index.tex

\documentclass{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[LGR,T1]{fontenc}
\usepackage[greek,frenchb]{babel}
\usepackage{amsmath,tabularx,multicol,amssymb,fancybox,color,colortbl}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\pagestyle{empty}
\input christ5.tex
\columnseprule0.25pt
\parindent0pt
%site et impression
\topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip0pt
\usepackage[dvips,a4paper,margin=8mm]{geometry}
\begin{document}
\titragedossier{Droites remarquables du triangle : Activité}
\partie{150}{\sc Médiatrices}
\begin{enumerate}
\item Que sais-tu sur les 3 médiatrices d'un triangle ?
\item Quel objet mathématique ces 3 médiatrices permettent-elles de construire ?
\end{enumerate}
\partie{150}{\sc Hauteurs}
\compo{1}{demodroite}{1}{Soit $ABC$ un triangle quelconque et $H$ le point d'intersection des hauteurs issues de $A$ et $B$ dans le triangle $ABC$. Les droites $(EF)$, $(FG)$ et $(GE)$ sont parallèles respectivement à $(BC)$, $(BA)$ et $(AC)$.
\begin{enumerate}
\item Combien peux-tu citer de hauteurs dans le triangle $ABC$ ?
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature des quadrilatères $EACB$ et $AFCB$ ? Justifie.
\item Déduis-en alors la position particulière du point $A$ sur le segment $[EF]$.
\item Que peux-tu dire de la droite $(AH)$ et du segment $[EF]$ ? Justifie.
\end{enumerate}
\item Que peux-tu dire de la droite $(BH)$ et du segment $[EG]$ ? Justifie.
\item Que peux-tu dire de la droite $(CH)$ et du segment $[FG]$ ? Justifie.
\item Que représente alors la droite $(CH)$ pour le triangle $ABC$ ? Justifie.
\item Quelle est la synthèse de cet exercice ?
\end{enumerate}
}
\partie{150}{\sc Médianes}
\compo{2}{demodroite}{1}{Soit $ABC$ un triangle quelconque et $A'$, $B'$ les milieux respectifs des segments $[BC]$ et $[AC]$. Soit $G$ le point d'intersection des droites $(AA')$ et $(BB')$ et $D$ le symétrique de $C$ par rapport à $G$. Soit $C'$ le point d'intersection des droites $(CG)$ et $(AB)$.
\begin{enumerate}
\item Dans un triangle, on appelle \underline{\bf médiane} {\em une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet}.\\Combien peux-tu citer de médianes dans le triangle $ABC$ ? Justifie.
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère $AGBD$ ? Justifie.
\item Déduis-en alors la position du point $C'$ sur le segment $[AB]$.
\end{enumerate}
\item Quelle est la synthèse de cet exercice ?
\end{enumerate}
}
\partie{150}{\sc Bissectrices}
\par\compo{3}{demodroite}{1}{Soit $ABC$ un triangle quelconque.
\begin{enumerate}
\item Constuis les bissectrices des ansgles $\widehat{ABC}$, $\widehat{CBA}$ et $\widehat{BAC}$. Que remarques-tu ?\footnote{On admettra ce résultat dans le cahier de leçons.}
\item Soit $I$ le point d'intersection des bissectrices. La perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $I$ coupe la droite $(AB)$ en $P$.\\Trace le cercle de centre $I$ et de rayon $IP$. Que remarques-tu ?
\end{enumerate}
}
\newpage
\titragedossier{Droites remarquables du triangle : Cours}
\begin{center}
\hrule
\vspace{2mm}
{\bf\Large Droites remarquables du triangle}\par
\vspace{2mm}
\hrule
\vspace{2mm}
\end{center}
\section*{Les hauteurs}
\par\compo{1}{droitesremarquables}{1}{{\defi{Dans un triangle, une {\em hauteur} est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.}}
\vskip5mm\par\Not: Dans le triangle $ABC$, si la hauteur passe par le sommet $A$ on dit alors \em{hauteur issue de $A$}.
\par\vspace{2mm}
\hrule
{\theo{Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point $H$ appelé {\em orthocentre} du triangle.}}
\par\vspace{2mm}
\hrule
}
\section*{Les médiatrices}
\par\compo{2}{droitesremarquables}{1}{{\defi{La {\em médiatrice d'un segment} est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Les médiatrices
 dans un triangle sont donc les médiatrices des côtés de ce triangle.}}
{\ppte{\underline{Si} $M$ est un point de la médiatrice du segment $[AB]$ \underline{alors} $M$ est équidistant de $A$ et de $B$ c'est à dire $MA=MB$.}}
{\ppte{\underline{Si} $M$ est équidistant de $A$ et de $B$ \underline{alors} $M$ appartient à la médiatrice du segment $[AB]$.}}
\par\vspace{2mm}
\hrule
{\theo{Dans un triangle, les médiatrices sont concourantes en un point $O$ appelé {\em centre du cercle circonscrit} au
triangle.}}
\par\vspace{2mm}
\hrule
}
\section*{Les médianes}
\par\compo{3}{droitesremarquables}{1}{
{\defi{Dans un triangle, une {\em médiane} est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé.}}
\par\vspace{2mm}
\hrule
{\theo{Dans un triangle, les médianes sont concourantes en un point $G$ appelé {\em centre de gravité} du triangle.
\par De plus, on a $\displaystyle AG=\frac{2}{3}AA',\,BG=\frac{2}{3}BB',\,CG=\frac{2}{3}CC'$}}
\par\vspace{2mm}
\hrule
}
\section*{Les bissectrices.}
\par\compo{4}{droitesremarquables}{1}{{\defi{La {\em bissectrice d'un angle} est la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. C'est également l'axe de symétrie de cet angle.}}
\par\vspace{2mm}
\hrule
{\theo{Dans un triangle, les bissectrices sont concourantes en un point $I$ appelé {\em centre du cercle inscrit} au triangle.
\par De plus, $IP=IQ=IR$}}
\par\vspace{2mm}
\hrule
}
\newpage
\titragedossier{Droites remarquables du triangle : Exercices}
\exo{\em Les 3 questions sont indépendantes.}
\begin{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item Construis un triangle $ECG$ tel que $EC=7\,cm$, $CG=6\,cm$, et $GE=3\,cm$.
\item Construis la hauteur $(d)$ issue de $G$ dans le triangle $ECG$.
\item Construis la hauteur $(d')$ issue de $E$ dans le triangle $ECG$.
\item Que représente le point d'intersection des droites $(d)$ et $(d')$ ?
\end{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item  Construis un triangle $ERL$ tel que $ER=6\,cm$, $RL=5\,cm$ et $\widehat{ERL}=60$°.
\item Construis la médiane $(d)$ issue de $R$ dans le triangle $ERL$.
\item Construis la médiane $(d')$ issue de $L$ dans le triangle $ERL$.
\item Que représente le point d'intersection des droites $(d)$ et $(d')$ ?
\end{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item Contruis un triangle $SER$ tel que $SE=6\,cm$, $\widehat{RSE}=50$°, $\widehat{RES}=60$°.
\item Construis son cercle inscrit
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=10\,cm$, $BC=11\,cm$ et $CA=12\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Construis l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$.
\item\begin{enumerate}
\item Soit $I$ le point d'intersection des droites $(AH)$ et $(BC)$; $J$ le point d'intersection des droites $(BH)$ et $(CA)$; $K$ le point d'intersection des droites $(CH)$ et $(AB)$.\\ Construis le centre du cercle inscrit au triangle $IJK$.
\item Que constate-t-on ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo\begin{enumerate}
\item Construis un cercle $\cal C$ de diamètre $[AB]$ et de centre $O$. Soit $M$ un point du cercle $\cal C$ distinct de $A$ et $B$. Construis le symétrique $L$ du point $A$ par rapport au point $M$.
\item Soit $I$ le point d'intersection des droites $(LO)$ et $(BM)$. Que représente le point $I$ pour le triangle $LAB$ ? Justifie la réponse.
\item La droite $(AI)$ coupe le segment $[LB]$ en $J$. Que peut-on dire qu point $J$ ? Pourquoi ?
\end{enumerate}
\exo Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$. Le point $E$ est le milieu du segment $[AB]$ et les segments $[AC]$ et $[DE]$ se coupent en $G$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Que représente le segment $[AO]$ pour le triangle $ABD$ ? Justifie.
\item Que représente le point $G$ pour le triangle $ABD$ ? Justifie.
\end{enumerate}
\item Démontre que la droite $(BG)$ coupe le segment $[AD]$ en son milieu.
\end{enumerate}
\exo Soit $ABC$ un triangle et $D$, $E$, $F$ les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[BC]$ et $[CA]$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère $EDFC$ ? Justifie.
\item Démontre que la droite $(DC)$ est à la fois une médiane du triangle $ABC$ et du triangle $EFD$.
\end{enumerate}
\item Soit $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$.\\ Démontre que $G$ est aussi le centre de gravité du triangle $EFD$.
\end{enumerate}
\newpage
\titragedossier{Droites remarquables du triangle : Approfondissement}
\begin{center}
\underline{\Large Droite D'{\sc Euler}}\footnote{Leonhard {\sc Euler}, Mathématicien suisse (1707-1783)}
\end{center}
$$\includegraphics{droiteeuler.2}$$
\begin{multicols}{2}
\partie{150}{Construction}
\begin{enumerate}
\item Soit $ABC$ un triangle supposé non équilatéral.
\item Soit $O$ le centre du cercle $({\cal C})$ circonscrit au triangle $ABC$.
\item Soit $F$ le point diamètralement opposé à $A$.
\item Soit $K$ le point d'intersection de la hauteur issue de $A$ avec le cercle $({\cal C})$
\item Soit $M$ le milieu du segment $[BC]$.
\item Soit $H$ le point d'intersection des droites $(FM)$ et $(AK)$.
\item Soit $G$ le point d'intersection des droites $(OH)$ et $(AM)$.
\end{enumerate}
\vfill
\vskip4cm
\partie{150}{Démonstration}
\begin{enumerate}
\item Montre que les triangles $AFK$ et $AFC$ sont rectangles.
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que la droite $(OM)$ est la médiatrice du segment $[BC]$.
\item Montre que les droites $(OM)$ et $(AK)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que $M$ est le milieu du segment $[HF]$.
\item Montre que le quadrilatère $BHCF$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que les droites $(BH)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
\item Montre que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que $G$ est le centre de gravité du triangle $AHF$.
\item Quelle est la position remarquable de $G$ sur le segment $[OH]$ ?
\item Montre que $G$ est aussi le centre de gravité du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\newpage
\titragedossier{Droites remarquables du triangle : Approfondissement}
\centerline{\underline{\Large Cercle D'{\sc Euler} ou cercle des neuf points}}
$$\includegraphics{droiteeuler.3}$$
\begin{multicols}{2}
\partie{150}{Construction}
\begin{enumerate}
\item On reprend la construction précédente.
\item On appelle $\Omega$ le milieu du segment $[OH]$; $N$ et $P$ les milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[AB]$; $D$ et $E$ le symétriques respectifs de $B$ et $C$ par rapport à $O$; $I$, $J$, $L$ les points d'intersection respectifs entres la hauteur issue de $A$ et la droite $(BC)$, la hauteur issue de $B$ et la droite $(AC)$, la hauteur issue de $C$ et la droite $(AB)$; $H_1$, $H_2$, $H_3$ les milieux respectifs des segments $[AH]$, $[BH]$ et $[CH]$.
\end{enumerate}
\vskip3cm
\partie{150}{Démonstration}
Démontre que les points $M$, $N$, $P$, $I$, $J$, $L$, $H_1$, $H_2$ et $H_3$ sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\par\vspace{3mm}
\underline{Indication} : {\em On cherchera par expérimentation quel pourrait être le centre de ce cercle et on déterminera ensuite la valeur du rayon à l'aide d'un des points.
\par Restera ensuite à prouver que tous les autres points donnent la même valeur du rayon.\\Chose \og{}simple\fg{} pour les points $M$, $N$, $P$, $H_1$, $H_2$, $H_3$. Pour le point $I$, on pourra considérer la parallèle à la droite $(AH)$ passant par $\Omega$ et démontrer qu'elle coupe le segment $[IM]$ en son milieu.}
%}
\end{multicols}
\label{dernierepage}\end{document}