ds_espace_sujet_1.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\include{preambule}
\include{espace}
\title{Devoir surveillé 7}
\hypersetup{pdftitle={Devoir surveillé math},pdfsubject={Devoir de maths niveau troisième},pdfkeywords={géométrie dans l'espace,calcul littéral}}
\begin{document}
\titre{Devoir surveillé \no7}
\DoubleLigne{\ladate{3\ieme{} -- Le mercredi 6/2/2008}}
\ladate{\textbf{Calculatrice autorisée}}
\exo{Exercice 1.}
 
Un bassin la forme d'un cône qui a pour base un disque de 3 mètres de rayon et pour hauteur 6 mètres.\medskip
 
\begin{Questions}
	\begin{minipage}{0.6\linewidth}
		\item Montrer que la valeur exacte du volume $\mathcal{V}$ du bassin en $\text{m}^3$ est $18\pi$, et en donner l'arrondi au $\text{m}^3$ prés.\\
		Ce volume représente t-il plus ou moins que \numprint{10000} litres? Justifier.
		\item Combien de temps faudrait-il à une pompe débitant 15 litres par seconde pour remplir complètement le bassin ? Donner le résultat en secondes, arrondi à l'unité, puis en minutes et secondes.
		\item On remplit ce bassin avec de l'eau sur une hauteur $SO'=4\text{ m}$. On admet que l'eau occupe un cône qui est une réduction du bassin.
		\begin{SousQuestions}
			\item Quel est le coefficient de réduction ?
			\item Quelle est la valeur exacte $\mathcal{V}'$ du volume d'eau en $\text{m}^3$ contenue dans le bassin ? Donner également la valeur arrondie au dixième.
		\end{SousQuestions}
	\end{minipage}%
	\begin{minipage}{0.4\linewidth}
		\centering
		\begin{pspicture*}(-2.5,-5)(2.8,1)
			\TraceCone[linewidth=1pt]{2}{0.25}{-4}
			\NomPoints{2}{0.2}{-4}{A}{O}{}{S}
			\AxesFigure{2}{0.2}{-4}
			\SectionCone[linewidth=1pt]{2}{0.25}{-4}{-1.5}
			\psdot[dotsize=3pt](0,-1.5)
			\rput(0.3,-1.5){$O'$}
			\Cotation*[linestyle=none][linewidth=0.7pt](-2,0)(0,0){0.8}{3 m}
			\Cotation*[linestyle=none][linewidth=0.7pt](2,-4)(2,0){-0.4}{6 m}
			\Cotation*[linestyle=none][linewidth=0.7pt](-2,-4)(-2,-1.5){-0.5}{4 m}
		\end{pspicture*}
	\end{minipage}
	\item Calculer la valeur exacte de la longueur AS, et donner le résultat sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus petit possible.
	\item Calculer la valeur arrondie au degré de l'angle \Angle{OAS}.
\end{Questions}
 
\exo{Exercice 2.}
 
Une gélule contenant des médicaments pour enfants a la forme d'un cylindre, auquel sont ajoutées 2 demi-sphères aux extrémités (voir figure).\medskip
 
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
	\begin{Questions}
		\item Montrer en détaillant les calculs, que le volume de cette gélule arrondi au dixième est $49,5\text{ mm}^3$.
		\item La gélule contenant les médicaments pour adultes est un agrandissement de la gélule pour enfants d'un coefficient de $1,5$. Calculer le volume de la gélule pour adultes (arrondir le résultat au $\text{mm}^3$ le plus proche).
	\end{Questions}
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
	\centering
	\begin{pspicture*}(-1.7,-1.1)(4.1,1.5)
		\rput{90}(0,0){\Calotte[H]{1}{0.2}{0}}
		\rput{-90}(3,0){\Calotte[H]{1}{0.2}{0}}
		\psline[linewidth=1pt](0,1)(3,1)
		\psline[linewidth=1pt](0,-1)(3,-1)
		\Cotation*[linestyle=none][linewidth=0.7pt](0,1)(3,1){0.3}{5 mm}
		\Cotation*[linestyle=none][linewidth=0.7pt](-1,-1)(-1,1){0.5}{3 mm}
	\end{pspicture*}
\end{minipage}
\begin{Questions}[resume]
		\item Calculer la surface extérieure de cette gélule. Arrondir le résultat au $\text{mm}^2$ le plus proche.
\end{Questions}
 
\exo{Exercice 3.}
 
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
	\centering
	\begin{pspicture*}(-1,-0.4)(4.5,4.7)
		\psframe[linewidth=1pt](0,0)(4,4)
		\pspolygon[linewidth=1pt,fillstyle=hlines,hatchwidth=0.5pt,hatchsep=4pt](0,0.8)(0,2)(2,2)(2,4)(3.2,4)(3.2,0.8)
		\rput[br](0,4.1){A}
		\rput[b](2,4.1){E}
		\rput[b](3.2,4.1){H}
		\rput[bl](4,4.1){B}
		\rput[r](-0.1,2){G}
		\rput[br](1.9,2.1){F}
		\rput[r](-0.1,0.8){J}
		\rput[tl](3.3,0.8){I}
		\rput[tr](0,-0.1){D}
		\rput[tl](4,-0.1){C}
		\Cotation*[linestyle=none][linewidth=0.7pt](0,0)(0,4){0.8}{4}
		\Cotation*[linestyle=none][linewidth=0.7pt](0,4)(2,4){0.5}{2}
		\Cotation*[linestyle=none][linewidth=0.7pt](3.2,4)(4,4){0.5}{$x$}
	\end{pspicture*}
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.65\linewidth}
	\begin{Questions}
		\item Dans la figure ci-contre, AEFG, AHIJ et ABCD sont des carrés.\\
		Calculer AH en fonction de $x$; en déduire l'aire de AHIJ puis préciser dans la liste ci-dessous, la (ou les) expression(s) littérale(s) qui corresponde(nt) à l'aire hachurée :\par
		$M=(4-x)^2-2^2$\hfill$N=(4-x-2)^2$\hfill$P=4^2-x^2-2^2$
		\item Développer l'expression $Q=(4-x)^2-4$
		\item Factoriser Q.
		\item Calculer Q lorsque $x=2$. Comment pouvait-on prévoir le résultat ?
	\end{Questions}
\end{minipage}
 
\exo{Exercice 4.}\medskip
 
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
	SMPN est une pyramide dont la base MNP est un triangle rectangle en M et dont la hauteur est [SM].
	\medskip
 
	On donne les mesures suivantes en cm :\par
	$MN=5\text{ cm}$\qquad$MP=4\text{ cm}$\qquad$SM=6\text{ cm}$
 
	\begin{Questions}
		\item Calculer le volume de cette pyramide en $\text{cm}^3$.
		\item En laissant les traits de construction, réaliser un patron de cette pyramide.
	\end{Questions}
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
	\centering
	\psset{unit=0.5cm}
	\begin{pspicture*}(-3.7,-0.7)(4.6,6.7)
		\pspolygon(0,0)(-3,3)(0,6)(4,0)
		\psline(0,0)(0,6)
		\psline[linestyle=dashed](-3,3)(4,0)
		\psline[linewidth=0.5pt](0,0.5)(0.5,0.5)(0.5,0)
		\psline[linewidth=0.5pt](-0.2,0.2)(0.15,0.2)(0.45,0)
		\rput[t](0,-0.2){M}
		\rput[r](-3.1,3){N}
		\rput[tl](4.1,0){P}
		\rput[b](0,6.2){S}
	\end{pspicture*}
\end{minipage}
 
\pagebreak
 
\DoubleLigne{\titre{Correction du devoir surveillé \no7}}
 
\exo{Exercice 1.}
\begin{Questions}
	\item $\mathcal{V}=\dfrac{\pi\times OA^2\times OS}{3}=\dfrac{\pi\times 3^2\times6}{3}=\gras{18\pi\text{ m}^3\approx57\text{ m}^3}$\\
	$1\text{ m}^3=\numprint{1000}\text{ L}$ donc en litres, ce volume vaut $\mathcal{V}\approx\numprint[m^3]{56548,7}$ \textbf{ce qui est supérieur à \numprint{10000} litres}.
	\item Il y a proportionnalité entre le temps et le volume, il faut donc : $t=\dfrac{\mathcal{V}}{\text{débit}}=\dfrac{\numprint{56548,7}}{15}\approx\gras{3\,770\text{ s}\approx62\text{ min }50\text{ s}}$
	\item
	\begin{SousQuestions}
		\item Le coefficient de réduction vaut $k=\dfrac{SO'}{SO}=\dfrac{4}{6}=\gras{\dfrac{2}{3}}$
		\item Par conséquent, $\mathcal{V}'=\mathcal{V}\times k^3=18\pi\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\!\!3}=\gras{\dfrac{16\pi}{3}\text{ m}^3\approx16{,}8\text{ m}^3}$
	\end{SousQuestions}
	\item Dans le triangle OAS, rectangle en O, d'après le théorème de Pythagore :\\
	$AS^2=OA^2+OS^2\qquad AS^2=6^2+3^2=45\qquad AS^2=45 \qquad AS=\sqrt{45}=\sqrt{9}\sqrt{2} \qquad \gras{AS=3\sqrt{2}\text{ m}}$
	\item Dans le triangle OAS rectangle en O : $\tan\Angle{OAS}=\dfrac{OS}{OA}\qquad \tan\Angle{OAS}=\dfrac{6}{3}\qquad \gras{\Angle{OAS}\approx63\degres}$
\end{Questions}
 
\exo{Exercice 2.}
 
\begin{Questions}
	\item $V_\text{gélule}=V_\text{cylindre}+V_\text{sphère}=\pi\times1,5^2\times5+\dfrac{4}{3}\ \pi\times1,5^3\approx\gras{49,5\text{ mm}^3}$
	\item Les volumes sont multipliés par $1,5^3$ donc le volume de la gélule adulte vaut : $49,5\times1,5^3\approx\gras{167\text{ mm}^3}$
	\item $S_\text{gélule}=S_\text{boule}+S_\text{cylindre}=4\pi\times1{,}5^2+2\pi\times1{,}5\times5\approx\gras{75\text{ mm}^2}$
\end{Questions}
 
\exo{Exercice 3.}
 
\begin{Questions}
	\item $AH=AB-HB=\gras{4-x}$ et donc : $A_{AHIJ}=AH^2=\gras{(4-x)^2}$\\
	On a donc : $A_\text{hachurée}=A_{AHIJ}-A_{AEFG}=(4-x)^2-2^2$. L'expression représentant l'aire hachurée est donc \textbf{M}.
	\item $Q=16-8x+x^2-4=\gras{x^2-8x+12}$
	\item $Q=[(4-x)-2][(4-x)+2]=(4-x-2)(4-x+2)=\gras{(2-x)(6-x)}$
	\item Lorsque $x=2$, $Q=(2-2)\times(6-2)=0\times4=\gras{0}$\\
	En effet, lorsque $x=2$, la largeur de la zone hachurée vaut $EH=0$ (E et H sont confondus, ainsi que F et I, et G et J), donc l'aire hachurée a une largeur nulle et a par conséquent une aire nulle.
\end{Questions}
 
\exo{Exercice 4.}
 
\begin{Questions}
	\item $V_\text{pyramide}=\dfrac{\dfrac{MP\times MN}{2}\times SM}{3}\\[1ex]
	V_\text{pyramide}=\dfrac{\dfrac{4\times5}{2}\times6}{3}\\[1ex]
	\gras{V_\text{pyramide}=20\text{ cm}^3}$
	\item Voir ci-contre.
\end{Questions}
\psset{unit=1cm}
 
\begin{center}
	\begin{pspicture}(0,-3)(15,5)
		\psline(7,3)(7,8)\psline(7,8)(11,3)\psline(11,3)(7,3)
		\pspolygon(7,3)(1,3)(7,8)(14.72,9.18)(11,3)(7,-3)
		\psset{linewidth=0.5pt}
		% codages
		\psline(3.92,5.55)(4.03,5.41)\psline(3.97,5.59)(4.08,5.45)
		\psline(10.81,8.67)(10.84,8.49)\psline(10.88,8.68)(10.91,8.5)
		\psline(7.09,0)(6.91,0)
		\psline(4,2.91)(4,3.09)
		\psline(8.89,-0.01)(9.04,-0.11)\psline(8.93,0.05)(9.07,-0.05)\psline(8.96,0.11)(9.11,0.01)
		\psline(12.97,6.1)(12.82,6.19)\psline(12.94,6.04)(12.78,6.13)\psline(12.9,5.98)(12.75,6.07)
		\rput[bl](7.1,3.1){M}
		\rput[t](7,-3.1){S}
		\rput[bl](11.2,2.9){P}
		\rput[b](7,8.12){N}
		\rput[bl](0.6,2.8){S}
		\rput[bl](14.8,9.3){S}
		%arcs de cercles
		\psdot[dotsize=4pt](7,8)\psdot[dotsize=4pt](11,3)
		\psarc[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](7,8){7.810}{0}{15}\psarc[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](7,8){7.810}{215}{225}
		\psarc[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](11,3){7.211}{55}{65}\psarc[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt](11,3){7.211}{-130}{-120}
	\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}