\documentclass{article} %\documentclass[12pt]{article} %\documentclass[a5paper]{article} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{amsmath,multicol} \usepackage{pstricks,pst-node,pst-text} \parindent0pt \topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip10pt \usepackage[dvips,a5paper,margin=8mm]{geometry} \input christ5.tex \columnseprule0.25pt \begin{document} \parskip0pt \titrage{Calcul littéral}{3eme} \parskip6pt \section{Vocabulaire} \begin{itemize} \item[$\bullet$] {\em Développer} une expression, c'est transformer tous les produits de cette expression en sommes. \par\begin{ppte} Si $k,\,a,\,b,\,c,\,d$ sont 5 nombres quelconques alors $$k\times(a+b)=k\times a+k\times b\kern1cm (a+b)\times(c+d)=a\times c+a\times d+b\times c+b\times d$$ \end{ppte} \paragraph{Exemples d'application} $$\Eqalign{ A&=2(x+3)\kern1cm&B&=x(x-1)\kern1cm&C&=3(2x+5)\cr A&=2\times x+2\times3&B&=x\times x+x\times(-1)&C&=3\times2x+3\times5\cr A&=2x+6&B&=x^2+(-x)&C&=6x+15\cr &&B&=x^2-x&&\cr }$$ $$\begin{array}{l} D=(\rnode{NE}{x}+\rnode{NF}{2})(\rnode{NG}{3x}\rnode{NH}{-1})\\ \\ D=x\times3x+x\times(-1)+2\times3x+2\times(-1)\\ D=3\times\rnode{NA}{\underline{x\times x}}-1x+6x-2\\ \\ D=3\rnode{NB}{x^2}\rnode{NC}{\underline{-1x+6x}}+2\\ \\ D=3x^2\rnode{ND}{+5x}+2\\ \end{array} $$ \nccurve[linecolor=red,angleA=270,angleB=90]{->}{NA}{NB} \nccurve[linecolor=red,angleA=270,angleB=90]{->}{NC}{ND} \nccurve[linecolor=blue,angleA=270,angleB=270]{->}{NE}{NG} \nccurve[linecolor=blue,angleA=270,angleB=270]{->}{NE}{NH} \nccurve[linecolor=blue,angleA=90,angleB=90]{->}{NF}{NG} \nccurve[linecolor=blue,angleA=90,angleB=90]{->}{NF}{NH} \paragraph{Remarque} L'expression $D$ a été développée puis {\em réduite}. Cela signifie que l'on a écrit cette expression sous la forme finale la plus simple possible. \par\vspace{2mm} \item[$\bullet$] {\em Factoriser} une expression, c'est transformer toutes les sommes en produits. \par\begin{ppte} Si $k,\,a,\,b,\,c,\,d$ sont 5 nombres quelconques alors $$\rnode{fk1}{k}\times\rnode{fa}{a}+\rnode{fk2}{k}\times\rnode{fb}{b}=k\times(a+b)\kern1cm a\times c+a\times d+b\times c+b\times d=(a+b)\times(c+d)$$ \end{ppte} \paragraph{Exemples d'application} {%\small $$\begin{array}{ll} A=\rnode{gk1}{\underline{(x+3)}}(2x-3)+\rnode{gk2}{\underline{(x+3)}}(2-x)&B=(1-x)(1+x)-(1+x)^2\\ A=(x+3)\times[(2x-3)+(2-x)]&B=(1-x)\underline{(1+x)}-\underline{(1+x)}\times(1+x)\\ A=(x+3)(2x-3+2-x)&B=(1+x)[(1-x)-(1+x)]\\ A=(x+3)(x-1)&B=(1+x)(1-x-1-x)\\ &B=(1+x)\times(-2x)\\ &B=-2x(1+x)\\ \end{array} $$ } \nccurve[linecolor=red,angleA=90,angleB=270]{->}{gk1}{fk1} \nccurve[linecolor=red,angleA=90,angleB=270]{->}{gk2}{fk2} \end{itemize} \section{Egalités remarquables} \begin{ppte} Si $a$ et $b$ sont deux termes quelconques alors \par \underline{\bf Carré d'une somme de deux termes} $$(a+b)^2=\underbrace{a^2}_{\begin{tabular}{c} carré du\\ 1\ier terme \end{tabular}}+\underbrace{2\times a\times b}_{\mbox{double produit}}+\underbrace{b^2}_{\begin{tabular}{c} carré du\\ 2\ieme terme \end{tabular}}$$ \par\underline{\bf Carré d'une différence de deux termes} $$(a-b)^2=\underbrace{a^2}_{\begin{tabular}{c} carré du\\ 1\ier terme \end{tabular}}-\underbrace{2\times a\times b}_{\mbox{double produit}}+\underbrace{b^2}_{\begin{tabular}{c} carré du\\ 2\ieme terme \end{tabular}}$$ \par\underline{\bf Produit de la somme de deux termes par leur différence} $$(a+b)(a-b)=\underbrace{a^2}_{\begin{tabular}{c} carré du\\ 1\ier terme \end{tabular}}-\underbrace{b^2}_{\begin{tabular}{c} carré du\\ 2\ieme terme \end{tabular}}$$ \end{ppte} \paragraph{Remarque} On dit {\em remarquables} car il faut les {\em remarquer} dans une expression littérale. \paragraph{Application n°1 : Développement} $$\Eqalign{ A&=(x+1)^2\kern1cm&B&=(2x-3)^2\kern1cm&C&=(4-x)(4+x)\cr A&=x^2+2\times x\times1+1^2&B&=(2x)^2-2\times2x\times3+3^2&C&=4^2-x^2\cr A&=x^2+2x+1&B&=4x^2-12x+9&C&=16-x^2\cr }$$ \paragraph{Application n°2 : Factorisation} $$\Eqalign{ D&=x^2-6x+9\kern1cm&E&=9x^2-25\kern1cm&F&=4x^2+16x+16\cr D&=x^2-2\times x\times3+3^2&E&=(3x)^2-5^2&F&=(2x)^2+2\times2x\times4+4^2\cr D&=(x-3)^2&E&=(3x-5)(3x+5)&F&=(2x+4)^2\cr }$$ \paragraph{Remarque} En pratique, pour \underline{la factorisation}, c'est la 3\ieme{} égalité remarquable qui sert le plus souvent. $$a^2-b^2=(a+b)\times(a-b)$$ \paragraph{Application n°3 : Calcul mental} {\small $$\Eqalign{ 102^2&=(100+2)^2&49^2&=(50-1)^2&37\times43&=(40-3)\times(40+3)\cr 102^2&=100^2+2\times100\times2+2^2&49^2&=50^2-2\times50\times1+1^2&37\times43&=40^2-3^3\cr 102^2&=10\,204&49^2&=2\,401&37\times43&=1\,591\cr }$$ } \paragraph{Remarque} A n'utiliser que pour le calcul mental. Une expression du type $(5-7)^2$ se calcule avec les règles de priorités de calculs habituelles : $(5-7)^2=(-2)^2=4$. \section{Exercices d'application} \exo Soit les expressions $$C=(x+2)(2x-3)+(x+2)^2\kern1cm D=(2x+3)^2-(3x-1)^2$$ \begin{myenumerate} \item Développer et réduire les expressions $C$ et $D$. $$\Eqalign{ C&=(x+2)(2x-3)+(x+2)^2\cr C&=2x^2-3x+4x-6+x^2+2x\times2+2^2\cr C&=2x^2+1x-6+x^2+4x+4\cr C&=3x^2+5x-2\cr \cr D&=(2x+3)^2-(3x-1)^2\cr D&=(2x)^2+2\times2x\times1+3^2-\left((3x)^2-2\times3x\times1+1^2\right)\cr D&=4x^2+4x+9-\left(9x^2-6x+1\right)\cr D&=4x^2+4x+9-9x^2+6x-1\cr D&=-5x^2+10x+8\cr }$$ \item Calculer la valeur de $C$ lorsque $x=-1$. $$\Eqalign{ C&=(-1+2)\times(2\times(-1)-3)+(-1+2)^2\cr C&=1\times(-2-3)+(1)^2\cr C&=1\times(-5)+1\cr C&=-5+1\cr C&=-4\cr }$$ \item Factoriser les expressions $C$ et $D$. {\small $$\Eqalign{ C&=(x+2)(2x-3)+(x+2)^2&D&=(2x+3)^2-(3x-1)^2\cr C&=(x+2)(2x-3)+(x+2)(x+2)&D&=((2x+3)+(3x-1))\times((2x+3)-(3x+1))\cr C&=(x+2)\times[(2x-3)+(x+2)]&D&=(2x+3+3x-1)\times(2x+3-3x-1)\cr C&=(x+2)\times(2x-3+x+2)&D&=(5x+2)\times(-x+2)\cr C&=(x+2)\times(3x-1)\cr }$$ } \end{myenumerate} %\newpage \exo\par\compo{1}{memocalcullitteral}{1}{Dans la figure ci-contre $AEFG$, $AHIJ$ et $ABCD$ sont des carrés. \begin{myenumerate} \item Exprime en fonction de $x$ la longueur $AH$.\\Déduis-en l'aire de $AHIJ$. \item Exprime en fonction de $x$ l'aire $\cal A$ de la surface hachurée. On développera le résultat. \item Factorise l'expression $\cal A$. \item Calcule l'aire de la surface hachurée pour $x=2$. Pouvait-on s'attendre à ce résultat ? \end{myenumerate} } \par\begin{multicols}{2} \begin{myenumerate} \item Comme $H$ apaprtient au segment $[AB]$, on a $$\Eqalign{ AH&=AB-HB\cr AH&=4-x\cr }$$ On obtient alors $$\Eqalign{ {\cal A}_{AHIJ}&=AH^2\cr {\cal A}_{AHIJ}&=(4-x)^2\cr }$$ \item$$\Eqalign{ {\cal A}&={\cal A}_{AHIJ}-{\cal A}_{AEFG}\cr {\cal A}&=(4-x)^2-AE^2\cr {\cal A}&=(4-x)^2-2^2\cr {\cal A}&=(4-x)^2-4\cr {\cal A}&=4^2-2\times4\times x+x^2-4\cr {\cal A}&=16-8x+x^2-4\cr {\cal A}&=x^2-8x+12\cr }$$ \item $$\Eqalign{ {\cal A}&=(4-x)^2-4\cr {\cal A}&=(4-x)^2-2^2\cr {\cal A}&=\big((4-x)-2\big)\times\big((4-x)+2\big)\cr {\cal A}&=(4-x-2)\times(4-x+2)\cr {\cal A}&=(2-x)(6-x)\cr }$$ \item Pour $x=2$, on obtient $$\Eqalign{ {\cal A}&=(2-x)(6-x)\cr {\cal A}&=(2-2)(6-2)\cr {\cal A}&=0\times4\cr {\cal A}&=0\cr }$$ \par On pouvait s'attendre au résultat car si $x=2$ alors les points $H$ et $E$ sont confondus et la surface hachurée n'existe pas. \end{myenumerate} \end{multicols} \end{document} \exo Soit l'expression $D=(2x+3)^2-(3x-1)^2$. \begin{myenumerate} \item Développer et réduire l'expression $D$. \item Factoriser l'expression $D$. $$\Eqalign{ }$$ \end{myenumerate} \end{document}