%TITRE{Centres etrangers 1 -- 2000}
%VTEX{\entete}

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%S{Partie numérique}

%SS{Exercice 1}
TAG:1

FICHIER:centresetrangers12000num1.tex:
On donne les deux nombres suivants :
$$A=\sqrt{45}-2\sqrt5+\sqrt{500} \qquad B=\frac78-\frac3{15} \times \frac{25}{12}$$
\begin{enumerate}
\item Ecrire $A$ sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont deux entiers, $b$ le plus petit possible.
\item En indiquant les étapes intermédiaires de calcul, écrire $B$ sous la forme d'une fraction irréductible.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="centresetrangers12000num1" patron="base1"

%SS{Exercice 2}
TAG:2

FICHIER:centresetrangers12000num2.tex:
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\dfrac{36}{47}$ est une fraction irréductible.
\item Montrer que $\dfrac{216}{282}$ est égale à la fraction irréductible $\dfrac{36}{47}$.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="centresetrangers12000num2" patron="base1"

%SS{Exercice 3}
TAG:3

FICHIER:centresetrangers12000num3.tex:
On donne l'expression : $E=(x-2)^2-4x(x-2)$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation : $(x-2)(-3x-2)=0$.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="centresetrangers12000num3" patron="base1"

%SS{Exercice 4}
TAG:4

FICHIER:centresetrangers12000num4.tex:
Un groupe de 32 personnes décide de faire des randonnées à vélo. Afin
de mieux connaître la valeur de chacun, il est convenu de faire une
première balade de 28km, chacun roulant à son propre rythme.
\begin{enumerate}
\item Louise, qui fait partie du groupe, a mis 1h45min pour faire cette balade.
\begin{enumerate}
\item Etablir que le temps mis par Louise peut s'écrire 1,75h.
\item Calculer la vitesse moyenne de Louise exprimée en kilomètres par heure.
\end{enumerate}
\item Chaque participant ayant calculé sa vitesse moyenne, on obtient
les résultats regroupés dans le tableau ci-dessous. Compléter ce
tableau.
{\footnotesize
$$
\begin{tabular}{|m{1.5cm}|*{6}{c|}}
\hline
Vitesse moyenne $V$ (en $km.h^{-1}$)&$ 5 \leqslant  V <10$&$ 10 \leqslant  V <15$&$ 15 \leqslant  V <20$&$ 20 \leqslant  V <25$&$ 25 \leqslant  V <30$&$ 30 \leqslant  V <35$\\
\hline
Effectif&6&10&4&2&8&2\\
\hline
Fréquence (en $\%$)&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
$$
}
\item Le nombre de personnes étant trop important et les vitesses
moyennes de chacun trop différentes, on décide, pour rendre les
sorties plus agréables, de séparer les participants en deux groupes :
celui des plus rapides et celui des moins rapides. Les deux groupes
ont le même effectif.

Quelle vitesse fallait-il atteindre ou dépasser lors de la première
balade pour faire partie du groupe des plus rapides ?
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="centresetrangers12000num4" patron="base1"

%S{Partie géométrique}

%SS{Exercice 1}
TAG:5

FICHIER:centresetrangers12000.1:*:
FICHIER:centresetrangers12000geo1.tex:
\compo{1}{centresetrangers12000}{1}
{La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.

On donne les longueurs suivantes :

$BH=5,8cm$ ; $HC=4,5cm$ ; $AC=7,5cm$ ; $AH=6cm$.
}
\begin{enumerate}
\item En utilisant uniquement une règle graduée et un compas,
construire une figure en vraie grandeur (laisser les traits de
construction apparents).
\item Démontrer que le triangle $ACH$ est rectangle en $H$.
\item Calculer l'aire du triangle $ABC$.
\item Soit $M$ le milieu de $[AC]$ et $D$ le symétrique de $H$ par
rapport à $M$. Placer $M$ et $D$ sur la figure réalisée au 1.
\\Démontrer que le quadrilatère $ADCH$ est un rectangle.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="centresetrangers12000geo1" patron="base1"

%SS{Exercice 2}
TAG:6

FICHIER:centresetrangers12000.5:*:
FICHIER:centresetrangers12000geo2.tex:
\begin{enumerate}
\item Dans le plan muni du repère orthonormé $(O;I,J)$, placer les
points $A(-1;+3)$ et $B(+3;+2)$.
\item Placer le point $C$, image du point $O$ par la translation de
vecteur $\overrightarrow{AB}$.
\item Calculer la longueur $AB$.
\item Placer le point $D$ tel que
$\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}$. Aucune
explication n'est demandée.
\end{enumerate}
$$\includegraphics{centresetrangers12000.5}$$
§

M:texel: fichier="centresetrangers12000geo2" patron="base1"

%SS{Exercice 3}
TAG:7

FICHIER:centresetrangers12000.2:*:
FICHIER:centresetrangers12000geo3.tex:
\compo{2}{centresetrangers12000}{1}
{Le dessin ci-contre représente une pyramide $SABC$ de hauteur
$SA=5cm$ et dont la base est le triangle $ABC$ rectangle en $B$.

$AB=4cm$ et $BC=3cm$.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire du triangle $ABC$, puis le volume de la pyramide
$SABC$.
\item Dessiner un patron de cette pyramide.
\end{enumerate}
}
§

M:texel: fichier="centresetrangers12000geo3" patron="base1"

%S{Problème}
TAG:8

FICHIER:centresetrangers12000.3:*:
FICHIER:centresetrangers12000pbp1.tex:
\compo{3}{centresetrangers12000}{1}
{Monsieur Ferdinand souhaite construire un appentis pour ranger ses
outils. Il a réalisé le dessin ci-contre.

L'appentis est représenté par le prisme droit $ABSTCRUD$.

La base de ce prisme est le trapèze rectangle $ABST$.

le point $O$ est imaginaire.

Monsieur Ferdinand veut que le toit de l'appentis soit dans le
prolongement du toit de sa maison ($V$, $T$, $A$ et $O$ alignés).

Les droites $(TH)$ et $(EB)$ sont horizontales, donc parallèles.

Les points $E$, $O$, $B$ et $S$ sont alignés.

Les dimensions suivantes sont imposées :

$ST=3m$ ; $BC=2,5m$ ; l'angle $\widehat{VTH}$ mesure 40\degres.

Monsieur ferdinand peut choisir la profondeur $SB$ de son appentis.
}
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie A }}
\end{center}
Dans cette partie, on suppose que la profondeur $SB$ de l'appentis est égale à $1,2m$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que la mesure de $\widehat{AOB}$ est égale à 40\degres.

En déduire la mesure de l'angle $\widehat{STO}$.
\item Dessiner à l'échelle 1/50 la face $ABST$ de l'appentis ; faire figurer le point $O$ sur ce dessin.
\item On travaille à nouveau avec les dimensions réelles.
\begin{enumerate}
\item Calculer $OS$ et $OB$ (arrondi au $cm$).
\item Calculer $AB$ (si nécessaire, arrondir au $cm$).
\item Calculer une valeur approchée du volume de l'appentis.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="centresetrangers12000pbp1" patron="base1"

FICHIER:centresetrangers12000.4:*:
FICHIER:centresetrangers12000pbp2.tex:
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie B }}
\end{center}

Dans cette partie, on ne connaît pas la profondeur $SB$ de l'appentis.

Monsieur Ferdinand désire que :
\begin{itemize}
\item le volume de son appentis soit supérieur à $8m^3$ ;
\item la hauteur minimale $AB$ de son appentis soit supérieure à $1,60m$.
\end{itemize}
On désignera par $x$ la longueur de $[SB]$ exprimée en mètre. On utilisera : $OS=3,6m$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $OB$ en fonction de $x$.
\item Montrer, en utilisant le théorème de Thalès, que $AB=3-\dfrac{x}{1,2}$.
\item Résoudre l'inéquation : $3-\dfrac{x}{1,2} > 1,6$.
\item Le graphique ci-après représente le volume de l'appentis exprimé
en $m^3$ en fonction de $x$. En observant ce graphique, donner cinq
valeurs de $x$ pour lesquelles le volume de l'appentis est supérieur à
$8m^3$.
\item En utilisant les réponses obtenues aux questions 2., 3. et 4. de
cette partie B, donner une valeur de $SB$ qui corresponde aux désirs
de Monsieur Ferdinand.
\end{enumerate}
$$\includegraphics{centresetrangers12000.4}$$
§

M:texel: fichier="centresetrangers12000pbp2" patron="base1"

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