\documentclass{article} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{amsmath,multicol} \topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip10pt \usepackage[dvips,a5paper,margin=8mm]{geometry} \input christ5.tex \parindent0pt \columnseprule0.4pt \begin{document} \parskip0pt \titrage{Vecteurs}{3eme} \parskip6pt \section{Définition} La translation qui transforme $A$ en $B$ s'appelle la translation de vecteur $\vecteur{\strut AB}$. $$\includegraphics{memovecteurs.1}$$ \par Si $B$, $D$, $F$, $H$ sont les images respectives de $A$, $C$, $E$ et $G$ par la translation de vecteur $\vecteur{\strut AB}$ alors $$\vecteur{\strut AB}=\vecteur{\strut CD}=\vecteur{\strut EF}=\vecteur{\strut GH}=\vecteur{\strut u}$$ \par On dit que $\vecteur{\strut AB}$, $\vecteur{\strut CD}$,\ldots dont des {\em représentants} du vecteur $\vecteur{\strut u}$. \begin{ppte} \Si $ERTY$ est un parallélogramme \alors $\vecteur{\strut ER}=\vecteur{\strut YT}$ et $\vecteur{\strut EY}=\vecteur{\strut RT}$. \end{ppte} \begin{ppte} \Si $\vecteur{\strut CV}=\vecteur{\strut LM}$ \alors le quadrilatère $CVML$ est un parallélogramme. $$\includegraphics{memovecteurs.2}$$ \end{ppte} \paragraph{Remarque} A l'aide de cette propriété, on peut démontrer que deux segments ont le même milieu (diagonales d'un parallélogramme), que deux segments ont la même longueur (côtés opposés d'un parallélogramme),\ldots \paragraph{Exemple d'utlisation de ces propriétés}{\em Soit $EFGH$ et $GHIJ$ deux parallélogrammes. Démontre que $EFJI$ est un parallélogramme.} \par\compo{3}{memovecteurs}{1}{Comme $EFGH$ est un parallélogramme alors $\vecteur{\strut EF}=\vecteur{\strut HG}$. \par Comme $GHIJ$ est un parallélogramme alors $\vecteur{\strut HG}=\vecteur{\strut IJ}$. \par Comme $\vecteur{\strut EF}=\vecteur{\strut HG}$ et $\vecteur{\strut HG}=\vecteur{\strut IJ}$ alors $\vecteur{\strut EF}=\vecteur{\strut IJ}$. \par Comme $\vecteur{\strut EF}=\vecteur{\strut IJ}$ alors le quadrilatère $EFJI$ est un parallélogramme. } \section{Composition de 2 translations} \begin{defi} \Si ${\cal F}_1$ est l'image d'une figure $\cal F$ par la translation de vecteur $\vecteur{\strut AB}$ et \si ${\cal F}_2$ est l'image de ${\cal F}_1$ par la translation de vecteur $\vecteur{\strut EF}$ \alors la figure ${\cal F}_2$ est l'image de la figure $\cal F$ par la translation de vecteur $\vecteur{\strut AB}+\vecteur{\strut EF}$. \end{defi} $$\includegraphics{memovecteurs.4}$$ \newpage \begin{ppte}[Relation de Chasles]\label{chasles}\subitem{} \par\compo{5}{memovecteurs}{1}{Soit $A$, $B$ et $C$ trois points. Alors $$\vecteur{\strut AC}+\vecteur{\strut CB}=\vecteur{\strut AB}$$ } \end{ppte} \paragraph{Remarques}\subitem{} $\bullet$ L'extrémité du 1\ier{} vecteur est l'origine du 2\ieme{} vecteur. \par$\bullet$ On a $\vecteur{\strut AB}+\vecteur{\strut BA}=\vecteur{\strut AA}$. Un tel vecteur $\vecteur{\strut AA}$ est appelé {\em vecteur nul} et se note $\vecteur{\strut 0}$. \par$\bullet$ On a $\vecteur{\strut AB}+\vecteur{\strut BA}=\vecteur{\strut 0}$. Donc le vecteur $\vecteur{\strut BA}$ s'appelle {\em l'opposé} du vecteur $\vecteur{\strut AB}$ et se note $-\vecteur{\strut AB}$. \begin{ppte}[Règle du parallélogramme]\label{para}\subitem{} \par\compo{6}{memovecteurs}{1}{Soit $I$, $J$ et $K$ trois points. Alors $$\vecteur{\strut IJ}+\vecteur{\strut IK}=\vecteur{\strut IL}$$ où $L$ est le point tel que $IJLK$ soit un parallélogramme. } \end{ppte} \paragraph{Remarque} Les vecteurs ont la même origine. \subsection{Application : calcul avec des vecteurs} \compo{9}{memovecteurs}{1}{{\em Sur la figure ci-contre, $ABCD$ et $ABEC$ sont des parallélogrammes. Evaluer la somme $\vecteur{\strut AB}+\vecteur{\strut AD}+\vecteur{\strut CE}$.} \par Comme $ABCD$ est un parallélogramme alors $\vecteur{\strut AB}+\vecteur{\strut AD}=\vecteur{\strut AC}$ d'après la règle du parallélogramme. Donc $$\Eqalign{ \vecteur{\strut AB}+\vecteur{\strut AD}+\vecteur{\strut CE}&=\vecteur{\strut AC}+\vecteur{\strut CE}\cr \vecteur{\strut AB}+\vecteur{\strut AD}+\vecteur{\strut CE}&=\vecteur{\strut AE}\mbox{ d'après la relation de Chasles}\cr }$$ } \subsection{Application : construction graphique de la somme de deux vecteurs} 3 cas se présentent : \begin{description} \item[Les deux vecteurs ont la même origine] : on applique la règle de parallélogramme (Propriété \ref{para}). \item[L'extrémité du 1\ier{} vecteur est l'origine du 2\ieme{} vecteur] : on applique la relation de Chasles (Propriété \ref{chasles}). \item[Les deux vecteurs sont quelconques] : on choisit une origine pour construire un représentant de la somme des deux vecteurs et on se ramène à un des deux cas précédents. \par $$\begin{tabular}{c|c} \includegraphics{memovecteurs.7}&\includegraphics{memovecteurs.8}\\ Cas n°1&Cas n°2\\ \end{tabular} $$ \end{description} \end{document}