%TITRE{Groupe Est 1998}
%VTEX{\entete}

%S{Partie numérique}

%SS{Exercice 1}
TAG:1
FICHIER:groupeest1998num1.tex:
\begin{enumerate}
\item Calculer et mettre les résultats de $A$ et de $B$ sous forme de
fractions irréductibles : on précisera les calculs intermédiaires.
$$A=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\times\frac{5}{6}\kern1cm
B=\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right)\times\frac{5}{6}$$
\item Ecrire $C$ en notation scientifique :
$$C=\frac{5\times10^{-2}\times9}{3\times20}$$
\item Ecrire l'expression $D$ sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$
sont des entiers relatifs :
$$D=\sqrt{45}-7\sqrt5+\sqrt{20}$$
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="groupeest1998num1" patron="base1"

%SS{Exercice 2}
TAG:2

FICHIER:groupeest1998num2.tex:
On considère l'expression $E=(2x-3)^2-(2x-3)(4x-5)$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire l'expression $E$.
\item Factoriser l'expression $E$.
\item Calculer la valeur de $E$ pour $x=\sqrt5$. On donnera le
résultat sous la forme $a\sqrt5+b$, où $a$ et $b$ sont des entiers
relatifs.
\item Résoudre l'équation $(2x-3)(x-1)=0$.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="groupeest1998num2" patron="base1"

%SS{Exercice 3}
TAG:3

FICHIER:groupeest1998num3.tex:
 Lors du recensement de 1990, on a pu établir le nombre d'habitants
 des quatre départements de la région Bourgogne.
\begin{enumerate}
\item Reproduire le tableau suivant puis le compléter :
$$\begin{tabularx}{16cm}{|X|c|c|c|X|X|}
 \hline
&{\bf Nièvre}&{\bf Yonne}&{\bf Côte-d'Or}&{\bf Saône-et-Loire}&{\bf
Région Bourgogne (total)}\\
\hline
{\bf Nombre d'habitants en milliers}&239,4&&506,9&
\multicolumn{1}{c|}{572,4}&\multicolumn{1}{c|}{$1\,650$}\\
\hline
{\bf Pourcentage (arrondi à 0,01 près)}&
&20,08&&&\multicolumn{1}{c|}{100}\\
\hline
\end{tabularx}
$$
\item En 1990, $\dfrac{7}{40}$ des habitants de la Nièvre résidaient à
Nevers.
\par Combien y avait-il d'habitants à Nevers en 1990 ?
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="groupeest1998num3" patron="base1"

%S{Partie géométrique}

%SS{Exercice 1}
TAG:4

FICHIER:groupeest1998.1:*:
FICHIER:groupeest1998geo1.tex:
\par\compo{1}{groupeest1998}{1}{Un cerf-volant a la forme du
quadrilatère $PAFC$ ci-contre.
\par $PA=PC=2\,m$
\par $FA=FC=1,5\,m$
\par $\widehat{APC}=90$°.
}
\begin{enumerate}
\item Faire une représentation du quadrilatère $PAFC$ à l'échelle
$1/20$.
\item Démontrer que la droite $(PF)$ est la médiatrice du segment
$[AC]$.
\item Montrer que $AC=2\,m$.
\item Une des armatures $[KR]$ est parallèle à la droite $(FC)$ et a
pour extrémité le point $K$ tel que $PK=1,4\,m$.
\par Calculer la longueur de cette armature $[KR]$.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="groupeest1998geo1" patron="base1"

%SS{Exercice 2}
TAG:5

FICHIER:groupeest1998.2:*:
FICHIER:groupeest1998.3:*:
FICHIER:groupeest1998geo2.tex:
 La figure 1 représente le pommeau de levier de vitesse d'une
 automobile.\par Il a la forme d'une demi-boule surmontant un cône
 dont on a sectionné l'extrémité comme l'indique la figure 2. On
 appelle $({\cal C}_1)$ le cône dont la base est le cercle de rayon
 $[AH]$ et $({\cal C}_2)$ le cône dont la base est le cercle de rayon
 $[EK]$. Ces deux cercles sont situés dans des plans parallèles.\par
 On pose $SK=4\,cm$; $SH=10\,cm$; $AH=2\,cm$.
$$\begin{tabular}{cc}
\includegraphics{groupeest1998.2}&\includegraphics{groupeest1998.3}\\
Figure 1&Figure 2\\
\end{tabular}
$$
\begin{enumerate}
\item En se plaçant dans le triangle $SAH$, calculer la tangente de
l'angle $\widehat{ASH}$; en déduire une valeur approchée, à un degré
près, de l'angle $\widehat{ASH}$.
\item En se plaçant dans le triangle rectangle $ESK$ et en utilisant
la tangente de l'angle $\widehat{ESK}$, montrer que $EK=0,8\,cm$.
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer les volumes ${\cal V}_1$ et ${\cal V}_2$ des cônes
$({\cal C}_1)$ et $({\cal C}_2)$. On donnera des valeurs approchées
pour les deux calculs de volumes demandés au $cm^3$ près.
\item Calculer le volume ${\cal V}_3$ de la demi-boule; en donner une
valeur approchée au $cm^3$ près.
\item Déduire des résultats précédents une valeur approchée du volume
du pommeau.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="groupeest1998geo2" patron="base1"

%S{Problème}
TAG:6

FICHIER:groupeest1998pb.tex:
En 1997, le championnat de voile UNSS de la région Bourgogne s'est
déroulé au lac des Settons dans la Nièvre.
\par Le plan est muni d'un repère orthonormal $(S,I,J)$; une unité
représente $10\,km$ sur chaque axe. $S$ désigne le lac des Settons,
$D$ la ville de Dijon, de coordonnées $(7;2)$, $N$ la ville de Nevers,
de coordonnées $(-7;-2)$ et $C$ la ville de Corbigny (dans la Nièvre),
de coordonnées $(-3;1)$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure, en plaçant les points $S$, $D$, $N$, $C$ ainsi
que les points $A(-4;7)$ et $M(6;-9)$ représentant les villes
d'Auxerre et de Mâcon. On complétera cette figure au fur et à mesure
du problème.
\item
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées des vecteurs $\vecteur{\strut NS}$
et $\vecteur{\strut SD}$?
\item Montrer que le point $S$ est le milieu du segment $[ND]$.
\end{enumerate}
\item Montrer que $ND=2\sqrt{53}$ et en déduire la distance à vol
d'oiseau Nevers-Dijon, arrondie à la dizaine de kilomètres la plus
proche.
\item Montrer qu'une équation de la droite $(AN)$ est $y=3x+19$.
\item Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$, perpendiculaire
à la droite $(AN)$ et contenant le point $S$.
\item Vérifier, par le calcul, que la droite $(\Delta)$ passe par le
point $C$.
\item En justifiant la réponse :
\begin{enumerate}
\item Les droites $(CS)$ et $(AD)$ sont-elles parallèles ?
\item La droite $(CS)$ contient-elle le milieu du segment $[AN]$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="groupeest1998pb" patron="base1"

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