\documentclass[12pt]{article} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{fancybox,color} \newcommand{\ColCadre}[3]{ \boxput*(#1,1){\colorbox{white}{#2}} {\setlength{\fboxsep}{12pt} \fbox{\begin{Bflushleft} #3\end{Bflushleft}}}} \usepackage{amsmath,multicol} \usepackage{pstricks,pst-node,pst-text} \parindent0pt \topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip10pt \usepackage[dvips,a5paper,margin=8mm]{geometry} \input christ5.tex \columnseprule0.25pt \begin{document} \parskip0pt \titrage{Calcul Numérique}{3eme} \parskip12pt \section{Priorités de calculs} %\begin{itemize} %\item[] \ColCadre{-0.7}{\bf Propriété n°1}{ \begin{minipage}{350pt} Lorsqu'une expression numérique n'a pas de parenthèses comportant des calculs, on effectue, {\bf\em de gauche à droite} et {\em dans cet ordre}, les puissances; les multiplications et divisions et enfin les additions et soustractions. \end{minipage}} \par{\sc Exemples} $$\Eqalign{ A&=2^3\times(-5)+3^2\times7+(-5)\kern1cm&B&=(-4)\times5+3\times4^2\div8\cr A&=8\times(-5)+9\times7+(-5)&B&=-20+3\times16\div8\cr A&=-40+63-5&B&=-20+48\div8\cr A&=23-5&B&=-20+6\cr A&=18&B&=-14\cr }$$ \ColCadre{-0.7}{\bf Propriété n°2}{ \begin{minipage}{350pt} Lorsqu'une expression numérique a des parenthèses comportant des calculs, on effectue les calculs à l'intérieur de ces parenthèses en respectant la propriété n°1, puis on termine les calculs en suivant la propriété n°1. \end{minipage}} \par{\sc Exemples} $$\Eqalign{ A&=2^3\times\left((-5)+3^2\right)\times7+(-5)\kern1cm&B&=\left((-4)\times5+3\right)\times4^2\div8\cr A&=8\times\left((-5)+9\right)\times7+(-5)&B&=\left(-20+3\right)\times16\div8\cr A&=8\times4\times7-5&B&=-17\times16\div8\cr A&=224-5&B&=-17\times2\cr A&=219&B&=-34\cr }$$ \newpage \section{Calculs avec des fractions} Une fraction est une écriture de la forme $\dfrac{a}{b}$ où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier relatif quelconque. \par \ColCadre{0}{\bf Addition (ou soustraction) de 2 fractions}{ \begin{minipage}{350pt} Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, il faut qu'elles soient {\bf\em écrites avec le même dénominateur}. Dans ce cas, on additionne les numérateurs et on garde les dénominateurs. \end{minipage}} \par{\sc Exemples} $$\Eqalign{ A&=\frac{2}{3}+\frac{5}{3}\kern5mm&B&=\frac{2}{5}-\frac{3}{10}\kern5mm&C&=\frac{12}{7}-\frac{9}{4}\kern5mm&D&=\frac{5}{4}+\frac{7}{6}\cr A&=\frac{2+5}{3}&B&=\frac{4}{10}-\frac{3}{10}&C&=\frac{48}{28}-\frac{63}{28}&D&=\frac{15}{12}+\frac{14}{12}\cr A&=\frac{7}{3}&B&=\frac{4-3}{10}&C&=\frac{48-63}{28}&D&=\frac{15+14}{12}\cr &&B&=\frac{1}{10}&C&=\frac{-15}{28}&D&=\frac{29}{12}\cr }$$ \ColCadre{0}{\bf Multiplication de 2 fractions}{ \begin{minipage}{350pt} Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. \end{minipage} } \par{\sc Exemples} $$\Eqalign{ A&=\frac{3}{5}\times\frac{4}{7}\kern2cm&B&=\frac{-8}{9}\times\frac{17}{5}\cr A&=\frac{3\times4}{5\times7}&B&=\frac{-8\times17}{9\times5}\cr A&=\frac{12}{35}&B&=\frac{-136}{45}\cr }$$ \ColCadre{0}{\bf Division de 2 fractions}{ \begin{minipage}{350pt} Pour diviser deux fractions, on {\bf\em multiplie} la {\em première} fraction par {\bf\em l'inverse de la deuxième} fraction. \end{minipage} } \par{\sc Exemples} $$\Eqalign{ A&=\frac{3}{4}\div\frac{5}{7}\kern2cm&B&=\frac{7}{5}\div\frac{6}{13}\cr A&=\frac{3}{4}\times\frac{7}{5}&B&=\frac{7}{5}\times\frac{13}{6}\cr A&=\frac{3\times7}{4\times5}&B&=\frac{7\times13}{5\times6}\cr A&=\frac{21}{20}&B&=\frac{91}{30}\cr }$$ \paragraph{Remarques}\subitem{} \par$\bullet$ Il faut penser à {\em simplifier} au maximum les fractions, même lorsque ce n'est pas demandé. \par$\bullet$ Les règles de calculs définies dans la partie 1 sont toujours valables avec les fractions. \par{\sc Exemples} $$\Eqalign{ A&=\frac{2}{3}+\frac{7}{4}\times\frac{5}{3}&B&=\left(\frac{2}{3}+\frac{7}{4}\right)\div\frac{5}{3}\cr A&=\frac{2}{3}+\frac{35}{12}&B&=\left(\frac{8}{12}+\frac{21}{12}\right)\div\frac{5}{3}\cr A&=\frac{8}{12}+\frac{35}{12}&B&=\frac{29}{12}\div\frac{5}{3}\cr A&=\frac{43}{12}&B&=\frac{29}{12}\times\frac{3}{5}\cr &&B&=\frac{87}{60}\cr &&B&=\frac{29}{20}\cr }$$ \newpage \section{Puissances de 10} \ColCadre{-0.7}{\bf Définition}{ \begin{minipage}{350pt} On appelle {\em puissance de 10} l'écriture $10^n$, avec $n$ un entier relatif, définie par \begin{itemize} \item[$\bullet$] $n>0$ : $10^n=\underbrace{10\times\ldots\times10}_{\mbox{$n$ fois}}=1\underbrace{0\ldots0}_{\mbox{$n$ zéros}}$ \item[$\bullet$] $n=0$ : $10^0=1$ \item[$\bullet$] $n>0$ : $10^{-n}=\dfrac{1}{10^n}=\underbrace{0,0\ldots0}_{\mbox{$n$ zéros}}1$ \end{itemize} \end{minipage} } \par \ColCadre{-0.6}{\bf Règles de calculs}{ \begin{minipage}{350pt} Soit $m$ et $n$ 2 nombres entiers relatifs quelconques. $$\Eqalign{ 10^n\times10^m&=10^{n+m}\kern1cm&\left(10^n\right)^m=10^{n\times m}\kern1cm&\frac{10^n}{10^m}&=10^{n-m}\cr }$$ \end{minipage} } \par{\sc Exemple} $$\Eqalign{ A&=\frac{3\times10^4\times5\times10^2}{60\times\left(10^3\right)^3}\cr A&=\frac{3\times5\times10^4\times10^2}{60\times10^9}\cr A&=\frac{15\times10^6}{60\times10^9}\cr A&=\frac{15}{60}\times\frac{10^6}{10^9}\cr A&=\frac{1}{4}\times10^{6-9}\cr A&=0,25\times10^{-3}\cr }$$ \ColCadre{-0.7}{\bf Définition}{ \begin{minipage}{350pt} On appelle {\em écriture scientifique} d'un nombre décimal, la seule écriture du type $a\times10^p$ où $a$ est un nombre décimal dont la partie entière est {\bf\em un chiffre \underline{non nul}} et $p$ un entier relatif. \end{minipage} } \par{\sc Exemple} L'écriture scientifique de $0,25\times10^{-3}$ est $2,5\times10^{-4}$. \end{document}