%TITRE{Exercice 2} %PTEX{../promaxima12.tex} %VTEX{\entete} %ITEX{env=quote}{../note.tex} %VTEX{\vspace{1cm}} <[ ]> %P{La correction partielle (seule la partie §icalculatoire§ est développée) de l'exercice ci-dessous comprend quelques interactions avec §gMaxima§ et la représentation de fonctions.} %S{L'énoncé} FICHIER:enonce.tex: \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par $g(x)=-\frac12+\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}$.\\ \'Etudier la continuité et la dérivabilité de $g$; en déduire les variations de $g$. \item Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie par $f(x)=-\frac{x}2+1+\frac12\sqrt{x^2+1}$.\\ \'Etudier la fonction $f$; étudier la position de la courbe représentative de $f$, $\mathcal{C}_f$, par rapport à ses asymptotes, puis construire $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormé $(O,\mathbf{i},\mathbf{j})$ (unité: 2 cm). \item Déduire de l'étude précédente l'existence d'un intervalle $I$ de $\R$, à préciser, tel que $f$ permette de définir une bijection de $\R$ sur $I$. Vérifier que la bijection réciproque est telle que, pour tout $x$ de $I$: $$f^{-1}(x)=\frac1{4(x-1)}+1-x$$ Tracer la courbe $\mathcal{C}_{f^{-1}}$, représentant $f^{-1}$ dans $(O,\mathbf{i},\mathbf{j})$. \end{enumerate} § M:texel: f="enonce" patron="latex" taille="1.35" %S{Calculs} FICHIER:sequence.txt: = radexpand:all; - \textbf{1/} Définition de $g$, dérivée et limites: =d g(x):=-1/2+x/2/sqrt(x^2+1); = radcan(diff(g(x),x)); - La dérivée de $g$ est manifestement positive sur $\R$. = limit(g(x),x,minf); = limit(g(x),x,inf); - $g$ est donc strictement croissante sur $\R$, elle varie de $-1$ à $0$.\\ \textbf{2/} \'Etude de $f$. =d f(x):=-x/2+1+1/2*sqrt(x^2+1); = diff(f(x),x); - On constate l'égalité: $f'(x)=g(x)$, $f'$ est donc négative sur $\R$, la fonction $f$ est décroissante sur $\R$. = limit(f(x),x,minf); = limit(f(x),x,inf); - $f$ varie décroit donc de $-\infty$ à $1$. Nous recherchons maintenant une éventuelle asymptote à $C_f$ au voisinage de $-\infty$. =1 limit(f(x)/x,x,minf); =2 limit(f(x)-d§1*x,x,minf); - La droite d'équation $y=-x+1$ est asymptote vers $-\infty$. Pour déterminer la position relative de cette droite par rapport à la courbe, nous calculons la quantité $f(x)-(-x+1)$: =3 radcan(f(x)-d§1*x-d§2); - Il est assez facile de \emph{voir} que cette quantité est positive. Pour confirmer, nous allons utiliser un développement.\\ Tout d'abord on se déplace sur un voisinage à droite de $0$: =4 subst(-1/y,x,d§3); - On développe ensuite... =5 taylor(d§4,y,0,2); - Et on retourne au voisinage de $-\infty$. = subst(-1/x,y,d§5); - C'est bien positif au voisinage de $-\infty$!\\ $C_f$ admet une asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$. Compte tenu des variations de $f$, cette asymptote est située en dessous de la courbe (aucun calcul à faire).\\ \textbf{3/} \emph{Réciproque} de $f$.\\ On définit $h$ la fonction prétendante donnée par l'énoncé. =d h(x):=1/(4*(x-1))+1-x; - On compose avec $f$ à droite: =6 h(f(x)); - Et on simplifie: = radcan(d§6); - C'est le résultat attendu.\\ On compose maintenant avec $f$ à gauche (pour vérifier): =7 f(h(x)); = radcan(d§7); - $h$ est bien la réciproque de $f:\R\rightarrow ]1,+\infty[$. § M:seq2fab0: f="sequence.txt" %S{Représentation graphique} FICHIER:figure.mp: input courbes; beginfig(1); repere(10cm,10cm,4cm,4cm,1cm,1cm); trace.axes(1pt); marque.unites(1mm); draw rpoint(r_xmin,-r_xmin+1)--rpoint(r_xmax,-r_xmax+1); draw rpoint(r_xmin,1)--rpoint(r_xmax,1); vardef fx(expr t) = t enddef; vardef fy(expr t) = -t/2+1+sqrt(t**2+1)/2 enddef; path courbe; courbe = ftrace(r_xmin,r_xmax,100) en_place; draw courbe withpen pencircle scaled 1.5pt withcolor red; draw (courbe reflectedabout (origine,rpoint(1,1))) withpen pencircle scaled 1.5pt withcolor (1,0,1); decoupe.repere; etiquette.axes; etiquette.unites; label.top(btex $y=f(x)$ etex scaled 1.5,rpoint(r_xmax-2,1.2)) withcolor red; label.rt(btex $y=f^{-1}(x)$ etex scaled 1.5,rpoint(1.3,r_ymax-1)) withcolor (1,0,1); label.ulft(btex $y=-x+1$ etex, rpoint(-1.5,2.5)); label.bot(btex $y=1$ etex, rpoint(-1.5,1)); endfig; end § SH:mpost figure.mp %VTEX{\begin{center}\includegraphics{figure.1}\end{center}} M:mppdfel: fichier="figure" taille="1.1"