%TITRE{Poitiers 1996}
%VTEX{\entete}

%S{Partie numérique}

%SS{Exercice 1}
TAG:1
FICHIER:poitiers1996num1.tex:
On donne
$$A=\frac{3}{2}+\frac{5}{4}\times\frac{2}{15}\kern2cm
B=\frac{2}{3}-\frac{5}{2}\left(\frac{7}{6}-\frac{1}{3}\right)$$
\par Ecrire $A$ et $B$ sous forme de fractions irréductibles en
détaillant les calculs intermédiaires.
§

M:texel: fichier="poitiers1996num1" patron="base1"

%SS{Exercice 2}
TAG:2

FICHIER:poitiers1996num2.tex:
On donne l'expression $E=(x+3)(2x-3)-(2x-3)^2$
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="poitiers1996num2" patron="base1"

%SS{Exercice 3}
TAG:3

FICHIER:poitiers1996num3.tex:
Une régate, ou course de voiliers, est organisée à La Rochelle. Deux
types de voiliers participent à la régate :
\begin{itemize}
\item les\og{}420\fg{} qui ont à bord deux personnes,
\item les\og{}optimists\fg{} qui sont manoeuvrés par une seule personne.
\end{itemize}
On compte au départ de la régate 48 voiliers et 80 personnes.
\begin{enumerate}
\item Si $x$ est le nombre de\og{}420\fg{} au départ et $y$ le
nombre d'\og{}optimists\fg{}, traduire les données par un système de 2
équations à 2 inconnues.
\item Quel est le nombre de voiliers de chaque catégorie ?
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="poitiers1996num3" patron="base1"

%SS{Exercice 4}
TAG:4

FICHIER:poitiers1996num4.tex:
On a relevé la nationalité du vainqueur des 80 premiers Tours de
France cyclistes [entre 1903 et 1993]. Le tableau ci-après donne le
nombre de victoires par nationalité.
\begin{enumerate}
\item Reproduire le tableau sur la copie et calculer les fréquences en
pourcentage.
$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{}&France&Belgique&Italie&Espagne&Autres\\
\hline
Nombres de victoires&36&18&8&6&12\\
\hline
Fréquences en \%&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
$$
\item Construire un diagramme semi-circulaire représentant cette
situation (on prendra $5\,cm$ pour rayon du cercle). On justifiera
correctement le calcul des angles.
\item L'espagnol Miguel Indurain a gagné l'épreuve en 1994 et
1995. Calculer le pourcentage de victoires espagnoles depuis la
création du Tour de France.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="poitiers1996num4" patron="base1"

%S{Partie géométrique}

%SS{Exercice 1}
TAG:5

FICHIER:poitiers1996geo1.tex:
Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=4,5\,cm$ et
$BC=7,5\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Construire ce triangle et justifier brièvement la construction.
\item On considère le point $D$ du segment $[BC]$ tel que $BD=BC$ et
le point $E$ du segment $[AB]$ tel que $BE=3\,cm$.
\par Démontrer que les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont parallèles.
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $BED$ ? Justifier votre
réponse.
\item Soit ${\cal A}_1$ l'aire du triangle $ABC$ et ${\cal A}_2$
l'aire du triangle $BED$. Démontrer que $9{\cal A}_2=4{\cal A}_1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="poitiers1996geo1" patron="base1"

%SS{Exercice 2}
TAG:6

FICHIER:poitiers1996.1:*:
FICHIER:poitiers1996geo2.tex:
 La figure ci-contre représente un cube $ABCDEFGH$ sur lequel on a
 posé une pyramide régulière de base $ABCD$ et de hauteur
 $MK$. L'arête du cube mesure $6\,cm$.
\par\compo{1}{poitiers1996}{1}{\begin{enumerate}
\item Dans cette question on pose $MK=x$. Calculer $x$ sachant que le
volume du cube et de la pyramide réunis est $270\,cm^3$.
\item Dans cette question on donne $MK=4,5\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Dessiner en vraie grandeur le carré $ABCD$.
\item Utiliser la figure précédente pour construire en vraie grandeur
le triangle $CMA$ et justifier votre construction.
\item Démontrer que $\tan\widehat{MCA}=\dfrac{3}{4}\sqrt2$. En déduire
la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{MCA}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
§

M:texel: fichier="poitiers1996geo2" patron="base1"

%S{Problème}
TAG:7

FICHIER:poitiers1996pb.tex:
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O,\,I,\,J)$. On choisit
le centimètre pour unité sur les deux axes.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Placer les points $B(2;4)$ et $D(-4;2)$.
\item Donner, par lecture graphique, les coefficients directeurs
respectifs des droites $(OB)$ et $(OD)$.
\item Démontrer que $OB=OD=2\sqrt5$.
\item Quelle est la nature du triangle $DOB$ ?
\end{enumerate}
\item On projette orthogonalement $B$ en $A$ sur l'axe des abscisses
et en $C$ sur l'axe des ordonnées. De même, $E$ et $F$ sont les
projetés orthogonaux de $D$ respectivement sur l'axe des abscisses et
l'axe des ordonnées.
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner les coordonnées de $A$, $C$, $E$
et $F$.
\item Déterminer par le calcul une équation de la droite $(AF)$.
\item Pourquoi la droite $(EC)$ a-t-elle pour équation $y=x+4$ ?
\item En déduire que les droites $(EC)$ et $(AF)$ sont
perpendiculaires.
\end{enumerate}
\item Les droites $(EC)$ et $(AF)$ se coupent en $K$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $K$.
\item Démontrer que $K$ est le milieu de $[DB]$.
\item Quelle est la mesure exacte de l'angle $\widehat{CEO}$ ?
Justifier votre réponse.
\item En déduire que le triangle $EKA$ est rectangle et isocèle.
\end{enumerate}
\item Démontrer que les points $D$, $E$, $O$, $F$, $K$ appartiennent à
un même cercle dont on précisera les coordonnées du centre et la
mesure en centimètres du rayon.
\item On considère la rotation de centre $O$ qui transforme $I$ en
$J$. Quelle est dans cette rotation l'image du rectangle $OABC$ ?
Justifier votre réponse.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="poitiers1996pb" patron="base1"

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