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\begin{document}
    
\noindent \Large{\textbf{BACCALAURÉAT SÉRIE ES SESSION 
2000}}\normalsize{}
\vspace{3cm}
\begin{itemize}
    \item Sujet 1 : National, juin 2000\dotfill 2\\
    \item Sujet 2 : Amérique du Nord, juin 2000\dotfill 5\\ 
    \item Sujet 3 : Antilles-Guyane, juin 2000 \dotfill 9\\
    \item Sujet 4 : Asie, juin 2000 \dotfill 13\\
    \item Sujet 5 : Centres étrangers, juin 2000 \dotfill 17\\ 
    \item Sujet 6 : Liban, juin 2000 \dotfill 22\\
    \item Sujet 7 : Polynésie, juin 2000 \dotfill 27\\
    \item Sujet 8 : La Réunion, juin 2000 \dotfill 31\\
    \item Sujet 9 : National, septembre 19990 \dotfill 35\\
    \item Sujet 10 : Antilles-Guyane, septembre 1999 \dotfill 39\\
    \item Sujet 11 : Sportifs de haut-niveau, octobre 1999 \dotfill 43\\
\end{itemize}
\newpage
    %% SUJET 1 FRANCE %%
\noindent \large{\textbf{Baccalauréat ES juin 2000}}\normalsize{}\\

\noindent \textbf{EXERCICE 1} \hspace*{3 cm} 4 points\\
\textbf{Commun à tous les candidats}

 Le tableau suivant, publié en août 1999 dans une revue 
économique,
 donne la part du temps partiel au sein de la population active (les 
valeurs 
pour 2000 et 2004 sont le résultat d'une estimation).\\ 
$$\begin{array}{|p{5,5 cm} | c | c | c | c | c | c | c |}\hline
\textrm{Année}~ $x_i$&	1980&	1985&	1990&	1995&	1997&	2000&	2004\\
 \hline
\textrm{Part du temps partiel en \%}~ $y_i$& 8,3& 11& 12& 15,6& 16,8& 
18&	20\\ \hline
\end{array}$$
On étudie la série statistique $(x_i~;~ y_i)$ pour \boldmath$1980 
¾ x_i ¾ 1997.$
\unboldmath\\ 
Les calculs seront effectués à la calculatrice.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Représenter dans un repère 
orthogonal
le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~ y_i)$ pour $1980 ¾ x_i ¾ 
1997$. On
prendra : 
1 cm pour une part de 2 \% en ordonnée, 2 cm pour 5 ans en abscisse 
en prenant
 pour origine le point (1980 ; 0).\\
 
\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Déterminer les coordonnées 
de G, point moyen de la
 série statistique $(x_i~;~ y_i)$ . Le placer sur le graphique.\\
 
\noindent $\triangleright~$\textbf{3) a)} Donner la valeur arrondie à 
$10^{-~ 3}$ près du  c¦fficient de corrélation linéaire de la série
$(x_i~;~ y_i)$ . Un ajustement affine est-il justifié ?\\
Dessiner cette droite sur le graphique.\\
\textbf{b)} Déterminer une équation de la droite d'ajustement 
affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés ($a$ et $b$ arrondis
à $10^{-~ 3}$ près).\\
\textbf{c)} Peut-on considérer que les estimations pour 2000 et 
2004 faites par la revue ont été réalisées en utilisant l'équation
obtenue  à la question 3) b) ?\\
 

\noindent \textbf{EXERCICE 2}\hspace*{3 cm}5 points\\	
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité}\\

En 1998 un  constructeur automobile français a vendu dans la 
catégorie « petites voitures » 283 049 véhicules  répartis de la façon 
suivante :\\	
86214 du modèle A, 166 937 du modèle B,  le reste du modèle C.\\
Le constructeur estime que la probabilité de choix d'un de ces 
modèles par un client ayant l'intention d'acheter une voiture de cette 
catégorie, est égale à la fréquence de vente de ce modèle dans la 
catégorie « petites voitures » de cette marque.\\
Les résultats seront arrondis à trois décimales.\\	

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Déterminer la probabilité 
qu'un client acheteur
choisisse le modèle B.\\
Quelle est la probabilité qu'il ne choisisse pas le modèle B ?\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Trois clients achètent un 
véhicule dans 
la catégorie « petites voitures », leur choix se fait de façon 
indépendante.
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de clients 
parmi
les trois qui achètent le modèle B.\\
\textbf{a)} Construire un arbre de probabilité et déterminer la 
loi de
probabilité de $X$.\\
\textbf{b)} Calculer l'espérance mathématique de $X$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} Représenter la fonction de 
répartition de 
$X$\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{4)} Quelle est la probabilité 
pour qu'au plus deux
clients sur les trois achètent un véhicule du modèle B ?\\

\noindent \textbf{EXERCICE 2} \hspace*{3 cm}5 points\\
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}\\

Le système bancaire, recevant un dépôt initial  $S_{0} = 50\:000$ 
F, en remet 
80 \% en circulation sous forme de prêts et en conserve 20 \% (le 
montant 
de cette réserve sera notée $E_{0}$). L'activité économique 
se traduit par le
fait que les sommes prêtées reviennent dans le système où 
elles apparaissent
comme un nouveau dépôt $S_{1}$, dépôt qui sera traité selon 
le 
même processus, 80 \% remis en circulation, 20 \% mis  en en 
réserve).\\
Le dépôt initial de 50\: 000 F engendre ainsi une suite $S_{n}$ 
de 
dépôts successifs et une suite $E_{n}$ de mises en réserve.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1) a)} Calculer $S_{1},~ S_{2},~ 
E_{0},~ E_{1}$, et $E_{2}$
.\\
\textbf{b)} Exprimer $S_{n}$ à l'aide de $S_{n-1}$.\\ 
\textbf{c)} En déduire les expressions de $S_{n}$ et de $E_{n}$ en 
fonction de
$n$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} On fait le bilan après que 
la banque ait
reçu les $n$ premiers dépôts $S_{0},~\ldots,~S_{n-1}$, (et ait 
procédé aux mises en réserve correspondantes).\\
\textbf{a)} Calculer en fonction de $n$ la somme totale $D_{n}$ que 
la banque a re\c ue.\\
\textbf{b)} Calculer la somme totale $R_{n}$ que la banque a inscrite 
en réserve.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3) a)} Montrer que la limite $R$ 
de la suite 
$(R_{n})$ est égale au dépôt initial $S_{0}$.\\ 
\textbf{b)} Déterminer la limite $D$ dans la suite $(D_{n})$. 
Quelle est 
l'interprétation de la différence $D - S_{0}$ ?\\

\noindent \textbf{PROBLÈME} \hspace*{3 cm}11 points\\

\noindent \textbf{Partie A}\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Soit $C_{m}$ la fonction 
définie sur [0 ; 6] par : 
$$C_{m}(q) = 0,8 + 4(1 -  2q)e^{-~ 2q}$$
Cette fonction traduit le coût marginal quotidien d'une usine pour 
la fabrication d'un produit chimique sous forme liquide, $q$ étant la 
quantité de produit exprimée en milliers de litres et $C_{m}(q)$ exprimé
en milliers de francs.\\ 
Dresser le tableau de variations de $C_{m}$, la valeur de $C_{m}(1)$ 
figurera dans le tableau.\\ 
En déduire le signe de $C_{m}(q)$ sur [0 ; 6].\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2) a)} Montrer que la fonction $g$ 
définie sur [0 ; 6] par
$g(q) = 4qe^{-~ 2q}$ admet pour fonction dérivée la fonction 
définie 
par :
$$g'(q) = 4(1 - 2q)^{e-~ 2q}.$$
\textbf{b)} Le coût marginal est assimilé à la fonction 
dérivée 
du coût total.
Sachant que les coûts fixes $C_{T}(0)$ s'élèvent à un millier de 
francs,
déterminerla fonction $C_{T}$ traduisant le coût total en 
fonction de $q$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} a) Déterminer les variations 
de $C_{T}$ sur 
[0 ; 6] en utilisant la question 1). \\
\textbf{b)} Représenter la fonction coût total dans le plan muni 
d'un repère orthonormé (O~ ;~$ \overrightarrow{\imath}~;~\overrightarrow
{\jmath})$ (unité graphique 2 cm).\\ 

\noindent \textbf{Partie B}\\
Le prix de vente de ce liquide est de 1,8 F par litre. La fabrication 
quotidienne est vendue en totalité.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1) a)} Représenter sur le 
graphique 
précédent la fonction traduisant la recette quotidienne.\\ 
\textbf{b)} Montrer que le bénéfice noté $B(q)$ s'exprime par : 
$$B(q) = q - 1 - 4qe^{- 2q}.$$

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Soit la fonction $h$ définie 
sur [0 ; 6] 
par :
$$h(q) = 1,8 - C_{m}(q).$$ 
\textbf{a)} Étudier les variations de $h$ en utilisant celles de 
$C_{m}$.\\
\textbf{b)} Démontrer que l'équation $h(q) = 0$ a une unique 
solution
$\alpha$ sur [0 ;  1].
(On ne demande pas de calculer $\alpha$.)\\
\textbf{c)} En déduire le signe de $h(q)$ pour $q \in [0~ ;~ 6]$.\\
$\triangleright~$\textbf{3) a)} En utilisant la question 
précédente donner
les variations de $B$.\\
\textbf{b)} Donner une valeur de $B(\alpha)$ avec deux décimales en 
prenant 0,28
comme valeur de $\alpha$.\\
Que représente cette valeur pour cette usine ?
\footnote{\scalebox{1 -1}{France métropolitaine}}\\
\newpage
%%%%%%%%% SUJET 2 Amérique du Nord %%%%%%%%
%%%%%%%%%   JUIN 2000              %%%%%%%%
\noindent \large{\textbf{Baccalauréat ES juin 2000}}\normalsize{}\\

\noindent \textbf{EXERCICE 1}\hspace*{3 cm} 4 points\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\

Le tableau suivant donne l'évolution du pourcentage de logiciels 
piratés en France de 1990 à 1998. On désigne par $x$ le rang de 
l'année
et par $y$ le pourcentage de logiciels piratés.\\ %20 
\begin{center}
    \begin{tabular}{*{10}{|c}|}\hline
Année	&1990&	1991&	1992&	1993&	1994&1995 &1996&1997 & 1998\\ \hline
Rang $x_{i}$&	0&	1&	2&	3& 	4&5 & 6 & 7 & 8\\ \hline
Pourcentage $y_{i}$&	85&	78&	73&	66&	57&51 & 47& 44 & 43\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Représenter le nuage de 
points associé à la 
série statistique $(x_{i}~ ;~ y_{i})$ dans un repère orthogonal tel 
que :\\ 
* 1 cm représente un an sur l'axe des abscisses\\ %30
* 1 cm représente 5 \% sur l'axe des ordonnées. \\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Dans cette question les 
résultats seront obtenus à l'aide d'une calculatrice et arrondis au millième.
Aucun détail des calculs statistiques n'est demandé.\\
\textbf{a)} Donner le c¦fficient de corrélation linéaire $r$ de 
la série statistique $(x_{i}~ ;~ y_{i})$.\\
Un ajustement affine est-il justifié ?\\
\textbf{b)} Écrire une équation de la droite de régression (D) 
de $y$ en $x$ par 
la méthode des moindres carrés.\\
Représenter (D) dans le repère précédent.\\ %40
\textbf{c)} En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation 
du 
pourcentage de logiciels piratés en 2004.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} L'allure du nuage permet 
d'envisager un ajustement
exponentiel.\\ 
On pose $z = \ln (y)$.\\ 
À l'aide d'une calculatrice, on a obtenu les résultats suivants :\\
- Le c¦fficient de corrélation linéaire de la série statistique 
$(x_{i}~ ;~ z_{i})$
, où $z_{i} = \ln (y_{i})$, est $r' = - 0,991$.\\ 
- Une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ par la 
méthode 
des moindres carrés est $z = 0,093 x + 4,444$ (1).\\ %50 
En utilisant la relation (1), donner une estimation du pourcentage de 
logiciels piratés en 2004. \\  

\noindent \textbf{EXERCICE 2} \hspace*{3 cm}   5 points\\
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité}\\

Un industriel fabrique des tablettes de chocolat. Pour promouvoir la 
vente de ces tablettes, il décide d'offrir des places de cinéma 
dans la 
moitié des tablettes mises en vente. Parmi les tablettes gagnantes, 
60\:\% permettent de gagner exactement une place de cinéma et 
40\:\% exactement deux places de cinéma.\\ %60
La notation $p$(A/B) désigne la probabilité conditionnelle de 
l'événement A sachant que l'événement B est réalisé.\\ 

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Un client achète une tablette 
de chocolat. On considère les événements suivants :\\ 
G : « Le client achète une tablette gagnante » ;\\
U : « Le client gagne exactement une place de cinéma » ;\\
D : « Le client gagne exactement deux places de cinéma ».\\
\textbf{a)} Donner $p$(G),~ $p$(U/G) et $p$(D/G).\\
\textbf{b)} Montrer que la probabilité de gagner exactement une 
place de cinéma est égale à 0,3.\\ %70
\textbf{c)} Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de 
places de cinéma gagnées par le client.\\
Déterminer la loi de probabilité de $X$.\\
Calculer l'espérance mathématique de $X$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Un client achète deux jours de 
suite une tablette de chocolat. Les deux achats sont indépendants.\\ 
\textbf{a)} Déterminer la probabilité qu'il ne gagne aucune place 
de cinéma.\\ 
\textbf{b)} Déterminer la probabilité qu'il gagne au moins une 
place de cinéma.\\
\textbf{c)} Montrer que la probabilité qu'il gagne exactement deux 
places de cinéma est égale à 0,29 (on pourra s'aider d'un arbre).\\ 

\noindent \textbf{EXERCICE 2} \hspace*{3 cm}   5 points\\
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}\\

Les résultats de cet exercice seront donnés sous forme décimale 
arrondie au centième.\\ 
Un camp d'adolescents propose des stages d'activités nautiques pour 
débutants avec, au choix : planche à voile, plongée ou ski 
nautique.\\ 
Lors d'un stage donné, ce camp accueille vingt jeunes dont sept 
seront initiés à la planche à voile, huit à la plongée et cinq au 
ski nautique. Chaque stagiaire ne pratique qu'une seule des trois 
activités.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} On forme un groupe de trois 
stagiaires choisis au hasard parmi les vingt.\\
\textbf{a)} Combien de groupes est-il possible de former ?\\
\textbf{b)} Déterminer la probabilité de chacun des 
événements $A,~ B$ et $C$ suivants :\\
A « Les trois stagiaires pratiquent des activités différentes »\\
B « Les trois stagiaires pratiquent la même activité » ;\\
C « Au moins l'un des trois stagiaires pratique le ski nautique ».\\ 

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Parmi les vingt stagiaires, un 
seul se prénomme Christian.  Chaque jour, on choisit au hasard un groupe de
trois stagiaires chargé du service au repas de midi.\\ 
\textbf{a)} Montrer que la probabilité que Christian soit choisi un 
jour donné  pour le service de midi est égale à 0,15.\\
\textbf{b)} La durée du stage est de cinq jours.\\
$\bullet~$Quelle est la probabilité de ne jamais choisir Christian 
pour le service de midi pendant tout le séjour ? \\
$\bullet~$Quelle est la probabilité de le choisir exactement une 
fois ?\\
$\bullet~$En déduire que la probabilité de choisir Christian au 
moins deux fois est inférieure à 0,2.\\

\noindent \textbf{PROBLÈME}\hspace*{3 cm}   11 points\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\

\noindent \textbf{Partie A}\\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle 
$\left]­~\cfrac{1}{2}~;~  + \infty\right[$ par :
$$f(x) = -~x + 7  +6 \ln (2x + 1) - 6 \ln (2x + 2).$$
On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un 
repère orthonormal 
(O~;~$\overrightarrow{\imath}~;~\overrightarrow{\jmath})$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Justifier que $f$ est 
définie sur l'intervalle	
$\left]­~\cfrac{1}{2}~;~  + \infty\right[$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Déterminer la limite de $f$ 
en $-~\cfrac{1}{ 2}$.\\
En déduire que la courbe $(\mathcal{C})$ admet pour asymptote une 
droite $(D)$ dont on précisera une équation.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} En remarquant que, pour tout 
$x$ de l'intervalle $\left]­~\cfrac{1}{2}~;~  + \infty\right[$
$$6 \ln(2x + 1) - 6 \ln (2x + 2) = 6 \ln \left( \cfrac{2x+ 1}{2x+ 
2}\right).$$
déterminer la limite de $f$ en $+~\infty$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{4)} Soit $(\Delta)$ la droite 
d'équation : $y = - x + 7$.\\
\textbf{a)} Quelle est la limite de $\left[f(x) - (-~ x + 7)\right]$ 
lorsque $x$ tend vers $+~\infty$\\
En donner une interprétation graphique.\\
\textbf{b)} Étudier la position de la courbe $(\mathcal{C})$ par 
rapport à la droite $(\Delta)$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{5) a)} Montrer que, pour tout $x$ 
de l'intervalle 
$\left]­~\cfrac{1}{2}~;~  + \infty \right[$ 
$$f'(x) = \cfrac{-~ 2x^2 - 3x + 5}{(2x+ 1)(x+ 1)}$$
où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. \\ %140
\textbf{b)} Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de 
variation de $f$.\\

$\triangleright~$\textbf{6)} Soit $(T)$ la tangente à la courbe 
$(\mathcal{C})$ au point M d'abscisse 0.\\
Déterminer une équation de la droite $(T)$\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{7)} Tracer les droites $(D),~ 
(\Delta),~ (T)$ et la courbe
$(\mathcal{C})$ dans le repère (O~;~$\overrightarrow{\imath}~;~
\overrightarrow{\jmath})$, unité graphique 2 cm. On placera l'axe 
des ordonnées à 2 cm du bord gauche de la feuille de papier millimétré.\\

\noindent \textbf{Partie B}\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Soit $H$ la fonction définie 
sur l'intervalle 
$\left]­~\cfrac{1}{2}~;~  + \infty \right[$ par : 
$$H(x) = (2x + 1) \ln (2x + 1) - (2x + 2) \ln (2x+ 2).$$
Montrer que la fonction $H$ est une primitive sur 
$\left]­~\cfrac{1}{2}~;~
+ \infty \right[$ de la fonction $h$ définie sur cet intervalle par 
: $h(x) = 2 \ln 
\left(\cfrac{2x+ 1}{2x+ 2}\right).$\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} On note $(E)$ la partie du 
plan comprise entre la
courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(\Delta)$ et les droites 
d'équations
respectives $x = 2$ et $x = 5$.\\
\textbf{a)} Hachurer $(E)$ sur la figure.\\
\textbf{b)} Calculer la valeur exacte de l'aire de $(E)$ en unités 
d'aire.\\
\textbf{c)} Calculer l'aire de $(E)$ en cm$^2$ (on rappelle que 
l'unité graphique est 2 cm). On donnera le résultat sous forme décimale
arrondie au centième.
\footnote{\scalebox{1 -1}{Amérique du Nord}}\\
\newpage

%%%%%%%         SUJET 3 Antilles-Guyane    %%%%%
%%%%%%%           JUIN  2000               %%%%%
\noindent \large{\textbf{Baccalauréat ES juin 2000}}\normalsize{}\\

\noindent \textbf{EXERCICE 1}\hspace*{3 cm} 5 points\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\

La documentaliste d'un lycée effectue une enquête auprès de 500 élèves
entrant au CDI afin de connaître le nombre d'ouvrages consultés selon
la fréquentation du CDI.\\
On obtient les résultats suivants :\\
$\bullet~$ 18\:\% des élèves consultent un seul ouvrage par visite 
et, parmi ceux-ci, 90\:\% viennent au moins une fois par semaine ;\\
$\bullet~$ 125 élèves viennent moins d'une fois par semaine et 16\:\% 
d'entre eux consultent entre deux et cinq ouvrages par visite ;\\
$\bullet~$ 45\:\% des él`eves viennent au moins une fois par semaine et
 consultent chaque fois plus de cinq ouvrages.\\
$\triangleright~$\textbf{1)} Reproduire et compléter le tableau des 
\textbf{effectifs} ci-dessous 
\begin{center}
\begin{tabular}{*{3}{| p{3 cm} |}c|}\hline
~~~~Fréquentation & au moins une fois par semaine &moins d'une fois 
par semaine
&~~Totaux~~\\ 
Nombre d'ouvrages consultés  & & & \\ \hline 
un ouvrage  &  &  &\\ \hline  
de deux à cinq ouvrages  & & &\\ \hline 
plus de cinq ouvrages& & &\\ \hline 
Totaux & & & 500\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} On prend au hasard un élève 
fréquentant le CDI et on considère les événements :\\
A : « L'élève vient au moins une fois par semaine au CDI » ;\\
B : « L'élève consulte de 2 à 5 ouvrages » ;\\
C : « L'élève consulte au moins 2 ouvrages » ;\\
D : « L'élève vient au moins une fois par semaine au CDI et consulte
entre 2 et 5 ouvrages ».\\
Calculer la probabilité des événements A,~ B,~C,~D~et A $\cup$ B.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3) a)} On considère un élève qui 
vient au moins une fois par semaine au CDI.\\
Quelle est la probabilité pour qu'il consulte de deux à cinq ouvrages 
?\\
\textbf{b)} On considère un élève qui consulte de 2 à 5 ouvrages.\\
Quelle est la probabilité qu'il vienne au moins une fois par semaine 
au
CDI ? \\
(N.B. : Les résultats seront donnés à $10^{-~ 3}$ près.) \\
\newpage
\noindent \textbf{EXERCICE 2}\hspace*{3 cm}5 points\\
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}\\

Le graphique donné en annexe est celui de $(\Gamma)$, courbe 
représentative d'une fonction $f$ définie sur [0 ; 4] et de ses tangentes
aux points d'abscisses 1 et 1,5.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Lire graphiquement $f(1)~ ;~ 
f'(1)~ ;~f(1,5)$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Parmi les trois courbes 
données en annexe, laquelle est susceptible de représenter $f'$, où $f'$ est
la fonction dérivée de $f$ ? \\
Justifier votre réponse à l'aide d'arguments graphiques.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} On admet que $f(x) = (ax + b)
\textrm{e}^{-~ x+ 1}$ où $a$ et $b$ sont deux réels fixés.\\ 
Calculer $f(x)$ puis utiliser la question 1 pour déterminer $a$ et 
$b$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{4)} On pose $H(x) = -~ (2x + 
1)\textrm{e}^{-~ x+ 1}$ sur $\R$.\\
Vérifier que $H$ est une primitive de $h$ définie sur $\R$ par 
$h(x) = (2x- 1)\textrm{e}^{-~x+ 1}$.\\
En déduire, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire de la 
portion de plan limitée par la courbe $(\Gamma)$, l'axe des abscisses et les
droites d'équation $x = 1$ et $x = 4$. \\
\begin{center} \textit{Annexe}\\ 
Courbe de la fonction $f$ ~~~~~~~~~~~~~Courbe n° 1\\
\begin{pspicture}(0,-3)(4,2)
    \psgrid(0,0)(0,-3)(4,2)
\psline{->}(0,0)(4,0) \psline{->}(0,-3)(0,2) 
\psline{<->}(0.5,1.213)(2.5,1.213)
\psplot[plotpoints=1000]{0}{4}{2.71828 1 x sub exp 2 x mul 1 sub mul}
\end{pspicture}
\hspace{2 cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(4,4)
    \psgrid(0,0)(0,-1)(4,4)
\psline(0,1)(4,1) \psline(0,-1)(0,4)
\psplot[plotpoints=1000]{0.4}{4}{2.71828 1 x sub exp 3 2 x mul sub 
mul}
\end{pspicture}

\newpage
Courbe n° 2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Courbe n° 3\\
\psset{yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(4,8)
    \multido{\n=0+1}{8}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(4,\n)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,8)}
\psline(0,2)(4,2) \psline(0,0)(0,8)
\pscurve(0,0.7)(0.5,0.6)(1,0.95)(2,2.8)(3,6.5)(3.3,8)
\end{pspicture}
\hspace{2 cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,6)
    \multido{\n=0+1}{6}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(5,\n)}
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,6)}
\psline(0,2)(5,2) 
\pscurve(1.4,0)(1.7,4)(2,5)(2.5,5)(3,4.5)(3.2,4)(4,3.1)(5,2.4)
\end{pspicture}
\vspace{0.8 cm}
\end{center}

\noindent \textbf{EXERCICE 2}\hspace*{3 cm}5 points\\
\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Soit la fonction $f$, définie 
sur $\R$ par : $f(x) = 80 + a\textrm{e}^{bx}$.\\
Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de 
$f$, dans un repère (O ~;~ $\overrightarrow{\imath} 
,~\overrightarrow{\jmath})$, passe par les points
A(0 ~; ~53) et B(3 ~; ~60). Donner les valeurs exactes, puis une 
valeur arrondie à $10^{ -~ 1}$ près pour $b$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Dans une entreprise, on 
installe un nouvel atelier.
Pendant la période de « mise en route », la production le $n$-ième jour 
($n$, entier naturel non nul) est donnée par : 
$$U_{n} = 80 - 27\textrm{e}^{-~ 0,1n}~ \textrm{unités.}$$ 
\textbf{a)} Montrer que la suite $(U_{n})$ est strictement 
croissante.\\
\textbf{b)} Au bout de combien de jours la production 
dépassera-t-elle les 72 unités ? \\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} On pose : $V_{n} = 
\textrm{e}^{-~ 0,1n}~ (n$, entier naturel non nul).\\ 
\textbf{a)} Montrer que $V_{n}$ est une suite géométrique dont on 
donnera la raison et la  limite.\\ 
\textbf{b)} Calculer $S = V_{1} + V_{2} + \cdots  + V_{12}$. \\
À la suite d'une avarie, l'atelier doit être arrêté après 12 jours de
 fonctionnement. Quelle est la production totale obtenue pendant cette période ? 
Donner une valeur arrondie à l'unité. \\

\noindent \textbf{PROBLÈME}\hspace*{3 cm}  10 points\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\

Une entreprise fabrique un produit, en quantité $x$, exprimée en 
milliers de tonnes.\\
Le coût total de fabrication est donné par : $C_{T}(x) = \cfrac{x}{4} 
+ \cfrac{9}{2} \ln (x + 1)$ pour $x \in$~ [0 ; 5].\\
Les coûts sont exprimés en millions de francs.\\

\noindent \textbf{A. Étude d'une fonction auxiliaire} \boldmath 
$f$\unboldmath 
\textbf{définie sur [0 ; 5]}\\
On considère la fonction $f$ définie sur [0 ; 5] par : 
$$f(x) = \cfrac{x^2}{2} +  \cfrac{9x}{x + 1 } - 9 \ln (x+ 1).$$
$\triangleright~$\textbf{1)} Calculer $f'(x)$ .\\
Vérifier que l'on peut écrire $f'(x) = \cfrac{x(x- 2)(x + 4)}{(x + 
1)^2}$ . \\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Établir le tableau de 
variations de $f$ sur [0 ; 5].\\

$\triangleright~$\textbf{3)} En déduire que $f$ s'annule sur ] 0 ; 5 ] pour
une valeur unique $a$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{4)} Déterminer un encadrement à 
$10^{ -~ 3}$ près de $a$ (on précisera la méthode utilisée).\\
$\triangleright~$\textbf{5)} Déduire des résultats précédents le 
signe de $f$ sur [0 ; 5].\\

\noindent \textbf{B. Étude d'un coût moyen} \boldmath$C_{m}$\unboldmath.\\
La fonction coût moyen $C_{m}$ est définie sur ]0 ; 5] par :
$$C_{m}(x) = \cfrac{C_{T}(x)}{x} = \cfrac{x}{4}  + \cfrac{9}{2} 
\left[\cfrac{\ln (x+ 1)}{x}\right].$$

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Calculer $C_{m}'(x)$. \\
Vérifier que l'on peut écrire $C_{m}'(x) = \cfrac{f(x)}{2x^2}$ où $f$ 
est la fonction auxiliaire de la question \textbf{A}\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Étudier le sens de variation 
de $C_{m}$ sur ]0 ; 5].\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} Pour quelle production 
l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal, exprimé en francs par tonnes
? \\
Quel est ce coût ?\\
\footnote{\scalebox{1 -1}{Guadeloupe}}
\newpage
%%%% Sujet 4 Asie %%%%
%%%%   juin 2000  %%%%
\noindent \large{\textbf{Baccalauréat ES juin 2000}}\normalsize{}\\

\noindent \textbf{EXERCICE 1} \hspace*{3 cm}5 points\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\

Tiré d'une revue économique, le tableau ci-dessous donne l'évolution 
du nombre de demandeurs d'emploi en France entre les mois d'octobre 
1997 et mai 1998 (en milliers de personnes).\\ 
\small{\begin{tabular}{| p{2 cm} |*{8}{c |}}\hline
Mois&oct 97&nov 97&déc 97& jan 98& fév 98&mar 98& avr 98& mai 98\\ 
\hline
Rang du mois ~$x_{i}$&	1&	2& 3&	4& 5&	6& 7&	8\\ \hline
Demandeurs d'emploi 
~$y_{i}$&$3\:102$&$3\:090$&$3\:051$&$3\:029$&$3\:031$&$3\:005$&$2\:994$&$2\:979$\\ 
\hline
\end{tabular}}\normalsize{}\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Le plan est rapporté à un 
repère orthogonal.  Les unités graphiques sont :\\ 
$\bullet~$2 cm par mois sur l'axe des abscisses ;\\
$\bullet~$1 cm pour 20 milliers de demandeurs d'emploi sur l'axe des 
ordonnées (origine en 2\:800).\\
\textbf{a)} Représenter le nuage de points $(x_{i}~ ;~ y_{i})$.\\
\textbf{b)} Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de cette 
série double et placer ce point sur le graphique.\\
\textit{Vous orienterez le graphique en prenant pour axe des 
abscisses le « grand » coté de la feuille de papier millimétré (format
paysage)}.\\ 

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Dans cette question, aucun 
calcul manuel n'est demandé. Les valeurs obtenues à l'aide de la calculatrice
seront données sous forme décimale approchée à
$10^{-~ 3}$ près par défaut.\\
\textbf{a)} Calculer le c¦fficient de corrélation linéaire de la 
série $(x_{i}~ ;~ y_{i})$.\\ 
\textbf{b)} Écrire une équation de la droite $(D)$ de régression de 
$y$ en $x_{i}$ par la méthode des moindres carrés. La tracer sur le schéma 
précédent.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} On suppose que la tendance se 
poursuit.\\ 
Déterminer graphiquement, à 20 milliers près, le nombre de 
demandeurs d'emploi que l'on peut prévoir en septembre 1998. 
Vérifier ce résultat.\\

\noindent \textbf{EXERCICE 2} \hspace*{3 cm}5 points\\
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}\\

Un horloger fabrique deux types de montres M$_{1}$ et M$_{2}$.
Ces montres possèdent :\\
- soit un bracelet en cuir, noté C~;\\
- soit un bracelet en or, noté O~;\\
- soit un bracelet en argent, noté ~A.\\
On sait que :\\
- les montres de type M$_{2}$ ne peuvent pas être pourvues d'un 
bracelet en cuir ;\\
- les bracelets en cuir représentent 40 \% de la production totale, 
et ceux en or représentent 20 \%\\
- la production de montres de type $M_{2}$ avec bracelet en argent 
représente 15 \% de la production totale, et est le triple de celle des montres de même type 
qui ont un bracelet en or.\\
Les résultats des calculs seront donnés de manière exacte sous forme 
décimale.\\

\noindent \textbf{Partie A}\\
Recopier et compléter le tableau des pourcentages suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l |*{4}{ c|}}\hline
 & ~~~C~~~ & 	~~~O~~~& ~~~A~~~	&Total\\ \hline
M$_{1}$ &  & & & \\ \hline 
M$_{2}$ & & & & \\ \hline
Total & & & &100 \% \\ \hline
\end{tabular}\\
\end{center}

\noindent \textbf{Partie B}\\
Une montre est choisie au hasard.\\
Calculer la probabilité des événements suivants :\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} C'est une montre de type 
M$_{2}$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} C'est une montre avec un 
bracelet en argent.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} C'est une montre de type 
M$_{1}$ avec un bracelet en argent.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{4)} C'est une montre de type 
M$_{1}$, sachant que son bracelet est en
argent.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{5)} C'est une montre de type 
M$_{2}$ avec un bracelet en or.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{6)} C'est une montre avec bracelet 
or, sachant qu'elle est de type M$_{2}$.\\ 

\noindent $\triangleright~$\textbf{7)} C'est une montre de type 
M$_{2}$ sachant que son bracelet est en cuir.\\ 

\noindent \textbf{EXERCICE 2} \hspace*{3 cm}5 points\\ 
\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}\\

Une entreprise de 36 salariés est constituée d'apprentis, d'ouvriers 
et de cadres. Parmi ces personnes, 22 sont des hommes dont 18 
ouvriers et 3 cadres, 6 femmes sont cadres et une est apprentie. Dans 
cette société, on travaille 5 jours par semaine. Les résultats seront 
donnés suivant le cas, soit sous forme de fraction irréductible, soit 
sous forme décimale arrondie à $10^{-~ 3}$ près par défaut, soit en 
écriture scientifique.\\ 

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Tous les matins, une personne 
choisie au hasard est interrogée sur ses conditions de travail. \\
Calculer la probabilité pour que, un jour donné, la personne 
interrogée soit :\\
\textbf{a)} un apprenti ;\\ 
\textbf{b)} un cadre, sachant que c'est un homme ;\\
\textbf{c)} une femme, sachant que c'est une ouvrière.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Afin de connaître le sentiment 
du personnel sur le passage aux 35 heures, on interroge tous les matins 4
personnes choisies au hasard. Chaque tirage journalier est indépendant de ceux
des jours précédents. L'une des femmes se prénomme Marianne.\\ 
\textbf{a)} Montrer que la probabilité pour qu'un jour donné Marianne 
fasse partie du groupe des personnes interrogées est égale à $\cfrac{1}{9}$ 
.\\
\textbf{b)} On rappelle que dans cette société, on travaille 5 jours 
par semaine.\\
Quelle est la probabilité pour que Marianne soit interrogée au moins 
une fois en 2 semaines ? (On considère que les choix successifs des 
groupes de 4 personnes sont 2 à 2 indépendants.)\\

\noindent \textbf{PROBLÈME} \hspace*{3 cm}10 points\\

\noindent \textbf{Partie A}\\

Le plan est rapporté à un repère orthonormal. Sur le graphique 
ci-dessous la courbe ($\mathcal{C}$) représente une fonction $f$ 
définie et dérivable sur $\R$. La droite ($T$) est la tangente à la courbe
($\mathcal{C}$) au point $A$ d'abscisse 0.\\

\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1](0,0)(-4,-4)(4,4)
    \psline(-4,0)(4,0) \psline(0,-4)(0,4)
    \psline{<->}(3,-1)(-2,4) \psline{<->}(-3,2.718)(2,2.718)
    \rput(-0.4,-0.4){O} \rput(0.3,2.1){A} \rput(2.8,-0.5){(T)}
    \rput(-2.5,-3.5){($\mathcal{C}$)} \rput(0.3,2.5){e} 
\psplot[plotpoints=100,plotstyle=curve]{-2.3}{4}{ x 2 add 2.71828 x 
    exp div}
\end{pspicture}
\end{center}

\noindent \noindent $\triangleright~$\textbf{1)} À partir des 
informations portées sur le graphique, reproduire 
sur votre copie et compléter le tableau suivant : 
$$\begin{array}{|l |c| c | c|}\hline
x & ~~~-~1~~~ &~~~ 0~~~ &~~~ 1~~~\\ \hline
f(x) & & & \\ \hline
f'(x) & & &-~\cfrac{2}{\textrm{e}^2}\\ \hline
\end{array}$$

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Résoudre graphiquement, dans 
$\R$, les équations ou inéquations
suivantes :\\
\textbf{a)} $f(x)  = 2$	puis $f(x) < 2$. \\
\textbf{b)} $f'(x) = 0$	puis $f'(x) > 1$.\\

\noindent \textbf{Partie B}\\
Soit la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par :
$$f(x) = (x + 2) e^{-~x}.$$ 
On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$. On ne 
demande pas de construire ($\mathcal{C}$).\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Déterminer la limite de $f$ en 
$-~\infty$\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Déterminer la limite de $f$ en 
$+~\infty$\\
Comment se traduit graphiquement ce  résultat ?\\
On rappelle que la limite en $+~\infty$ de $\cfrac{e^x}{x}$ est égale 
à $+~\infty$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} Établir que tout $x$ réel 
$f'(x) = -~ (x + 1)\textrm{e}^{-~x}$.\\
En déduire le signe de $f'(x)$ puis le tableau de variation de la 
fonction $f$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{4)} Démontrer que l'équation $f(x) 
= 2$ a deux solutions distinctes sur l'intervalle $[- 2 ~;~ 4]$ et donner une 
valeur approchée à $10^{-~ 2}$ près de celles-ci.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{5)} Soit $g$ la fonction définie 
sur $\R$ par : 
$g(x) = (ax + b)\textrm{e}^{-~x}$.\\
\textbf{a)} Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $g$ soit une 
primitive de $f$.\\
\textbf{b)} Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte puis une 
valeur approchée, à $10^{ -~2}$ près par défaut, de l'aire de la partie
de plan limitée par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses, et les
droites d'équation $x = -~ 2$ et $x = 4$.\\
\footnote{\scalebox{1 -1}{Asie}}
\newpage
%%%% Sujet 5 Centres Étrangers %%%%
%%%% juin 2000                 %%%%
\noindent \large{\textbf{Baccalauréat ES juin 2000}}\normalsize{}\\

\noindent \textbf{EXERCICE 1} \hspace*{3 cm}5 points\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 4] 
dont la représentation graphique, dans un repère orthonormal 
(O~;~$\overrightarrow{\imath}~;~\overrightarrow{\jmath})$, est la 
courbe ($\mathcal{C}$) donnée en annexe. Cette annexe est à rendre avec la 
copie.\\ 
Les points M,~ N,~ P,~ Q et R appartiennent à ($\mathcal{C}$). Les 
coordonnées de M sont $\left(0~ ;~ \cfrac{3}{2}\right)$, celles de N 
sont $\left(1~ ;~ \cfrac{7}{2}\right)$ ,  celles de P sont $\left(2~ ;~ 
\cfrac{5}{2}\right)$,  celles de Q sont $\left(3~ ;~ 
\cfrac{3}{2}\right)$ et celles de R sont $\left(4~ ;~ \cfrac{7}{2}\right)$.\\
La courbe ($\mathcal{C}$) admet en chacun des points N et Q une 
tangente parallèle à l'axe des abscisses.\\ 
La droite $(\Delta)$ est la tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au 
point P ; elle passe par le point S de coordonnées (3 ; 1).\\ 

\noindent $\triangleright~$\textbf{1) a)} Donner $f'(1) ,~f'(2)$ et 
$f'(3)$. \\
b) Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$. \\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2) a)} Déterminer à l'aide du 
graphique le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 3$ sur l'intervalle
[ 0 ; 4].\\
\textbf{b)} Tracer la droite d'équation $y = \cfrac{x}{2} + 
\cfrac{3}{2}$ sur le document en annexe puis, à l'aide du graphique, résoudre 
l'inéquation $f(x) < \cfrac{x}{2} + \cfrac{3}{2}$.\\ 

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} La fonction $f$ est la dérivée 
d'une fonction $F$ définie sur l'intervalle [0 ; 4].
En justifiant la réponse, donner le sens de variation de $F$.\\

\noindent $\triangleright~$4. Soit $g$ la fonction définie sur 
l'intervalle [ 0 ; 4] par :
$$g(x) = \cfrac{1}{f(x)}.$$
\textbf{a)} Donner le tableau de variation de $f$. \\
\textbf{b)} En déduire le tableau de variation de $g$.
\newpage
\begin{center}
    \textit{Annexe\\
À rendre avec la copie}\\
\psset{xunit=8mm,yunit=8mm}
\begin{pspicture}(12,12) 
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(12,\n)}
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,12)}
    \psline(0,2)(12,2) \psline(2,0)(2,12)
    \psline(4,10)(9,2.5) \psline{<->}(3,9)(5,9) \psline{<->}(7,5)(9,5)
    \psline{->}(2,2)(4,2) \psline{->}(2,2)(2,4)
    \rput(1.8,1.8){O} \rput(4,1.5){$\vec{\imath}$} 
    \rput(1.5,3.5){$\vec{\jmath}$}
    \rput(9.5,6.2){($\mathcal{C}$)}  
    \rput(4,9.2){N} \rput(5.8,6.8){P}  \rput(8,4.5){Q} 
    \rput(10.2,9.2){R}  \rput(7.8,3.8){S}  \rput(9,3.5){$(\Delta)$}
    \rput(1.7,4.7){M}
    \pscurve(2,5)(3,8)(4,9)(5,8.25)(6,7)(7,5.65)(8,5)(9,6)(10,9)
\end{pspicture}
\end{center}

\noindent \textbf{EXERCICE 2} \hspace*{3 cm}5 points\\
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Une entreprise a fabriqué 
20\:000 objets d'un modèle $\alpha$ en 1999. Elle réduit progressivement cette
production de 2\:500 pièces par an jusqu'à ce que la production devienne nulle.
On note $u_{0}$ la production du modèle $\alpha$ pour l'année 1999 et $u_{n}$
la production du modèle $\alpha$ pour l'année (1999 + $n$).\\
\textbf{a)} Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. \\
\textbf{b)} Exprimer $u_{n+ 1}$ en fonction de $u_{n}$.\\ 
Quelle est la nature de la suite $(u_{n})$ ? \\
\textbf{c)} Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.\\
\textbf{d)} Déterminer le nombre total d'objets de modèle $\alpha$ 
qui auront été produits du 1$^{\textrm{er}}$ janvier 1999 au 31 décembre
2007. \\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Dès 1999, cette entreprise 
lance un nouveau modèle $\beta$. 11\:000 objets du modèle $\beta$ ont été
produits en 1999. La production du modèle $\beta$ augmente de 8\:\% chaque 
année. On note $v_{0}$ la production du modèle $\beta$ pour l'année 1999 et
$v_{n}$ la production du modèle $\beta$ pour l'année (1999 + $n$). Les
résultats numériques seront arrondis à l'unité près.\\ 
\textbf{a)} Vérifier que $v_{1} = 11\: 880$ et calculer $v_{2}$.\\
\textbf{b)} Exprimer $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$.\\ 
Quelle est la nature de la suite $(v_{n})$ ? \\
\textbf{c)} Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. \\
\textbf{d)} Calculer la production de l'année 2007. \\
\textbf{e)} Déterminer le nombre total d'objets de modèle $\beta$ qui 
auront été produits du 1$^{\textrm{er}}$ janvier 1999 au 31 décembre 2007. \\ 

\noindent \textbf{EXERCICE 2}\hspace*{3 cm}5 points\\
\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}\\

Soit la suite $u_{n}$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier 
naturel, $u_{n+1} = \cfrac{1}{4}u_{n} + 3$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} On considère la fonction $f$ 
définie sur l'intervalle $[ 0 ~;~ +~\infty[$	par $f(x) = \cfrac{1}{4} x+ 3.$\\
\textbf{a)} Tracer dans un même repère orthonormal d'unité 2 cm la 
représentation graphique $(D)$ de la fonction $f$ et la droite $(\Delta)$
d'équation $y = x$.\\
\textbf{b)} Calculer les coordonnées du point d'intersection de ces 
deux droites.\\
\textbf{c)} En faisant apparaître le mode de construction, utiliser 
ce graphique pour représenter $u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$ sur l'axe des 
abscisses. \\
\textbf{d)} Quels semblent être le sens de variation et la limite de 
la suite $(u_{n})$ ? \\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Soit la suite $(v_{n})$ 
définie pour tout entier naturel par $v_{n} = u_{n+ 1} - u_{n}$.\\
\textbf{a)} Montrer que, pour tout entier naturel, $v_{n+1} = 
\cfrac{1}{4}v_{n}$. 
\\
Quelle est la nature de la suite $(v_{n})$ ? Préciser son premier 
terme $v_{0}$.\\
\textbf{b)} Exprimer $v _{n}$ en fonction de $n$. \\
\textbf{c)} Exprimer $v_{n}$ en fonction de $u_{n}$ et en déduire 
que, pour tout  entier naturel $n$,
$$u_{n} = -~3 \times \left(\cfrac{1}{4}\right)^n + 4$$. \\
\textbf{d)} Déterminer le sens de variation de la suite $(u_{n})$ \\
\textbf{e)} Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$.\\

\noindent \textbf{PROBLÈME} \hspace*{3 cm}10 points\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\

\noindent \textbf{Partie A}\\
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~ ;~ +~\infty[ $ par :
$$g(x) = x^2 + 1 - \ln x.$$

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Calculer la fonction dérivée 
de $g$ et étudier son signe.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Donner le tableau de variation 
de $g$ (on ne demande pas les limites en 0 et en $+~\infty$ ).   En déduire le 
signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0~ ;~ +~\infty[$.\\ 

\noindent \textbf{Partie B}\\
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+~\infty[$ 	par :
$$f(x) = x + \cfrac{1}{2} + \cfrac{\ln x}{x}$$
et soit ($\mathcal{C}$) sa représentation graphique dans un repère 
orthonormal(O ~;~ $\overrightarrow{\imath}~;~\overrightarrow{\jmath})$ d'unité 
graphique 2 cm.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1) a)} Déterminer la limite de $f$ 
en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.\\
\textbf{b)} Déterminer la limite de $f$ en $+~\infty$ . (On rappelle 
que $\lim\limits_{x \to +~\infty} \cfrac{\ln x}{x} = 0$.) \\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Montrer que, pour tout $x$ de 
l'intervalle $] 0~ ;~ + ~\infty [,~
f'(x) = \cfrac{g(x)}{x^2}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$. En 
déduire le signe de $f'(x)$ puis le tableau de variation de $f$. \\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} Montrer que l'équation $f(x) = 
3$ admet une unique solution $x_{0}$ dans l'intervalle $[2~;~ 3]$.\\ 
À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude 
$10^{-~ 2}$ de $x_{0}$. \\

\noindent $\triangleright~$\textbf{4) a)} Calculer la limite de 
$\left[f(x) - \left(x + \cfrac{1}{2}\right )\right]$ lorsque $x$ tend vers
$+~\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat. \\
\textbf{b)} Calculer les coordonnées du point A, intersection de la 
courbe  ($\mathcal{C}$) avec la droite (D) d'équation $y = x + \cfrac{1}{2}$ .\\
\textbf{c)} Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe 
($\mathcal{C}$) au point A. \\
\textbf{d)} Étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) par 
rapport à la droite (D).\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{5)} Tracer ($\mathcal{C}$), (D) et 
(T) dans le repère orthonormal (O ~;~ 
$\overrightarrow{\imath}~;~\overrightarrow{\jmath})$ d'unité graphique 2 cm. \\

\noindent \textbf{Partie C}\\
Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+~\infty[$ par :
$$F(x) = \cfrac{x^2 + x + (\ln x)^2}{2}$$

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Montrer que $F$ est une 
primitive de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+~\infty[$\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2) a)} Hachurer, sur le graphique 
précédent, le domaine $E$ limité par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des
abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = $~e.\\ 
\textbf{b)} Calculer l'aire de $E$ en unité d'aire, de manière 
exacte.\\
\textbf{c)} Donner la valeur exacte de cette aire en cm$^2$ et en 
donner la valeur décimale arrondie au dixième. \\
\footnote{\scalebox{1 -1}{Centres étrangers}}
\newpage
%%%% Sujet 6 Liban %%%%
%%%%               %%%%
\noindent \large{\textbf{Baccalauréat ES juin 2000}}\normalsize{}\\

\noindent \textbf{EXERCICE 1}\hspace*{3 cm} 5 points\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\
 
Le tableau suivant indique la teneur de l'air en dioxyde de carbone 
(CO$_2$), observée depuis le début de l'ère industrielle.\\
Dans le tableau ci-dessous, $x_i$ représente le rang de l'année et 
$y_i$ la teneur en CO$_2$ exprimée en parties par million (ppm).

\begin{center} \begin{tabular}{*{5}{| c}|}\hline
Année & 1850 & 1900 & 1950 & 1990\\ \hline
Rang de l'année $x_i$ & 0 & 50 & 100 & 140\\ \hline
Teneur en CO$_2 ~y_i$&  275 & 	290 & 	315  & 	350\\ \hline
\end{tabular} \end{center}
On a représenté dans le repère ci-après le nuage de points associé à 
la série statistique $(x_i,~y_i)$.\\
\begin{center} \begin{pspicture}(-1, -1)(9,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-1, -1)(9,6)
\rput(1,-0.4){20} \rput(2,-0.4){40} \rput(3,-0.4){60} 
\rput(4,-0.4){80} 
\rput(5,-0.4){100} \rput(6,-0.4){120} \rput(7,-0.4){140} 
\rput(8,-0.4){160}
\rput(-0.6,0.1){250} \rput(-0.6,1){300} \rput(-0.6,2){350} 
\rput(-0.6,3){400}
\rput(-0.6,4){450} \rput(-0.6,5){500} \rput(-0.3,-0.3){0}
\rput(2.2,5.2){Teneur en CO$_2$ (ppm)}
\rput(6.7,-0.8){Rang de l'année}
\pscircle*(0,0.5){0.075} \pscircle*(2.5,0.8){0.075} 
\pscircle*(5,1.3){0.075} 
\pscircle*(7,2){0.075}
\end{pspicture} \end{center} 
On veut modéliser cette évolution par une fonction dont la courbe est 
voisine du nuage de points. Plusieurs types de fonctions semblent 
utilisables.\\ 

\noindent $\triangleright~$ \textbf{1)} Modélisation par une fonction 
affine \\
\textbf{a)} À l'aide d'une calculatrice, donner le c¦fficient de 
corrélation linéaire, arrondi au centième, de la série $(x_i,~ y_i)$.\\ 
\textbf{b)} À l'aide d'une calculatrice, donner une équation de la 
droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés,
sous la forme $y = ax + b$, avec $a$ arrondi au centième et $b$ à l'unité. 
Représenter cette droite dans le repère ci-dessus.\\
\textbf{c)} Selon ce modèle, quelle teneur en CO$_2$ peut-on prévoir 
en 2010 ? Placer dans le repère ci-dessus le point M correspondant à cette
prévision.\\ 

\noindent $\triangleright~$ \textbf{2)} Modélisation par une fonction 
$f$ définie par $f(x) = 250 +
 B\textrm{e}^{Ax}$.\\
On pose $z_i = \ln (y_{i} - 250)$. On admet que la série $(x_i, z_i)$ 
a pour c¦fficient de corrélation linéaire 0,999 et qu'une équation de la 
droite de régression de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est :
$z = 0,01x + 3,2$.\\
\textbf{a)} Selon ce modèle, quelle teneur en CO$_2$ peut-on prévoir 
en 2010 ?
Placer dans le repère ci-dessus le point N correspondant à cette 
prévision.\\
\textbf{b)}  Donner une équation de la courbe d'ajustement de $y$ en 
$x$, sous la forme $ y = f(x) = 250 + B\textrm{e}^{ Ax}$, avec $A$ arrondi au
centième et $B$ à l'unité.\\
\textbf{c)} En déduire des valeurs approchées décimales arrondies 
à l'unité près de $f(0),~ f(50),~ f(100),~ f(140)$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} Laquelle des deux prévisions 
de la teneur en CO$_2$ pour 2010 vous semble la plus plausible ? Pourquoi ?\\

\noindent \textbf{EXERCICE 2}\hspace*{3 cm} 5 points\\
\textbf{obligatoire}

Un jeu forain utilise une roue divisée en dix secteurs : sept sont 
verts, trois sont rouges.\\
On fait tourner la roue, et lorsqu'elle s'arrête, un repère désigne 
un secteur, chaque secteur ayant la même probabilité d'être obtenu.\\
Jouer une partie est l'expérience aléatoire consistant à faire 
tourner la roue trois fois de suite, de façon indépendante, en notant à chaque
arrêt la couleur obtenue.\\

\noindent $\triangleright~$ \textbf{1) a)} Représenter à l'aide d'un 
arbre cette expérience aléatoire et indiquer sur chaque branche les
probabilités  correspondantes.\\
\textbf{b)} Montrer que la probabilité d'obtenir trois fois le vert 
est égale à 0,343.\\
\textbf{c)} Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois le 
rouge.\\
\textbf{d)} Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux fois le 
rouge.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Pour jouer une partie, un 
joueur doit miser une somme d'argent : soit $m$ le montant de sa mise. S'il 
obtient trois fois le vert, il perd sa mise. S'il obtient une ou deux fois le
rouge, il récupère sa mise. S'il obtient trois fois le rouge, il récupère
sa mise et gagne une somme égale à dix fois sa mise.\\
On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur 
: les valeurs que peut prendre $X$ sont $-~m,~ 0$ et $10 m$.\\
\textbf{a)} Déterminer la loi de probabilité de $X$.\\
\textbf{b)} Exprimer l'espérance de $X$ en fonction de $m$. Expliquer 
pourquoi, quelle que  soit la mise du joueur, la règle du jeu avantage le
forain.\\ 

\noindent \textbf{EXERCICE 2}\hspace*{3 cm} 5 points\\
 \textbf{(spécialité)}\\

\noindent \textbf{Partie A - Étude d'une suite}\\

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_{0} = 900$ et, pour tout 
entier naturel $n,~u_{n+ 1} = 0,6 u_{n} + 200$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Calculer $u_1 $ et $u_2$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} On considère la suite $(v_n)$ 
définie, pour tout entier naturel $n$, par\\ $v_n = u_n - 500$.\\
\textbf{a)} Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on 
donnera le terme et la raison.\\
\textbf{b)} Exprimer $(v_n)$ en fonction de $n$. En déduire que $u_n 
= 400 \times (0,6)^n + 500$.\\ 
\textbf{c)} Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.\\

\noindent \textbf{Partie B - Application économique}\\

Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des 
télécommuni\-cations.
 Les clients souscrivent, le 1$^{\textrm{er}}$ janvier, soit auprès 
de A, soit auprès de B, un contrat d'un an au terme duquel ils sont libres à 
nouveau de choisir A ou B.\\ 
Cette année 2000, la société A détient 90 \% du marché et la société 
B, qui vient de se lancer, 10 \%. On estime que, chaque année, 20 \% de la 
clientèle de A change pour B, et de même 20 \% de la clientèle de B change pour
A. On considère une population représentative de 1000 clients de l'année
2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la
société B. On veut étudier l'évolution de cette population les années
suivantes.\\
 
\noindent $\triangleright~$\textbf{1) a)} Vérifier que la société A 
compte 740 clients en 2001.
 Calculer le nombre de clients de A en 2002.\\
\textbf{b)} On note $a_n$ le nombre de clients de A l'année (2000 + 
$n$).\\
Établir que $a_{n + 1} = 0,8 a_n + 0,2 (1 000 - a_n)$.\\
En déduire que $a_{n+1}  = 0,6 a_n + 200$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} En utilisant le résultat de la 
\textbf{partie A}, que peut-on prévoir pour l'évolution du marché des
télécommunications dans ce  pays ?\\

\noindent \textbf{PROBLÈME}\hspace*{3 cm} 10 points\\

\textit{Le but du problème est l'étude d'une fonction et le tracé de 
sa courbe représentative (\textbf{Partie B}), en s'appuyant sur l'ètude du
signe d'une fonction auxiliaire (\textbf{Partie A}).}\\ 

\noindent \textbf{Partie A}\\

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [1 ;~ +$ ~\infty[$ par 
$$f(x) = \cfrac{1}{2}  + \cfrac{-~ 1 + \ln x}{x^2}$$
Certains renseignements concernant la fonction $f$ sont consignés 
dans le tableau suivant :
\begin{center} \begin{pspicture}(5,3)
\psline(0,0)(5,0) \psline(0,2)(5,2) \psline(0,3)(5,3) 
\psline(0,0)(0,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(5,0)(5,3) 
\psline{->}(1.6,0.7)(2.5,1.8) \psline{->}(3.5,1.7)(4.5,0.4) 
\rput(0.5,2.2){$x$} \rput(1.2,2.2){1} 
\rput(3,2.2){$\textrm{e}^{\frac{3}{2}}$}
 \rput(4.5,2.2){$+\infty$} 
\rput(0.5,1){$f(x)$} \rput(1.3,0.5){$-\cfrac{1}{2}$}
 \rput(3,1.7){$f(\textrm{e}^{\frac{3}{2}})$} 
\rput(4.6,0.5){$\cfrac{1}{2}$}   
\end{pspicture} \end{center}
$\triangleright~$\textbf{1) a)} Montrer que, pour $x$ élément de 
l'intervalle [1 ;~ +$ ~\infty[$, on a : $f'(x) = \cfrac{3 - 2 \ln x}{x^3}$,
où $f'$ désigne la dérivée de  $f$.\\ 
\textbf{b)} Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$, et 
retrouver les variations de $f$ données dans le tableau (aucun calcul de
limite n'est demandé).\\ 

\noindent $\triangleright~$ \textbf{2)} Montrer que l'équation $f(x) 
= 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [1 ; e].\\

\noindent $\triangleright~$ \textbf{3)} En utilisant les résultats 
précédents et le tableau de variation de $f$, donner le signe de $f(x)$ selon
les valeurs de $x$.\\

\noindent \textbf{Partie B}\\

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [1 ;~ +$ ~\infty[$ par 
$g(x) = \cfrac{1}{2} x + 1 - \cfrac{\ln x}{x}$  et $\mathcal{C}$ sa courbe
 représentative dans le plan rapporté à un rep`ere orthonormal.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1) a)} Déterminer la limite de $g$ 
en + $ ~\infty$. (On rappelle que $\lim\limits_{x \to +\infty} \cfrac{\ln x}{x}
= 0$.) \\
\textbf{b)} Montrerque $\lim\limits_{x\to +\infty} \left[g(x) - 
\left(\cfrac{1}{2}x + 1\right)\right] = 0$.\\ 
Interpréter ce résultat pour la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 
\cfrac{1}{2}x + 1$ et la courbe $\mathcal{C}$
\textbf{c)} Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par 
rapport à la droite $\mathcal{D}$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Montrer que la fonction $f$ 
étudiée dans la \textbf{partie A} est la fonction dérivée de $g$.\\
En déduire le sens de variation de $g$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} Soit M le point de 
$\mathcal{C}$ d'abscisse e, et T la tangente à $\mathcal{C}$ en M. Justifier que
T est parallèle à $\mathcal{D}$ .\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{4)} Tracer les droites 
$\mathcal{D}$  et T dans un repère orthonormal (O ;~$\overrightarrow{\imath},
~\overrightarrow{\jmath}$) ~ (unité graphique : 2 cm).\\ 
Indiquer le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$ (on utilisera 
1,25 pour valeur approchée de $\alpha$) et la tangente à $\mathcal{C}$ en ce 
point. Enfin, tracer la courbe $\mathcal{C}$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{5)} On désigne par $\mathcal{S}$ 
le domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et les 
droites d'équations respectives $x = 1$ et $x$ = e.\\ 
Soit A la valeur exprimée en unités d'aire de l'aire du domaine 
$\mathcal{S}$.\\
\textbf{a)} Exprimer A à l'aide d'une intégrale (on ne cherchera pas 
à calculer cette intégrale dans cette question).\\
\textbf{b)} Une primitive sur l'intervalle [1 ;~ + $~\infty[$ de la 
fonction $h$ définie par $h(x) = \cfrac{\ln x}{x}$ est $H(x) = \cfrac{1}{2}(\ln x)^2$.\\
 Calculer A.\\
\footnote{\scalebox{1 -1}{Liban}}\\

\newpage
%%%% Sujet 7 Polynésie  %%%%
%%%%                    %%%%
\noindent \large{\textbf{Baccalauréat ES juin 2000}}\normalsize{}\\

\noindent \textbf{EXERCICE 1}\hspace*{3 cm} 5 points\\
\textbf{Commun à tous les candidats}\\

Un client désirant louer une voiture auprès de la société ALIZÉ doit 
formuler sa demande en précisant deux critères :\\ 
$\bullet~$la puissance du véhicule : il a le choix entre deux 
catégories A ou B;\\ 
$\bullet~$l'équipement : voiture climatisée ou non climatisée.\\
Une étude statistique portant sur un grand nombre de clients a permis 
d'établir que 60\:\% des clients louent une voiture de catégorie A et que, 
parmi eux,  20\:\% désirent la climatisation. En revanche, 60\:\% des clients 
préférant la catégorie B optent pour la climatisation.\\

\noindent$\triangleright~$\textbf{1)} Traduire à l'aide d'un arbre pondéré
la situation décrite ci-dessus.\\

\noindent$\triangleright~$\textbf{2)} Dans cette question, on donnera des 
résultats numériques exacts. On choisit au hasard un client et on définit les 
événements suivants :\\
 « Le client a choisi une voiture de catégorie A climatisée »\\
 « Le client a choisi une voiture climatisée ».\\
\textbf{a)} Déterminer la probabilité de ces événements.\\
\textbf{b)} QueIle est la probabilité pour que la voiture choisie 
soit de catégorie A, sachant qu'elle est climatisée ? \\

\noindent$\triangleright~$\textbf{3)} On suppose que le nombre des clients est 
suffisamment important pour que la probabilité de choisir une voiture
climatisée de catégorie A soit, pour chacun d'eux, celle obtenue à la question
2 et que leurs choix sont indépendants les uns des autres. On choisit au hasard
trois clients.  Soit $X$ le nombre de voitures de catégorie A climatisées
louées par ces trois clients.\\ 
\textbf{a)} Montrer que la probabilité de l'événement $[X = 3]$ est 
$(0,12)^3$.\\ 
\textbf{b)} Déterminer la probabilité de l'événement $[X = 0]$ et en 
donner l'arrondi à deux décimales.\\
\textbf{c)} Déterminer la probabilité de l'événement « Au moins un 
des clients a choisi une voiture de catégorie A climatisée » et en donner
l'arrondi à deux décimales.
\\ 

\noindent \textbf{EXERCICE 2} \hspace*{3 cm}5 points\\
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}\\

\textit{Tous les résultats pourront être obtenus à I'aide de 
calculatrice sans justification seront arrondis à deux décimales.}\\ 
Chaque trimestre l'INSEE publie la moyenne annuelle des quatre 
derniers indices trimestriels du coût de la construction des immeubles à
d'habitation (base 100 au 4$^{\textrm{e}}$ trimestre 1953). Le tableau suivant
donne ces moyennes pour les premiers trimestres des années 1995 à 1999.
$$\begin{array}{|l | c | c | c | c | c|} \hline
\textrm{Année} &1995 &	1996 &	1997 &	1998 &	1999\\ \hline
\textrm{rang de l'année}~ x_i &1 &	2&	3&	4&	5\\ \hline
\textrm{moyenne des indices}~ y_i&1\:017& 1\:024,5& 1\:038& 1\:063,25 
&1\:065\\  \hline
\end{array}$$
(Source: INSEE)\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Déterminer le c¦fficient de corrélation 
linéaire de cette série statistique. Un ajustement affine est-il envisageable ? 
Expliquer pourquoi.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Donner une équation de la droite 
d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.\\
 
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} En supposant que l'évolution se 
poursuive de la même façon, estimer la moyenne des indices prévisible au 
$1^{\textrm{er}}$ trimestre 2000.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{4)} Monsieur Dupont loue à monsieur Lejeune, 
3 000 F par mois, un studio à compter du $1^{\textrm{er}}$ août 1999. Le
contrat prévoit une révision annuelle des loyers au $1^{\textrm{er}}$ 
août : les loyers sont proportionnels aux moyennes des indices du 
coût de la construction du premier trimestre de l'année (la moyenne des
indices correspondant au loyer initial est $1\:065$).\\ 
Le propriétaire envisage de fixer le loyer à $3\:060$ F à compter du 
$1^{\textrm{er}}$ août 2000.
 Cette augmentation serait-elle conforme au contrat si l'on tient 
compte de la moyenne des indices obtenue à la question \textbf{3)} ?\\

\noindent \textbf{EXERCICE 2} \hspace*{3 cm}5 points\\
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}\\

\noindent Madame $X$ décide de verser 5\:000 F, chaque année, le 31 
décembre, sur un compte en assurance-vie, à partir de l'année 1999. Toutes
les sommes déposées sont rémunérées au taux annuel de 5\: \%, à
intérêts composés, ce qui signifie que chaque année, les 
intérêts sont ajoutés au capital le 31 décembre et produisent à leur tour
des intérêts.\\ 
On désigne par $C_n~ (n$ entier positif ou nul) le capital, exprimé en
francs, dont Madame $X$ dispose sur son compte au $1^{\textrm{er}}$ 
janvier de l'année (2000 + $n$). On a donc $C_0 = 5\:000$.\\ 

\noindent $\triangleright~$\textbf{1) a)} Montrer que le capital 
acquis au $1^{\textrm{er}}$ janvier 2001 est 10\:250 F.\\ 
\textbf{b)} Établir que, pour tout entier $n$ positif ou nul :\\
$C_{n+1}  = 1,05 C_n + 5 000$. \\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2) a)} On pose $u_n = C_n + 
100\:000$ , pour $n$ entier positif ou nul. Établir une relation entre
$u_{n+1}$ et $u_n$. En déduire que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique
dont on déterminera la raison et le premier terme.\\
\textbf{b)} Exprimer $(u_n)$ en fonction de $n$.\\
\textbf{c)} Montrer que $C_n = 105\:000 (1,05)^n - 100\:000$ .\\ 
\textbf{d)} En quelle année le capital acquis dépasse-t-il 200\:000 F 
pour la première fois ?\\
 
\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} On pose S =$ 5\:000 + 
5\:000(1,05) + 5\:000(1,05)^2 + \cdots +  5\:000(1,05)^{19} + 5\:000(1,05)^{20}$.\\
Calculer la valeur exacte de S et montrer que S = $C_{20}$.\\

\noindent \textbf{PROBLÈME} \hspace*{3 cm} 10 points\\

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0~ ;~ +~\infty[$	
par :
$$f(x) = x + 2 \cfrac{\textrm{e}^x - 1}{e^x + 1}$$
et on note $(\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan 
rapporté à un repère orthonormal (unité graphique 2 cm).\\
 \textbf{A. Étude de} \boldmath$f$ \unboldmath  \textbf{sur} \boldmath
 $[0~ ;~  +~\infty[$\unboldmath\\
 
\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Justifier que $f (x) = x + 2 - 
\cfrac{4}{\textrm{e}^x + 1}$ puis déterminer la limite de $f$ en $+ ~\infty$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Montrer que la droite (D) 
d'équation $y = x + 2$ est asymptote à $(\mathcal{C}$) en $+ ~\infty$.\\
Étudier la position de  $(\mathcal{C}$) par rapport à (D).\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{3)} On désigne par $M$ le point de 
la courbe $(\mathcal{C}$) d'abscisse $x$ et $N$ le point de (D) de même 
abscisse $x$. La distance entre les points $M$ et $N$ est le nombre $MN = 
\cfrac{4}{\textrm{e}^x + 1}$.
Résoudre l'inéquation $MN < 10^{-~1}$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{4)} Calculer $f'(x)$ puis dresser 
le tableau de variation de $f$ sur $[0~ ;~ +~\infty[$.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{5)} Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ 
admet dans l'intervalle  $[0~ ;~ 1]$ une solution unique $x_0$ dont on 
dééterminera un encadrement à $10^{-~1}$ prés.\\

\noindent \textbf{B. Représentation de la courbe} \boldmath 
$(\mathcal{C})$ \unboldmath\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Donner le c¦fficient directeur 
de la tangente (T) à $(\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.\\

\noindent $\triangleright~$\textbf{2)} Tracer (T), (D) et la partie 
de la courbe $(\mathcal{C}$ correspondant aux points dont l'abscisse appartient
à $[0~ ;~ 4]$. 
Faire figurer  le point de la courbe d'abscisse $x_0$ sur le schéma.\\

\noindent \textbf{C. Primitive de} \boldmath $f$ \unboldmath\\ 

\noindent $\triangleright~$\textbf{1)} Soit $g$ la fonction définie 
sur $[0~ ;~  +~