ?
\vfill\pagebreak\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°19\hfill401DM19}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} {\bf On effectuera la figure sur une feuille blanche sans quadrillage}.
\par  Soit $A$ et $B$ deux points distincts et $(MN)$ une droite non parallèle à la droite $(AB)$.
\begin{enumerate}
\item Construis les points $M'$ et $N'$, images respectives des points $M$ et $N$, par la translation qui transforme $A$ en $B$.
\item\begin{enumerate}
\item Pourquoi $ABM'M$ est un parallélogramme ?\par Soit $I$ son centre. Précise sa position.
\item Pourquoi $ABN'N$ est un parallélogramme ?\par Soit $J$ son centre. Précise sa position.
\item Déduis-en que les droites $(MM')$ et $(NN')$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item Prouve que les droites $(IJ)$ et $(MN)$ sont parallèles.
\item Prouve que les droites $(IJ)$ et $(M'N')$ sont parallèles.
\item Déduis-en que les droites $(MN)$ et $(M'N')$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère $MM'N'N$ ? Justifie la réponse.\par Par quelle translation, $N'$ est-il l'image de $N$ ? Justifie la réponse
\item Prouve que $MN=M'N'$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo{2} Soit le triangle $ABC$ tel que $AC=4,8\,cm$, $AB=6,4\,cm$ et $BC=8\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Construis le triangle $ABC$.
\item Démontre que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
\item Construis la droite $(d)$ perpendiculaire en $C$ à la droite $(BC)$; cette droite $(d)$ coupe la droite $(AB)$ en un point $E$.
\item
\begin{enumerate}
\item Exprime de deux façons différentes $\cos\widehat{ABC}$.
\item Déduis-en que $BE=10\,cm$
\end{enumerate}
\item Calcule la longueur $EC$.
\end{enumerate}
\exo{3}\begin{enumerate}
\item Calcule
$$A=\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{4}\right)\times\frac{14}{15}\kern1cm B=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\div\frac{2}{5}$$
\item
\begin{enumerate}
\item Développe et réduis les expressions suivantes
$$C=x(2+x)+4(x-1)\kern2cm D=x(x-2)-5(2-x)$$
\item Calcule la valeur des expressions $C$ et $D$ pour $x=1$.
\end{enumerate}
\item Ecris les expressions suivantes sous formes décimale et scientifique.
$$E=4\times10^5\times7\times10^{-3}\kern1cm F=\frac{12\times10^{-6}\times5\times10^8}{3\times10^4}$$
\end{enumerate}
\end{document}