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Source de CorrBac.tex

Fichier TeX
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\usepackage[xcas]{tablor}

% des couleurs

\newrgbcolor{0.9white}{.9 .9 .9}
\definecolor{0.8white}{rgb}{.8,.8,.8}
\definecolor{0.2white}{rgb}{.2,.2,.2}
\definecolor{0.4white}{rgb}{.4,.4,.4}
\definecolor{0.6white}{rgb}{.6,.6,.6}







% style des sections
\usepackage{sectsty}


\sectionfont{\LARGE \sffamily\color{0.2white}}
\subsectionfont{\sffamily\color{0.4white}}
\renewcommand\thesection{\Roman{section} -}
\renewcommand\thesubsection{\alph{subsection}. }
\subsubsectionfont{\sffamily\color{0.6white}}
\renewcommand\thesubsubsection{\roman{subsection}. }


% quelques macros

%%% un ; avec un peu d'espace autour pour les intervalles
\newcommand{\pv}{\ensuremath{\: ; \,}}

\newcommand{\ie}{\leqslant} % inferieur ou egal
\newcommand{\se}{\geqslant}
\newcommand{\Ouv}[1][O]{\DecalV[.8pt]{#1;\ve{u},\ve{v}}\xspace}
\newcommand\N{\mathbb{N}}
\newcommand\R{\mathbb{R}}
\newcommand{\DecalV}[2][2pt]{%
	\raisebox{#1}{%
		$\left(\raisebox{-#1}{\ensuremath{#2}}\right)$}}



\DeclareRobustCommand{\ve}[1]{%
\overrightarrow{\rule{0em}{1.8ex} #1 \rule{0.15em}{0ex}}}




\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}

\pagestyle{empty}
\parindent0pt


%% commandes pgiac

\newcommand{\MarqueCommandeGiac}[1]{%
    \color[HTML]{8B7500}$\rightarrow$}
\newcommand{\MarqueLaTeXGiac}{%
    \color[HTML]{1E90FF}}
\newcommand{\InscriptionFigureGiac}[1]{%
    \begin{center}
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{#1}
    \end{center}}


% titre

\title{\LaTeX{}, \texttt{XCAS},\texttt{  pgiac} et \texttt{tablor}~:\\ comment  corriger un exercice
  de Bac sans effort...}



\begin{document}

\maketitle



\section{Pondichery avril 2008}

{\color{0.6white}
 
\footnotesize
\noindent \textbf{Partie A : un mod\`ele discret}\\
Soit $u_{n}$ le nombre, exprim\'e en millions, de foyers poss\'edant un t\'el\'eviseur \`a \'ecran plat l'ann\'ee $n$.\\
 On pose $n =0$ en 2005, $u_{0} = 1$  et, pour tout $n \geqslant 0,$
 \[u_{n+1} = \dfrac{1}{10}u_{n}\left(20 - u_{n } \right).\]
\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction d\'efinie sur [0 ; 20] par
\[ f(x)= \dfrac{1}{10}x(20 - x ).\]
	\begin{enumerate}
		\item  \'Etudier les variations de $f$ sur [0 ; 20].
		\item En d\'eduire que pour tout $x \in [0~;~20],~ f(x) \in [0~;~10]$.
		\item On donne en \textbf{annexe} la courbe repr\'esentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthonormal.\\
Repr\'esenter, sur l'axe des abscisses,  \`a l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$.
 	\end{enumerate}
\item Montrer par r\'ecurrence que pour tout $n \in  \N,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 	10$.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente et d\'eterminer sa limite.
	\end{enumerate}
\medskip
\noindent \textbf{Partie B : un mod\`ele continu}\\
Soit $g(x)$ le nombre, exprim\'e en millions, de tels foyers l'ann\'ee $x$.\\
 On pose $x = 0$ en 2005,  $g(0) = 1$
et $g$ est une solution, qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$, de l'\'equation diff\'erentielle
\[(\text{E})\quad ;~~y' = \dfrac{1}{20}y(10 - y)\]
\begin{enumerate}
\item On consid\`ere une fonction $y$ qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$ et on pose $z = \dfrac{1}{y}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $y$ est solution de (E) si et seulement si $z$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle :
		\[(\text{E}_{1})\quad  : ~~z' = - \dfrac{1}{2}z + \dfrac{1}{20}.\]
		\item  R\'esoudre l'\'equation (E$_{1}$) et en d\'eduire les solutions de l'\'equation (E).
		\end{enumerate}
\item Montrer que $g$ est d\'efinie sur $[0~; ~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{10}{9\text{e}^{-\frac{1}{2}x} + 1}$.
\item \'Etudier les variations de $g$ sur $[0~; ~+\infty[$.
\item Calculer la limite de $g$ en $+ \infty$ et interpr\'eter le r\'esultat.
\item En quelle ann\'ee le nombre de foyers poss\'edant un tel \'equipement d\'epassera-t-il $5$~millions ?
 \end{enumerate}
}
\normalsize

\noindent \textbf{Partie A : un mod\`ele discret}\\

\begin{enumerate}
\item On définit $f$

%@Commande-1
{\MarqueCommandeGiac{1} \verb| f:=x->(20-x)*x/10;|}
\begin{verbatim}
    		(x)->(20-x)*x/10
\end{verbatim}

On calcule sa dérivée :

%@Commande-2
{\MarqueCommandeGiac{2} \verb| simplifier(deriver(f(x)));|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ -\left(\frac{1}{5} \times x\right)+2 \]}}

On étudie son signe~:

%@Commande-3
{\MarqueCommandeGiac{3} \verb| resoudre(deriver(f(x))>0)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [x<10] \]}}


On calcule les valeurs particulières~:

%@Commande-4
{\MarqueCommandeGiac{4} \verb| f(0),f(10),f(20);|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 0,10,0 \]}}


\begin{enumerate}
\item On dresse son tableau de variation

  \begin{center}
    \begin{TV}
      TV([0,20],[],"f","x",(20-x)*x/10,1,\tv);
\end{TV}
\end{center}

\item Par lecture du tableau de variations on obtient que sur $[0\pv 20]$ le minimum de $f$ est 0 et
  le maximum 10.

\item 

%@Commande-5
{\MarqueCommandeGiac{5} \verb| graphe_suite(f(x),x=[1,-3,23],5);|}
\InscriptionFigureGiac{CorrBac-01.eps}    


\item On a  $0\ie u_0\ie u_1\ie 10$. On peut  donc supposer qu'il existe au  moins un entier naturel
  $k$ tel que \[0\ie u_k\ie u_{k+1}\ie 10\]
 Or $f$ est croissante sur $[0\pv 10]$ donc $f(0)\ie f(u_k)\ie f(u_{k+1})\ie f(10)$ et donc

\[1\ie u_{k+1}\ie u_{k+2}\ie 10\]

On a donc prouvé la propriété par récurrence.

\item La  suite est croissante  et majorée donc  convergente. La suite  est définie par  la relation
  $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ continue  sur et à valeur dans $[0\pv 10]$ :  elle converge donc vers un
  point fixe de $f$.

%@Commande-6
{\MarqueCommandeGiac{6} \verb| resoudre(f(x)=x)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [10,0] \]}}

Or $u_0=1$ donc $u_n\se  1$ pour tout entier naturel $n$~:~la limite ne peut  pas être 0. C'est donc
10.



 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie B : un mod\`ele continu}\\

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item
    $z'=\left(\frac{1}{y}\right)'=-\frac{y'}{y^2}=-\frac{1}{20}\frac{1}{y}(10-y)=-\left(\frac{1}{2y}-\frac{1}{20}\right)=-\frac{1}{2}z+\frac{1}{20}$


\item 
%@Commande-7
{\MarqueCommandeGiac{7} \verb| g:=1/desolve([z'=-z/2+1/20,z(0)=1],z)[0]|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\frac{(9+e^{\frac{1}{2} \times x})\frac{1}{10}}{e^{\frac{1}{2} \times x}}\right)^{-1} \]}}

%@Commande-8
{\MarqueCommandeGiac{8} \verb| g:=unapply(g,x)|}
\begin{verbatim}
    		(x)->1/((9+exp(1/2*x))*1/10/exp(1/2*x))
\end{verbatim}

%@Commande-9
{\MarqueCommandeGiac{9} \verb| simplifier(g(x))|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{10e^{\frac{1}{2} \times x}}{(e^{\frac{1}{2} \times x}+9)} \]}}

  \end{enumerate}

\item 

%@Commande-10
{\MarqueCommandeGiac{10} \verb| simplifier(g(x)-10/(9*exp(-x/2)+1))|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 0 \]}}


\item 

%@Commande-11
{\MarqueCommandeGiac{11} \verb| d:=factoriser(deriver(g(x)))|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{45e^{\frac{1}{2} \times x}}{\left(e^{\frac{1}{2} \times x}+9\right)^{2}} \]}}


%@Commande-12
{\MarqueCommandeGiac{12} \verb| g(0)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 1 \]}}

\item 

%@Commande-13
{\MarqueCommandeGiac{13} \verb| limite(g(x),x=+infinity)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 10 \]}}

$\mathcal{C}_g$ admet donc une asymptote d'équation $y=10$ au voisinage de $+\infty$.

\begin{center}
  \begin{TV}
    TV([0,+infinity],[],"g","x",10/(9*exp(-x/2)+1),1,\tv)
\end{TV}
\end{center}


\item 

%@Commande-14
{\MarqueCommandeGiac{14} \verb| resoudre(g(x)>=5)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [x\geq (2\ln\left(9\right))] \]}}

%@Commande-15
{\MarqueCommandeGiac{15} \verb| evalf(resoudre(g(x)>=5)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [x\geq      4.394449] \]}}

\end{enumerate}





\section{Amérique du Sud novembre 2007}


{\color{0.6white}

{\footnotesize

Le plan $\mathcal{P}$ est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal direct \Ouv.\\
\emph{On fera une figure qui sera compl\'et\'ee au fur et \`a mesure.}\\
Soit $f$ l'application qui \`a tout point $M$ de P d'affixe non nulle $z$ associe le point $M'$ d'affixe :
\[ z'= \dfrac{1}{2}\left(z + \dfrac{1}{z}\right).\]
\begin{enumerate}
\item Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - \text{i}$. D\'eterminer l'affixe du point E$'$, image de E par $f$
\item  D\'eterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M'= M$.
\item  On note A et B les points d'affixes respectives $1$ et $-1$.\\
Soit $M$ un point distinct des points O, A et B.

\item  Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ diff\'erent de $0,~ 1$ et $-1$, on a :
\[\dfrac{z' + 1}{z' - 1} = \left(\dfrac{z + 1}{z - 1} \right)^2.\]

\end{enumerate}

 


}
}




\begin{enumerate}
\item 
%@Commande-16
{\MarqueCommandeGiac{16} \verb| complex_variables:=1|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 1 \]}}
 
%@Commande-17
{\MarqueCommandeGiac{17} \verb| f(z):=(z+1/z)/2 |}
\begin{verbatim}
    		(z)->(z+1/z)/2
\end{verbatim}

%@Commande-18
{\MarqueCommandeGiac{18} \verb| evalc(f(-i))|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 0 \]}}

\item 
%@Commande-19
{\MarqueCommandeGiac{19} \verb| resoudre(f(z)=z,z)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [-1,1] \]}}


\item 

%@Commande-20
{\MarqueCommandeGiac{20} \verb| factoriser(simplifier((f(z)+1)/(f(z)-1)))|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{\left(z+1\right)^{2}}{\left(z-1\right)^{2}} \]}}

\end{enumerate}


\section{Polynésie septembre 2007}

{\color{0.6white}
{\footnotesize

\noindent \textbf{Partie A : \'Etude d'une fonction auxiliaire}
Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
 \[g(x)= 2\text{e}^x - x - 2.\]
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la limite de $g$ en $-\infty$ et la limite de $g$ en $+\infty$.
\item  \'Etudier le sens de variation de $g$, puis dresser son tableau de variations.
\item  On admet que l'\'equation $g(x)= 0$ a exactement deux solutions r\'eelles.
\begin{enumerate}
\item  V\'erifier que $0$ est l'une de ces solutions.
\item  L'autre solution est appel\'ee $\alpha$. Montrer que $-1,6 \leqslant  \alpha \leqslant  -1,5$.
\end{enumerate}
\item  D\'eterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs du r\'eel $x$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
 
\noindent \textbf{Partie B : \'Etude de la fonction principale}\\
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
 \[f(x) = \text{e}^{2x} - (x + 1)\text{e}^x.\]
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et la limite de $f$ en $+\infty$.
\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.\\
\'Etudier le sens de variation de $f$.
\item  Montrer que $f(\alpha) = - \dfrac{\alpha^2 + 2\alpha}{4}$, o\`u $\alpha$ est d\'efini dans la partie B.\\
En d\'eduire un encadrement de $f(\alpha)$. (On rappelle que $-1,6 \leqslant  \alpha \leqslant  -1,5$.)
\item  \'Etablir le tableau de variations de $f$.
\item  Tracer la courbe ($\mathcal{C}$), repr\'esentative de $f$ dans le plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal (unit\'e graphique 2 cm).
\end{enumerate}
 

}}


\noindent \textbf{Partie A : \'Etude d'une fonction auxiliaire}

\begin{enumerate}
\item 
%@Commande-21
{\MarqueCommandeGiac{21} \verb| g(x):=2*exp(x)-x-2|}
\begin{verbatim}
    		(x)->2*exp(x)-x-2
\end{verbatim}

%@Commande-22
{\MarqueCommandeGiac{22} \verb| limite(g(x),x=+infinity); limite(g(x),x=-infinity); |}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ +\infty ,+\infty  \]}}

\item 

%@Commande-23
{\MarqueCommandeGiac{23} \verb| deriver(g(x))|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 2e^{x}-1 \]}}

%@Commande-24
{\MarqueCommandeGiac{24} \verb| resoudre(deriver(g(x))>0)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [x>(\ln\left(\frac{1}{2}\right))] \]}}

\begin{center}
  \begin{TV}
    TV([-infinity,+infinity],[],"g","x",2*exp(x)-x-2,1,\tv)
    \end{TV}
  \end{center}

\item
  \begin{enumerate}
  \item 
%@Commande-25
{\MarqueCommandeGiac{25} \verb| g(0)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 0 \]}}

%@Commande-26
{\MarqueCommandeGiac{26} \verb| fsolve(g(x)=0,x=-2)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[     -1.593624 \]}}

\begin{center}
  \begin{TVI}
    TVI([-infinity,+infinity],[],"g","x",2*exp(x)-x-2,0,0,\tv)
    \end{TVI}
  \end{center}




  \end{enumerate}


\end{enumerate}



\noindent \textbf{Partie B : \'Etude de la fonction principale}\\


\begin{enumerate}
\item 
%@Commande-27
{\MarqueCommandeGiac{27} \verb| f(x):=exp(2*x)-(x+1)*exp(x)|}
\begin{verbatim}
    		(x)->exp(2*x)-(x+1)*exp(x)
\end{verbatim}
 
%@Commande-28
{\MarqueCommandeGiac{28} \verb| limite(f(x),x=+infinity); limite(f(x),x=-infinity); |}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ +\infty ,0 \]}}

\item 
%@Commande-29
{\MarqueCommandeGiac{29} \verb| deriver(f(x))|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ e^{2x}2+-\left(e^{x}\right)-\left((x+1)e^{x}\right) \]}}

%@Commande-30
{\MarqueCommandeGiac{30} \verb| simplifier(deriver(f(x))/exp(x))|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ -x+2e^{x}-2 \]}}

\item 
%@Commande-31
{\MarqueCommandeGiac{31} \verb| f(fsolve(g(x)=0,x=-2))|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[      0.161903 \]}}

\item 

  \begin{center}
    \begin{TVapp}
      TVapp([-infinity,+infinity],[],"f","x",exp(2*x)-(x+1)*exp(x),1,\tv)
      \end{TVapp}
    \end{center}

\item 

%@Commande-32
{\MarqueCommandeGiac{32} \verb| graphe(f(x),x=-4..1)|}
\InscriptionFigureGiac{CorrBac-02.eps}    

\end{enumerate}





\end{document}