Soit un cercle de rayon 1 centré en O(0,0), A le
point de coordonnées (1,0) et P un point du cercle. On
construit O', le centre du cercle inscrit du triangle OAP
(intersection des bissectrices), on projette O' sur (OP),
on obtient le point M. Quand P parcourt le cercle,
M décrit la courbe.
En réalité, la construction décrite ci-dessus est incomplète. Elle
s'étend au cercle exinscrit de l'autre côté de [AB], comme le
montre l'animation ci-dessous.
%@AUTEUR: Maxime Chupin %@DATE: 24 septembre 2007 verbatimtex %&latex \documentclass{article} \usepackage{amsmath} \usepackage[garamond]{mathdesign} \begin{document} etex path carre; carre = (0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--cycle; vardef proj(expr P,M,N) = save H; pair H; H = whatever [M,N]; H - P = whatever * (M - N) rotated 90; H enddef; path courbe; u:=2cm; for i:=-45 upto 225: beginfig(i+46); path bcercle, pcercle,bissA; pair A,P,O,M,O'; % repere drawarrow (-4u,0)--(4u,0) withpen pencircle scaled 0.6pt;; drawarrow (0,-4u)--(0,4u) withpen pencircle scaled 0.6pt;; % le cercle constructeur bcercle:=fullcircle scaled 6u; draw bcercle withcolor blue withpen pencircle scaled 0.8pt; O:=(0,0); A:=(3u,0); % le point décrivant le cercle constructeur P:= 3u*(cosd(i*2),sind(i*2)); % Après calcul, on obtient les coordonnées du centre du cercle inscrit O':=3u*((cosd(i)*cosd(i))/(sind(i)+1),sind(i)*cosd(i)/(sind(i)+1)); % le point décrivant la courbe M:=proj(O',O,P); if i=-45: courbe := M; else: courbe := courbe--M; fi; % le cercle inscrit g := 2*abs(O'-M); fill fullcircle scaled g shifted O' % withpen pencircle scaled 0.8pt withcolor 2*(0.4,0.8,0.2); % le triangle draw A--P--O--cycle withcolor green withpen pencircle scaled 0.8pt; % les bissectrices draw 12[A,O']--12[O',A] dashed evenly withpen pencircle scaled 0.8pt withcolor 0.7 white; draw 12[O,O']--12[O',O] dashed evenly withpen pencircle scaled 0.8pt withcolor 0.7 white; % M draw O'--M dashed evenly withcolor green withpen pencircle scaled 0.8pt; % la courbe draw courbe withcolor red withpen pencircle scaled 1.2pt; % légende dotlabel.urt(btex \begin{Large} $A$ \end{Large} etex, A); dotlabel.urt(btex \begin{Large}$P$ \end{Large} etex, P); dotlabel.lrt(btex \begin{Large} $O'$ \end{Large} etex, O'); dotlabel.urt(btex \begin{Large}$M$ \end{Large} etex, M); dotlabel.llft(btex \begin{Large} $O$ \end{Large} etex, O); label.bot(btex \begin{Large} $x$ \end{Large} etex, (3.7u,0)); label.lft(btex \begin{Large} $y$ \end{Large} etex, (0,3.7u)); label.urt(btex \begin{Large} $\rho=1-\sin \frac{t}{2}$ \end{Large} etex, (1.8u,2.8u)); clip currentpicture to (-4u,-4u)--(-4u,4u)--(4u,4u)--(4u,-4u)--cycle; endfig; endfor; end.