\documentclass[12pt,french,a4paper]{article} %\usepackage{fourier} \usepackage[garamond]{mathdesign} \usepackage{amsmath} \usepackage[french]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[dvips,a4paper,hmargin=2.5cm,vmargin=2cm,nohead]{geometry} \usepackage[dvips,pdftex]{graphicx} %\usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} \usepackage{multicol} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{fancybox} \usepackage{multicol} \usepackage{psfrag} \usepackage{pifont} \usepackage{pstricks} \usepackage{calc} \usepackage{xkeyval} \usepackage{pst-grad} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{trees} \usetikzlibrary{shadows} \usetikzlibrary{backgrounds} \usetikzlibrary{decorations.fractals,% decorations.shapes,% decorations.text,% decorations.pathmorphing,% decorations.pathreplacing,% decorations.footprints,% decorations.markings} \usetikzlibrary{arrows} \usetikzlibrary{shapes.geometric,shapes.arrows} \usepackage{tabls} %\usepackage{color} %\usepackage{xcolor} \usepackage{colortbl} \usepackage{ulem} \usepackage{epsfig} \usepackage{mathrsfs} %\usepakage[xcas]{pro-statdiv} \parindent0pt \usepackage[margin=10pt,font=small,labelfont=bf,indention=.3cm,justification=centering]{caption} \usepackage{ifpdf} \ifpdf \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \fi \usepackage{framed} % ========================== PRÉAMBULE ==================================== % ---------------- En-têtes et pieds de page \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \lhead{} \chead{} \rhead{} \lfoot{\scriptsize \textsf{ Collège S\up{t}\;Exupéry --- RABAT}} \cfoot{\scriptsize \textbf{\textsf{ Mathématiques [3e]}}} \rfoot{\scriptsize \texttt{\jobname} \quad \textsf{\setlength{\fboxsep}{1.5pt}\fbox{\thepage/8}}} \pagestyle{fancy} \input{macros_sylvain.tex} \everymath{\displaystyle} % ------------ déclaration des styles % pour les définitions, propriétés, etc... \newtheoremstyle{definition}% name {-1ex}%Space above {-1ex}%Space below {\upshape}%Body font {}%Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent) {\scshape\bfseries}%Thm head font {~--}%Punctuation after thm head { }%Space after thm head: " " = normal interword space; \newline = linebreak {}%Thm head spec (can be left empty, meaning `normal') \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{Définition} \newtheoremstyle{theorem}% {}% {}% {\itshape\mdseries\boldmath}% {}% {\scshape\bfseries}{~--}% { }% {} \theoremstyle{theorem} \newtheorem{propriete}{Propriété} \newtheorem{theoreme}{Théorème} % ----------------- ENVIRONNEMENTS ------------------------------- \definecolor{fbase}{rgb}{0.8,0.8,1} \definecolor{fgris}{gray}{0.6} \definecolor{frouge}{HTML}{DC143C} \definecolor{fvert}{rgb}{0.6,1,0.6} \definecolor{fbleu}{rgb}{0.4,0.4,1} \definecolor{fjaune}{HTML}{DCDC14} % un cadre vert pour les exercices-types \newenvironment{gbar}[1][fbleu]{% \def\FrameCommand{% {\color{fvert}\vrule width 3mm}% marge \colorbox{fvert}}% \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% {\endMakeFramed} % gbar adapté -- avec filet... \newenvironment{gbarf}[1][fbleu]{% \def\FrameCommand{% {\color{#1}\vrule width 3pt% trait vertical \color{fbase}\vrule width 1pt% espace \color{#1}\vrule width 1pt% filet \color{fbase}\vrule width 3mm}% marge \colorbox{fbase}}% \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% {\endMakeFramed} % Environnement pour les propriétés \newlength{\lmg} \newenvironment{prop}{% \begin{gbarf} \vspace{0.3cm} \setlength{\lmg}{\linewidth}\addtolength{\lmg}{-0.3cm} \begin{minipage}{\lmg}% \begin{propriete} }% {% \end{propriete} \end{minipage} \vspace{0.3cm} \end{gbarf}} % Environnement pour les définitions \newenvironment{dfn}[1][]{% \vspace{-0.5cm} \begin{framed} \begin{definition} } {% \end{definition} \end{framed} } % ============================================================================== \renewcommand{\sfdefault}{phv} % ----------------- TITRE ------------------------------- \title{Probabilités} \date{} % ========================== DÉBUT ==================================== \begin{document} % Chemins possibles pour les figures % \graphicspath{{Figures/}} \newcommand{\saisie}[1]{\colorbox{fvert}{\textbf{#1}}} \maketitle \thispagestyle{fancy} % Citation \begin{quotation} \footnotesize \hfill \begin{minipage}{10cm} \begin{flushright} La th\'eorie des hasards consiste \`a r\'eduire tous les \'ev\'enements du m\^eme genre \`a un certain nombre de cas \'egalement possibles et \`a d\'eterminer le nombre de cas favorables \`a l'\'ev\'enement dont on cherche la probabilit\'e. Le rapport de ce nombre \`a celui de tous les cas possibles est la mesure de cette probabilit\'e, qui n'est ainsi qu'une fraction dont le num\'erateur est le nombre de cas favorables, et dont le d\'enominateur est le nombre de tous les cas possibles.\par \medskip \textsc{Pierre-Simon Laplace}, \\ \textit{Th\'eorie analytique des probabilit\'es (\oldstylenums{1819})} \footnotemark{} \end{flushright} \end{minipage} \end{quotation} \footnotetext{Cité par \textsc{Jacques Harthong}, \textit{Probabilit\'es et Statistique} (Université de Strasbourg -- 2004).} %--------------------------------------------------------------------------------- % Vocabulaire %--------------------------------------------------------------------------------- \section{Vocabulaire} \subsection{Expérience aléatoire} \begin{dfn} On appelle \textbf{expérience aléatoire} une expérimentation ou un phénomène conduisant à plusieurs résultats et pour lequel on ne peut pas savoir \textit{a priori} quel résultat se produira.\\ Ces différents résultats sont appelés \textbf{issues}\footnotemark{}. \end{dfn}%\medskip \footnotetext{Ou \textbf{épreuve} (ou encore \textbf{cas}) suivant les différentes littératures ou les différents auteurs.} Donnons nous deux exemples d'expériences aléatoires que nous utiliserons plusieurs fois dans le chapitre. \begin{gbar} \vspace{-0.5cm} \paragraph{Expérience 1 \label{ex1}} \textsf{On lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure.}\\ Les issues possibles de cette expérience aléatoire sont~: pile, face. \end{gbar} \begin{gbar} \vspace{-0.5cm} \paragraph{Expérience 2 \label{ex2}} \textsf{On jette un dé et on observe la face supérieure.}\\ Les issues de cette expérience aléatoire sont les nombres~: 1~ ; 2~; 3~; 4~; 5~; 6. \end{gbar} \subsection{Événements\label{eve}} \begin{dfn} On appelle \textbf{événement} une partie de l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire.\\ L'événement est dit \textbf{élémentaire} s'il ne correspond qu'à une seule et unique issue. \end{dfn} \vfill \pagebreak \paragraph{Rédaction} Pour désigner un événement, on a l'habitude de procéder de deux manières~: \begin{itemize} \item soit par une phrase explicite qui définit clairement les issues que l'on souhaite garder.\\ Dans l'\saisie{expérience 2}, on pourrait considérer l'événement~: "\textsf{le nombre désigné par la face supérieure du dé est pair}", qui correspondrait à la partie $\{2\;;\;4\;;\;6\}$ de toutes les issues possibles de l'expérience. \item soit par les issues elles-mêmes.\\ Dans l'\saisie{expérience 1}, on pourrait considérer l'événement~: "\textsf{pile}".\\ C'est un événement \textit{élémentaire}. \end{itemize} Dans les deux cas, on peut nommer l'événement d'une lettre majuscule ("\textit{soit $A$ l'événement...}")\medskip\\ \begin{dfn} Deux événements sont dits \textbf{incompatibles} s'ils ne peuvent pas se produire en même temps. \end{dfn} \paragraph{Exemples} \begin{itemize} \item Dans l'\saisie{expérience 1}, les événements "\textsf{pile}" et "\textsf{face}" sont \textit{incompatibles}. En effet, si une face de la pièce est montrée, l'autre est cachée. \item Dans l'\saisie{expérience 2}, les événements "\textsf{la face supérieure du dé est $1$}" et "\textsf{la face supérieure du dé est $2$}" sont \textit{incompatibles}. En effet, un dé immobilisé ne peut montrer les faces $1$ et $2$ en même temps. \end{itemize} %--------------------------------------------------------------------------------- % Notion de probabilité %--------------------------------------------------------------------------------- \section{Notion de probabilité} Lorsqu'on fait une expérience aléatoire, on peut la renouveler un certain nombre de fois et calculer à chaque fois la \textit{fréquence} (au sens statistique) d'un événement particulier. Celle-ci correspond au rapport du nombre de fois où l'événement se produit au nombre de fois où l'expérience est réalisée.\\ \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[scale=0.65]{Lancer_des_2-crop} \caption{\saisie{expérience 2}~: \textbf{Variation de la fréquence d'un événement en fonction du nombre de lancers.}} \label{lancers} \end{figure} Sur un petit nombre d'expériences, cette fréquence peut beaucoup varier. Par contre, si l'on renouvelle l'expérience un très grand nombre de fois (à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur par exemple), on voit cette fréquence qui variait beaucoup se stabiliser autour d'une valeur.\\ Considérant l'\saisie{expérience 2}, la figure \ref{lancers} représente graphiquement les variations de la fréquence de l'événement "\textsf{la face supérieure du dé est 1}" en fonction du nombre de lancers.\medskip\\ Le \textit{calcul des probabilités} se propose de déterminer cette fréquence \textit{théorique} dans ce dernier cas, où l'expérience aléatoire est renouvelée un très grand nombre de fois...\\ Ce qui nous amène à considérer la définition suivante. \subsection{Définitions} \begin{dfn} La probabilité d'un événement $A$ est noté $p(A)$ et correspond au rapport~: \[p(A)=\frac{\mathrm{nombre~d'issues~favorables}}{\mathrm{nombre~d'issues~possibles}}\] \end{dfn} \paragraph{Remarques} \begin{myenumerate} \item La définition ci-dessus n'a de sens que si les résultats de l'expérience ont la même "chance" d'aboutir (\cad{} dans une situation d'\textit{équiprobabilité} -- voir définition \ref{equiprob}). Dans le cadre de l'\saisie{expérience 2}, cette formule ne serait pas valable si le dé utilisé était pipé... \item Il faut bien retenir que la probabilité d'un événement n'a rien de \textit{prédictif} ! Il n'a que le sens de sa définition, à savoir : \textit{"si on renouvelle un très grand nombre de fois l'expérience, la fréquence de l'événement considéré sera un nombre proche de la probabilité calculée"}. \end{myenumerate} \paragraph{Exemples} Cherchons les probabilités des événements considérés au paragraphe \ref{eve} précédent. \begin{itemize} \item Dans l'\saisie{expérience 1}, considérons l'événement $A$~: "\textsf{pile}".\\ C'est un événement élémentaire donc il n'y a qu'une seule issue favorable. Le nombre d'issues possible est $2$. On en conclut que $p(B)=\frac12$. \item Dans l'\saisie{expérience 2}, considérons l'événement $B$~: "\textsf{le nombre désigné par la face supérieure du dé est pair}".\\ Il y a $3$ issues favorables et $6$ issues possibles donc $p(B)=\frac36=\frac12$. \end{itemize}~\medskip\\ \begin{dfn} \textbf{Cas particuliers}\\ Considérons un évènement $A$. \begin{itemize} \item[\textbullet] Lorsque $p(A)=0$ alors l'événement est dit \textbf{impossible}. \item[\textbullet] Lorsque $p(A)=1$ alors l'événement est dit \textbf{certain}. \end{itemize} \end{dfn} \paragraph{Exemples} \begin{itemize} \item Dans l'\saisie{expérience 1}, considérons l'événement $Z$~: "\textsf{la pièce se positionne sur la tranche}". L'issue "\textsf{tranche}" ne fait pas partie des issues possibles donc $p(Z)=0$ et l'événement $Z$ est \textit{impossible}. \item Dans l'\saisie{expérience 2}, considérons l'événement $Y$~: "\textsf{la face supérieure du dé est un nombre inférieur ou égal à 6}". Il est clair que les issues possibles sont toutes des issues favorables à l'événement $Y$. On a donc $p(Y)=1$ et l'événement $Y$ est \textit{certain}. \end{itemize}~\medskip\\ \pagebreak \begin{dfn} \label{equiprob} \textbf{Équiprobabilité}.\\ Lorsque les événements élémentaires d'une même expérience aléatoire ont des probabilités égales on dit alors qu'il y a \textbf{équiprobabilité}. \end{dfn} \paragraph{Exemples} \begin{itemize} \item Dans l'\saisie{expérience 1}, les événements "\textsf{pile}" et "\textsf{face}" ont tous deux des probabilités égales à $\frac12$. Ils sont donc \textit{équiprobables}. \item Dans l'\saisie{expérience 2}, les événements élémentaires "\textsf{la face supérieure du dé est le nombre $n$}" où $n$ est un nombre entier compris entre $1$ et $6$ ont tous des probabilités égales à $\frac16$.\\ Ils sont donc \textit{équiprobables}. \end{itemize} \subsection{Propriétés} \begin{prop} Si $A$ est un événement d'une expérience aléatoire, on a \[0\leqslant p(A)\leqslant1\] \end{prop} En effet, il est clair que dans le rapport $\frac{\mathrm{nombre~d'issues~favorables}}{\mathrm{nombre~d'issues~possibles}}$, on a\\ $0\leqslant\mathrm{nombre~d'issues~favorables}\leqslant\mathrm{nombre~d'issues~possibles}$. \begin{prop} La somme de tous les événements élémentaires constitués à partir des issues d'une expérience aléatoire est égale à $1$. \end{prop} Considérons les expériences du paragraphe \ref{ex1}. \begin{itemize} \item Dans l'\saisie{expérience 1}, l'événement $A$~: "\textsf{pile}" et l'événement $B$~: "\textsf{face}" constituent les seuls événements élémentaires (les seules issues étant \textsf{pile} et \textsf{face}).\\ On a $p(A)=\frac12$ et $p(B)=\frac12$. On a donc bien $p(A)+p(B)=\frac12+\frac12=1$. \end{itemize} \begin{prop} \textbf{Événement contraire.}\medskip\\ Soit $A$ un événement. On note $\overline{A}$ l'événement contraire de $A$. On a~: \[p(A)+p(\overline{A})=1\] \end{prop} Dans l'\saisie{expérience 2}, considérons l'événement $B$~: "\textsf{la face supérieure du dé est 1}". L'événement contraire $\overline{B}$ de $B$ est "\textsf{la face supérieure du dé est différente de 1}".\\ On a $p(B)=\frac16$. Donc $p(\overline{B})=1-p(B)=1-\frac16=\frac56$. Il y a bien $5$ issues favorables (tous les nombres 2~; 3~; 4~; 5~; 6 conviennent) parmi $6$ issues possibles. \pagebreak \begin{prop} \textbf{Événements incompatibles}.\\ On considère deux événements $A$ et $B$ \textbf{incompatibles}.\\ Soit $C$ l'événement "\textsf{$A$ ou $B$ se produit}". On a alors \[p(C)=p(A)+p(B)\] \end{prop} Dans l'\saisie{expérience 2}, considérons l'événement $A$~: "\textsf{la face supérieure du dé est $1$ ou $6$}".\\ La probabilité de l'événement~: "\textsf{la face supérieure du dé est $1$}" vaut $\frac16$.\\ La probabilité de l'événement~: "\textsf{la face supérieure du dé est $6$}" vaut $\frac16$ aussi.\\ Les deux événements ci-dessus étant incompatibles, on en déduit que $p(A)=\frac16+\frac16=\frac26=\frac13$. %--------------------------------------------------------------------------------- % Arbres %--------------------------------------------------------------------------------- \section{Arbres} \subsection{Un support visuel} On a l'habitude de visualiser toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire à l'aide d'un arbre, appelé \textbf{arbre des possibles}. \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \begin{multicols}{2} \begin{center} \saisie{Expérience 1} \end{center} On note $P$ et $F$ les issues "\textsf{pile}" et "\textsf{face}" respectivement.\\ On construit alors l'arbre suivant~: \begin{center} %\includegraphics[scale=1]{arbre.1} \begin{tikzpicture}[grow=right, scale=0.8] \tikzstyle{level 1}=[level distance=3.5cm, sibling distance=-2.5cm] \tikzstyle{proba} = [rectangle,fill=white,pos=0.7,inner sep=0pt] \tikzstyle{issue} = [circle,fill=black!20,inner sep=2pt,draw=none,circular drop shadow] \node(arbre01) at (0,0) {} child{node[issue] {$P$}} child{node[issue] {$F$}}; \end{tikzpicture} \end{center} \columnbreak \begin{center} \saisie{Expérience 2} \end{center} Les issues possibles sont 1~ ; 2~; 3~; 4~; 5~; 6.\\ On construit alors l'arbre suivant~: \begin{center} \begin{tikzpicture}[grow=right, scale=0.6] \tikzstyle{level 1}=[level distance=4.5cm, sibling distance=-1.2cm] \tikzstyle{proba} = [rectangle,fill=white,pos=0.7,inner sep=0pt] \tikzstyle{issue} = [circle,fill=black!20,inner sep=2pt,draw=none,circular drop shadow] \node(arbre03) at (0,0) {} child{node[issue] {\footnotesize 1}} child{node[issue] {\footnotesize 2}} child{node[issue] {\footnotesize 3}} child{node[issue] {\footnotesize 4}} child{node[issue] {\footnotesize 5}} child{node[issue] {\footnotesize 6}}; \end{tikzpicture} %\includegraphics[scale=1]{arbre.2} \end{center} \end{multicols} On peut aussi indiquer sur chaque branche de l'arbre les probabilités des événements élémentaires correspondants à chacune des issues possibles~: l'arbre est alors un \textbf{arbre pondéré}. \begin{multicols}{2} \begin{center} \saisie{Expérience 1}\medskip\\ %\includegraphics[scale=1]{arbre.3} \begin{tikzpicture}[grow=right, scale=0.8] \tikzstyle{level 1}=[level distance=3.5cm, sibling distance=-2.5cm] \tikzstyle{proba} = [rectangle,fill=white,pos=0.7,inner sep=0pt] \tikzstyle{issue} = [circle,fill=black!20,inner sep=2pt,draw=none,circular drop shadow] \node(arbre03) at (0,0) {} child{node[issue] {$P$} edge from parent node[above,pos=0.6] {\scriptsize$\frac12$}} child{node[issue] {$F$} edge from parent node[below,pos=0.6] {\scriptsize$\frac12$}}; \end{tikzpicture} \end{center} \columnbreak \begin{center} \saisie{Expérience 2}\medskip\\ \begin{tikzpicture}[grow=right, scale=0.6] \tikzstyle{level 1}=[level distance=4.5cm, sibling distance=-1.2cm] \tikzstyle{proba} = [rectangle,fill=white,pos=0.7,inner sep=0pt] \tikzstyle{issue} = [circle,fill=black!20,inner sep=2pt,draw=none,circular drop shadow] \node(arbre03) at (0,0) {} child{node[issue] {\footnotesize 1} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/6$}} child{node[issue] {\footnotesize 2} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/6$}} child{node[issue] {\footnotesize 3} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/6$}} child{node[issue] {\footnotesize 4} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/6$}} child{node[issue] {\footnotesize 5} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/6$}} child{node[issue] {\footnotesize 6} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/6$}}; \end{tikzpicture} \end{center} \end{multicols} \pagebreak \subsection{Exemple d'utilisation} %\begin{tikzpicture} %\foreach \x in {1,...,4} % \foreach \y in {1,...,3} % \pgfmathrandominteger{\a}{1}{5} % \filldraw[fill=black!20] (\x,\y) node {\a} circle (0.5cm); %\draw[line width=2bp,line cap=round,xshift=0.5cm,yshift=0.5cm,rounded corners=2pt] % (0,4) -- (0,0) -- (4,0) -- (4,4); %\end{tikzpicture} \begin{figure}[h!] \begin{minipage}[b]{.46\linewidth} \centering \begin{tikzpicture} \filldraw[fill=black!20] (1,1) node {2} circle (0.5cm); \filldraw[fill=black!20] (2,1) node {3} circle (0.5cm); \filldraw[fill=black!20] (3,1) node {4} circle (0.5cm); \filldraw[fill=black!20] (4,1) node {1} circle (0.5cm); \filldraw[fill=black!20] (1,2) node {3} circle (0.5cm); \filldraw[fill=black!20] (2,2) node {1} circle (0.5cm); \filldraw[fill=black!20] (3,2) node {4} circle (0.5cm); \filldraw[fill=black!20] (4,2) node {5} circle (0.5cm); \filldraw[fill=black!20] (1,3) node {1} circle (0.5cm); \filldraw[fill=black!20] (2,3) node {3} circle (0.5cm); \filldraw[fill=black!20] (3,3) node {2} circle (0.5cm); \filldraw[fill=black!20] (4,3) node {1} circle (0.5cm); \draw[line width=2bp,line cap=round,xshift=0.5cm,yshift=0.5cm,rounded corners=2pt] (0,4) -- (0,0) -- (4,0) -- (4,4); \end{tikzpicture} \caption{\textbf{Urne} contenant 12 boules numérotées de $1$ à $5$ \label{urne}} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[b]{.46\linewidth} \centering \tikzstyle{level 1}=[level distance=3.5cm, sibling distance=-1.2cm] \tikzstyle{level 2}=[level distance=3.5cm, sibling distance=-1cm] \tikzstyle{proba} = [rectangle,fill=white,pos=0.7,inner sep=0pt] \tikzstyle{issue} = [circle,fill=black!20,inner sep=2pt,draw=none,circular drop shadow] \begin{tikzpicture} [grow=right,scale=0.8] \node at (0,0) {} child{node[issue] {\footnotesize 1} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/3$}} child{node[issue] {\footnotesize 2} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/6$}} child{node[issue] {\footnotesize 3} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/4$}} child{node[issue] {\footnotesize 4} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/6$}} child{node[issue] {\footnotesize 5} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/12$}}; \end{tikzpicture} \caption{\textbf{Arbre pondéré} de l'expérience~: "\textsf{on tire une boule et on lit son numéro}" \label{arbre1}} \end{minipage} \end{figure} On se donne une urne (figure \ref{urne}) dans laquelle sont placées $12$ boules indiscernables au touché et toutes marquées d'un numéro de $1$ à $5$. \begin{gbar} Considérons l'événement $A$~:"\textsf{la boule tirée ne porte pas le numéro 1}" \end{gbar} \begin{figure}[h!] \centering \tikzstyle{level 1}=[level distance=3.5cm, sibling distance=-1.5cm] \tikzstyle{level 2}=[level distance=3.5cm, sibling distance=-1cm] \tikzstyle{proba} = [rectangle,fill=white,pos=0.7,inner sep=0pt] \tikzstyle{issue} = [circle,fill=black!20,inner sep=2pt,draw=none,circular drop shadow] \begin{tikzpicture} [grow=right, scale=0.8] \node(arbre1) at (0,0) {} child{node[issue] {\footnotesize 1} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/3$}} child{node[issue](A) {\footnotesize 2} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/6$}} child{node[issue] {\footnotesize 3} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/4$}} child{node[issue] {\footnotesize 4} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/6$}} child{node[issue](B) {\footnotesize 5} edge from parent node[proba] {\scriptsize$1/12$}}; \draw [line width=1bp,decorate,decoration={brace,raise=1cm}] (A)+(0,0.3) -- node[ellipse, draw=none, fill=black!20,below,xshift=2.2cm, drop shadow,inner sep=2pt]{\footnotesize Non 1} (B) -- ++(0,-1.3); \tikzstyle{level 1}=[level distance=3.5cm, sibling distance=-2.5cm] \node(arbre2) at (13,0) {} child{node[anchor=west,issue] {1} edge from parent node[proba] {\scriptsize$\frac13$}} child{node[ellipse,anchor=west,fill=black!20,,draw=none,drop shadow,inner sep=2pt] {Non 1} edge from parent node[proba] {\scriptsize$\frac23$}}; \path (arbre1) -- node[pos=0.8,single arrow, draw=none, fill=black!20] {correspond à} (arbre2); \draw (0,-4) rectangle (8,4); \draw (13,-2.1) rectangle (19.3,2.1); \end{tikzpicture} \caption{\textbf{Utilisation d'un arbre pondéré} \label{arbre3}} \end{figure} Additionnons les probabilités des différentes issues autres que 1 (figure \ref{arbre3})~: \[\frac16+\frac14+\frac16+\frac1{12}=\frac8{12}=\frac23\].\\ On a donc $P(A)=\frac23$ qui est la probabilité que la boule tirée ne porte pas le \no{1}. \pagebreak %--------------------------------------------------------------------------------- % Expérience en deux étapes %--------------------------------------------------------------------------------- \section{Expérience en deux étapes} \begin{figure}[h] \begin{minipage}[b]{.46\linewidth} \centering \begin{tikzpicture} \filldraw[fill=red!20,draw=none] (0,0) -- (90:2cm) arc (90:180:2cm) -- cycle; \filldraw[fill=blue!40,draw=blue!40] (0,0) -- (180:2cm) arc (180:360:2cm) -- cycle; \filldraw[fill=blue!40,draw=blue!40] (0,0) -- (0:2cm) arc (0:90:2cm) -- cycle; \draw[line width=1.2bp] (0,0) circle (2cm); \draw[-latex',line width=5pt, line cap=round] (0,0) -- (203:1.5cm); \node at (135:1cm) {\Large $R$}; \node at (315:1cm) {\Large $B$}; \end{tikzpicture} \caption{\textbf{Roue \no{1}} \label{roue1}} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}[b]{.46\linewidth} \centering \begin{tikzpicture} \filldraw[fill=black!20,line width=1.2bp] (0,0) circle (2cm); \foreach \x in {0,60,...,360} \draw[line width=1.2bp] (0,0) -- (\x:2cm); \draw[-latex',line width=5pt, line cap=round] (0,0) -- (48:1.5cm); \node at (30:1.2cm) {\textbf{\Large 2}}; \node at (90:1.2cm) {\textbf{\Large 1}}; \node at (150:1.2cm) {\textbf{\Large 2}}; \node at (210:1.2cm) {\textbf{\Large 3}}; \node at (270:1.2cm) {\textbf{\Large 2}}; \node at (330:1.2cm) {\textbf{\Large 3}}; \end{tikzpicture} \caption{\textbf{Roue \no{2}} \label{roue2}} \end{minipage} \end{figure} On considère l'expérience suivante, qui se déroule en deux étapes~: \begin{description} \item[Étape 1 --] D'abord, on fait tourner une première roue de loterie (voir figure \ref{roue1})~: on obtient la couleur "\textsf{rouge}", notée $R$, avec une probabilité de $\frac14$ et la couleur "\textsf{bleu}", notée $B$ avec une probabilité de $\frac34$. \item[Étape 2 --] Ensuite, on fait tourner une deuxième roue de loterie (voir figure \ref{roue2})~: on obtient le numéro 1 avec la probabilité $\frac16$, le numéro 2 avec la probabilité $\frac12$ et le numéro 3 avec la probabilité $\frac13$. \end{description} \tikzstyle{level 1}=[level distance=3.5cm, sibling distance=-4.5cm] \tikzstyle{level 2}=[level distance=3.5cm, sibling distance=-1.5cm] \tikzstyle{proba} = [rectangle,fill=white,pos=0.7,inner sep=0pt] \tikzstyle{issue} = [circle,fill=black!20,,draw=none,circular drop shadow] \begin{figure}[h] \centering \begin{tikzpicture} [grow=right] \node at (-1,0){} child{ node[issue]{R} child{node[issue](R1){1} edge from parent node[proba] {\scriptsize$\frac16$}} child{node[issue](R2){2} edge from parent node[proba] {\scriptsize $\frac12$}} child{node[issue](R3){3} edge from parent node[proba] {\scriptsize $\frac13$}} edge from parent node[proba] {\scriptsize $\frac14$} } child{ node[issue](bouleB){B} child{node[issue](B1){1} edge from parent node[proba] {\scriptsize $\frac16$}} child{node[issue](B2){2} edge from parent node[proba] {\scriptsize $\frac12$}} child{node[issue](B3){3} edge from parent node[proba] {\scriptsize $\frac13$}} edge from parent node[proba] {\scriptsize $\frac34$} }; \node[right=2cm] at (R1) {\footnotesize $P(R,1)=\frac14\times\frac16=\frac1{24}$}; \node[right=2cm] at (R3) {\footnotesize $P(R,3)=\frac14\times\frac13=\frac1{12}$}; \node[right=2cm] at (R2) {\footnotesize $P(R,2)=\frac14\times\frac12=\frac1{8}$}; \node[right=2cm, rectangle, fill=red!20] at (B1) {\footnotesize $P(B,1)=\frac34\times\frac16=\frac1{8}$}; \node[right=2cm] at (B3) {\footnotesize $P(B,3)=\frac34\times\frac13=\frac1{4}$}; \node[right=2cm] at (B2) {\footnotesize $P(B,2)=\frac34\times\frac12=\frac3{8}$}; \begin{pgfonlayer}{background} \draw[draw=red!20,line width=10pt,line cap=round] (-1,0) -- (bouleB) -- (B1) -- +(2,0); \end{pgfonlayer} \end{tikzpicture} \caption{\textbf{Arbre pondéré de l'expérience à deux épreuves} (avec les calculs de probabilités pour chaque branche) \label{arbre}} \end{figure} Un arbre pondéré (voir figure \ref{arbre}) permet~: \begin{itemize} \item de déterminer tous les issues possibles à la fin de ces deux étapes.\\ Les issues possibles peuvent être notées ainsi : $(R,1)$, $(R,2)$, $(R,3)$, $(B,1)$, $(B,2)$, $(B,3)$. Chacune de ces issues est représentée dans l'arbre de la figure \ref{arbre} par la succession de deux branches. \item de calculer la probabilité d'obtenir chacune des six issues possibles à la fin des deux étapes. \end{itemize} \begin{gbar} Comment évaluer la probabilité de l'issue $(B,1)$ par exemple~? \end{gbar} On repère le chemin menant à l'issue $(B,1)$ (surligné sur la figure \ref{arbre})~: sur la première branche, il y a une probabilité de $\frac34$ et sur la deuxième, une probabilité de $\frac16$. Donc, on en déduit que~: \[P(B,1)=\frac34\times\frac16=\frac3{4\times6}=\frac18\] On a utilisé la propriété suivante (admise). \begin{prop} Dans un arbre, la probabilité de l'issue auquel conduit un chemin est égal au \textbf{produit} des probabilités rencontrées le long de ce chemin. \end{prop} \end{document}