\documentclass[fleqn]{article} \usepackage[colorlinks=true]{hyperref} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{pst-rubans} \usepackage{multido} \usepackage[a4paper]{geometry} \begin{document} \parindent=0pt \parskip4pt \section*{Mathematische Feinheiten einer helixf\"{o}rmigen Schraubenfeder \dots} In Figur 1 ist eine zylindrische Schraube (Form einer Helix) mit 10 Windungen dargestellt. Ihre Gleichgewichtslage sei $h_0$. Der zugeh\"{o}rige Radius sei $r_0=\frac{d_0}{2}$. In Figur 2 ist die Feder auseinander gezogen (gestreckt) -- ihre neue H\"{o}he ist damit $h_1$ und der zugeh\"{o}rige Radius $r_1 = \frac{d_1}{2}$. \textbf{Fragen} \begin{itemize} \item Wie bestimmt man die L\"{a}nge der Helix? \item Da die Feder eine feste vorgegebene L\"{a}nge besitzt; wie gro{\ss} ist der Radius $r_1(h_0,\,r_0,\,h_1)$? \end{itemize} \psset{lightsrc=30 5 5,SphericalCoor,viewpoint=50 45 0,Decran=50,dZ=0.2,resolution=180} \begin{pspicture}(-3,-5)(3,7) \psframe(-1.5,-3.5)(1.5,7) \psSolid[object=cylindre,r=1.2,h=0.2,ngrid=1 36](0,0,6)% \pshelices[incolor=gray!75,R=0.5,h=6,hue=0.2 0.5,grid,RotY=180,spires=10,dZ=0.1](0,0,6) \psPoint(0,1,6){O1} \psPoint(0,1,0){O} \pcline[linecolor=blue]{<->}(O1)(O) \Aput{$h_0$} \psSolid[object=cylindre,r=0.7,h=1,ngrid=4 36,fillcolor=blue](0,0,-1) \psPoint(0,0,0){E1} \psdot(E1) \pnode(-0.5,3){I1} \pnode(0.5,3){I2} \psline[arrowsize=0.2]{<->}(I1)(I2) \uput[l](I1){$d_0$} \rput(0,-4){Figur 1} \end{pspicture} \qquad \begin{pspicture}(-3,-5)(3,7) \psframe(-1.5,-3.5)(1.5,7) \psSolid[object=cylindre,r=1.2,h=0.2,ngrid=1 36](0,0,6)% \pshelices[incolor=gray!75,R=0.4,h=7,hue=0.2 0.5,grid,RotY=180,spires=10,dZ=0.1](0,0,6) \psPoint(0,1,6){O1} \psPoint(0,1,-1){O} \pcline[linecolor=blue]{<->}(O1)(O) \Aput{$h_1$} \pnode(-0.4,2.5){I1} \pnode(0.4,2.5){I2} \psline[arrowsize=0.2]{<->}(I1)(I2) \uput[l](I1){$d_1$} \psSolid[object=cylindre,r=0.7,h=1,ngrid=4 36,fillcolor=blue](0,0,-2) \psPoint(0,0,-1){E1} \psdot(E1) \psPoint(0,0,-1.5){E2} \psPoint(0,0,-3){E3} \psline[arrowsize=0.2,linecolor=red]{->}(E2)(E3) \rput(0,-4){Figur 2} \end{pspicture} \textbf{Voraussetzungen} Vereinfachend setzen wir voraus, dass alle Windungen \"{a}quidistant sind (also die Helix-Form immer beibehalten wird) und wir vernachl\"{a}ssigen s\"{a}mtliche physikalischen Eigenschaften wie z.~B. Dicke des Helix-Drahtes, Masse der Feder, Material, Temperatur, Elastizit\"{a}t, Torsion, usw. \newpage \textbf{Rechnung} Es ist $z_0$ die \textit{H\"{o}he} einer einzelnen Windung, somit ist $h_0 = n z_0$ die \textit{Gesamth\"{o}he} einer Feder mit $n$ Windungen. \begin{pspicture}(-3,-1)(1,4) \psset{lightsrc=10 -20 50,SphericalCoor,viewpoint=50 -20 20,Decran=50,unit=1} \deffunction[algebraic]{helice}(t){2.6*cos(t)}{2.6*sin(t)}{0.4*t} \psSolid[object=cylindre,r=2.6,h=3.3,action=draw,ngrid=6 36]% \psSolid[object=courbe, range=0 0.8 add 6.28 0.8 add, linecolor=blue, linewidth=0.1, resolution=360, function=helice]% \end{pspicture}\qquad \begin{pspicture}(-3,-1)(5,4) \psline(0,0)(7,0) \psline(0,0)(0,3.5) \psline[linecolor=blue](7,0)(0,3.5) \uput[-90](3.5,0){$2\pi r_0$} \uput[180](0,1.75){$z_0$} \uput[0](3.5,1.85){$l_0$} \end{pspicture} \textbf{Ein kleiner Trick:} Rollt man den Zylinder auf einer Ebene ab, so wickelt sich die Helix ab zu einer Geraden in der Ebene. Bildet man ein rechtwinkliges Dreieck und benutzt den Satz von Pythagoras (die eine Kathete ist die H\"{o}he $z_0$, die andere Kathete ist der Zylinderumfang $2 \pi r_0$) und somit ist die Hypotenuse die L\"{a}nge $l_0$ einer einzelnen Windung. Diese kann sehr einfach berechnet werden. Die \textit{L\"{a}nge einer einzelnen Windung} ist \begin{equation} l_0 = \sqrt{z_0^2 + 4\pi^2r_0^2}\label{l0} \end{equation} Damit wird die \textit{Gesamtl\"{a}nge} der Feder \begin{equation*} L_0 = n l_0 \end{equation*} Nun verl\"{a}ngern wir die Feder (siehe Figur 2) und rechnen dasselbe noch einmal. Es ist $z_1$ die \textit{H\"{o}he} einer einzelnen Windung, somit ist $h_1 = n z_1$ die \textit{Gesamth\"{o}he} der gestreckten Feder mit $n$ Windungen. Die \textit{L\"{a}nge einer einzelnen Windung} ist \begin{equation} l_1 = \sqrt{z_1^2 + 4\pi^2r_1^2}\label{l1} \end{equation} Damit wirde die \textit{Gesamtl\"{a}nge} der gestreckten Feder \begin{equation*} L_1 = n l_1 \end{equation*} Da es sich um ein und dieselbe Feder handelt, ist ihre L\"{a}nge konstant: $L_0=L_1$ Gleichsetzen von \eqref{l0} und \eqref{l1} und anschlie{\ss}endes Aufl\"{o}sen nach $r_1^2$, liefert: \begin{equation*} r_1^2 = \frac{1}{4\pi^2n^2}h_0^2 - \frac{1}{4\pi^2n^2}h_1^2 + r_0^2 \end{equation*} \newpage \textbf{Vorgaben f\"{u}r die Schwingung} Zweckm\"{a}{\ss}ige Wahl des Koordinatensystems: Die $h$-Achse weist nach unten und der Ursprung $h=0$ wird der Einfachheit halber als oberster Punkt der Feder gew\"{a}hlt. Nun f\"{u}hrt die Feder eine harmonische Schwingung aus, mit der \textit{Amplitude} $\hat{h} < h_0$ aus der \textit{Gleichgewichtslage} $h_0$ heraus nach unten und mit der \textit{Kreisfrequenz} $\omega = \frac{2\pi}{T}$, wobei $T$ die \textit{Schwingungsdauer} ist. \begin{equation*} h_1(t) = h_0 + \hat{h} \cdot \sin(\omega t)= h_0[1 + \frac{\hat{h}}{h_0}\sin(\omega t)] \end{equation*} Dies liefert nach einigen einfachen arithmetischen Umformungen \begin{align*} r_1(t) &= \sqrt{\frac{1}{4\pi^2n^2}h_0^2\{1 - [1 + \frac{\hat{h}}{h_0}\sin(\omega t)]^2\} + r_0^2}\\ &= \sqrt{r_0^2 - \frac{\hat{h}h_0}{4\pi^2n^2}\sin(\omega t)[2 + \frac{\hat{h}}{h_0}\sin(\omega t)] } \end{align*} \textbf{Ergebnisse} Je mehr Windungen die Feder besitzt, umso weniger weicht $r_1(t)$ von $r_0$ ab. Nun diskutieren wir die beiden folgenden Zeitintervalle: \begin{itemize} \item $]0;\frac{T}{2}[$ -- Strecken (Verl\"{a}ngern) der Feder $l_1(t) > l_0$ \begin{equation*} \sin(\omega t)>0\quad \Rightarrow \quad r_1(t) < r_0 \end{equation*} \item $]\frac{T}{2};T[$ -- Stauchen (Verk\"{u}rzen) der Feder $l_1(t) < l_0$ \begin{equation*} \sin(\omega t)<0\quad \Rightarrow \quad r_1(t) > r_0 \end{equation*} \end{itemize} Wenn man nun einige explizite Rechnungen f\"{u}r die Variablen $h_0,\,r_0,\,\hat{h}$ durchf\"{u}hrt, so sieht man sehr schnell, dass die \textit{Radiuskorrektur} sehr klein ist. Eine Radiuskorrektur ist dann angebracht, wenn man die Feder sehr stark verl\"{a}ngert. Dies hat jedoch die Konsequenz, dass man die Feder \"{u}berdehnt und den Hookeschen Bereich einer Feder verl\"{a}sst -- dies sind ungewollte Bedingungen f\"{u}r eine harmonische Schwingung. Somit macht man keinen gro{\ss}en Fehler, wenn man $r_1(t) \approx r_0$ w\"{a}hlt. \newpage \textbf{Beispiel} Hier finden Sie ein paar Ausschnitte einer harmonischen Schwingung f\"{u}r ($n=10,\,h_0=5,\,r_0=1,5,\,\hat{h}=2$) mit angewendeter \textit{Radiuskorrektur} und man sieht nicht wirklich eine Ver\"{a}nderung des Radius $r_1(t)$. \psset{lightsrc=30 5 5,SphericalCoor,viewpoint=50 45 0,Decran=50,resolution=180} \multido{\i=0+90}{5}{% \begin{pspicture}(-1.35,-5)(1.35,7) \pstVerb{% /amplitude \i\space sin 0.4 mul 1 add 5 mul def /radius \i\space sin 0.4 mul 1 add 2 exp neg 1 add 25 mul 4 div pi 2 exp div 100 div 1.5 2 exp add 0.5 exp def } \psframe(-1.4,-3.5)(1.4,7) \psSolid[object=cylindre,r=1.2,h=0.2,ngrid=1 36](0,0,6)% \pshelices[incolor=gray!75,R=radius,h=amplitude,hue=0.2 0.5,grid,RotY=180,spires=10,dZ=0.1](0,0,6) \psSolid[object=cylindre,r=1.2,h=1,ngrid=4 36,fillcolor=blue](0,0,amplitude neg 5 add) \psPoint(0,0,amplitude neg 6 add){E1} \psdot(E1) \rput(0,-4){$t=\dfrac{\i}{360}T$} \end{pspicture} \qquad} Eine einfache Animation dieser harmonischen Schwingung finden Sie unter: \centerline{\url{http://melusine.eu.org/syracuse/pstricks/pst-solides3d/animations/a26/}} \textbf{Quellcode} \footnotesize \begin{verbatim} \psset{lightsrc=30 5 5,SphericalCoor,viewpoint=50 45 0,Decran=50,resolution=180} \multido{\i=0+90}{5}{% \begin{pspicture}(-1.35,-5)(1.35,7) \pstVerb{% /amplitude \i\space sin 0.4 mul 1 add 5 mul def /radius \i\space sin 0.4 mul 1 add 2 exp neg 1 add 25 mul 4 div pi 2 exp div 100 div 1.5 2 exp add 0.5 exp def } \psframe(-1.4,-3.5)(1.4,7) \psSolid[object=cylindre,r=1.2,h=0.2,ngrid=1 36](0,0,6) \pshelices[incolor=gray!75,R=radius,h=amplitude,hue=0.2 0.5,grid,RotY=180,spires=10,dZ=0.1](0,0,6) \psSolid[object=cylindre,r=1.2,h=1,ngrid=4 36,fillcolor=blue](0,0,amplitude neg 5 add) \psPoint(0,0,amplitude neg 6 add){E1} \psdot(E1) \rput(0,-4){$t=\dfrac{\i}{360}T$} \end{pspicture} \qquad} \end{verbatim} \end{document}