%TITRE{Limoges 1998}
%VTEX{\entete}

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%S{Partie numérique}

%SS{Exercice 1}
TAG:1
FICHIER:limoges1998num1.tex:
on donne l'expression $E=(3x-2)^2-(3x-2)(2x-3)$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer $E$ pour $x=\dfrac{2}{3}$.
\item Résoudre l'équation $(3x-2)(x+1)=0$.
\end{enumerate}
§

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%SS{Exercice 2}
TAG:2
FICHIER:limoges1998num2.tex:
On considère deux nombres $C$ et $D$ :
$$C=3\sqrt{12}+\sqrt{27}\kern1cm D=\left(2\sqrt3-3\right)^2$$
\par Ecrire $C$ sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des
entiers, $b$ étant le plus petit possible.
\par Ecrire $D$ sous la forme $p+q\sqrt3$, où $p$ et $q$ sont des
entiers.
§

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%SS{Exercice 3}
TAG:3
FICHIER:limoges1998num3.tex:
Le périmètre d'un rectangle de longueur $x$ et de largeur $y$ est
$140\,mm$. En doublant la largeur initiale et en retranchant $7\,mm$ à
la longueur initiale, on obtient un nouveau rectangle dont le
périmètre est égal à $176\,mm$.
\par Quelles sont les dimensions $x$ et $y$ du rectangle initial ?
§

M:texel: fichier="limoges1998num3" patron="base1"

%SS{Exercice 4}
TAG:4

FICHIER:limoges1998num4.tex:
Dans un collège, il y a 575 élèves. Une enquête a permis d'obtenir les
renseignements suivants :
\begin{itemize}
\item 8\% des élèves viennent au collège en voiture;
\item 92 élèves viennent à pied ;
\item $\dfrac{1}{5}$ des élèves viennent à vélo ;
\item les autres élèves viennent en autobus.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Combien d'élèves viennent en voiture ?
\item Calculer le pourcentage d'élèves qui viennent :
\begin{enumerate}
\item à vélo;
\item à pied;
\item en autobus.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="limoges1998num4" patron="base1"

%S{Partie géométrique}

%SS{Exercice 1}
TAG:5
FICHIER:limoges1998.1:*:
FICHIER:limoges1998geo1.tex:
\par\compo{1}{limoges1998}{1}{Un fabricant d'enseignes lumineuses doit
réaliser la lettre z (en tubes de verre soudés) pour la fixer sur le
haut d'une vitrine. Voici le schéma donnant la forme et certaines
dimensions de l'enseigne; de plus les droites $(AD)$ et $(BC)$ se
coupent en $O$.}
\begin{enumerate}
\item Sachant que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles,
calculer les longueurs $AB$ et $OB$ (donner les résultats sous forme
fractionnaire).
\item Démontrer que le tube $[BC]$ est perpendiculaire à la droite
$(AD)$.
\item Calculer $\sin\widehat{OCD}$. En déduire la valeur arrondie de
l'angle $\widehat{OCD}$ à un degré prés.
\end{enumerate}
§

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%SS{Exercice 2}
TAG:6
FICHIER:limoges1998.2:*:
FICHIER:limoges1998geo2.tex:
\par\compo{2}{limoges1998}{1}{L'unité de longueur est le $cm$. On ne
demande pas de reproduire le dessin sur la copie.\par On donne un
parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ tel que $AB=4$, $BC=3$, $AE=6$.
\par Un point $S$ choisi sur l'arête $[AE]$ permet de définir deux
pyramides :
\begin{itemize}
\item $SABCD$ de sommet $S$, de hauteur $SA$, de volume ${\cal V}_1$
\item $SEFGH$ de sommet $S$, de hauteur $SE$, de volume ${\cal V}_2$
\end{itemize}
}
\begin{enumerate}
\item On suppose que $AS=3$
\begin{enumerate}
\item Calculer les distances $FH$, $SH$ et $SF$ (donner les valeurs
exactes).
\item Démontrer que le triangle $FHS$ est isocèle.
\end{enumerate}
\item On suppose à présent que $AS=x$ ($0\leqslant x\leqslant 6$).
\begin{enumerate}
\item Exprimer les volumes ${\cal V}_1$ et ${\cal V}_2$ en fonction de
$x$.
\item Comment choisir $x$ pour que ${\cal V}_2\geqslant{\cal V}_1$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
§

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%S{Problème}
TAG:7
FICHIER:limoges1998pb.tex:
Dans un repère orthonormal $(O,\,I,\,J)$ tel que $OI=OJ=1\,cm$, on
considère les points :
\par $A(5;-3)$, $B(11;0)$, $C(2;3)$
\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
\item Soit $(\Delta)$ la droite d'équation $y=-2x+7$.\par Montrer que
$(\Delta)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$ et que $(\Delta)$
passe par les points $A$ et $C$.
\item Calculer les valeurs exactes des distances $AB$ et $AC$. En
déduire la nature du triangle $ABC$.
\item Soit $K$ le projeté orthogonal du point $C$ sur l'axe des
abscisses.
\par Prouver que les points $A$, $B$, $C$, $K$ sont sur un même
cercle.
\par Calculer les coordonnées du point $E$, centre du cercle. Calculer
le rayon du cercle.
\item
\begin{enumerate}
\item Construire le point $D$, image du point $C$ dans la translation
de vecteur $\vecteur{\strut AB}$.
\item Calculer les coordonnées du point $D$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ? Justifier la
réponse.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="limoges1998pb" patron="base1"

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