Source de AmeriqueSudSnov2003.tex
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%24
\begin{document}
\markboth{Terminale S - Baccalauréat novembre 2003}{Terminale S -
Baccalauréat novembre 2003}
\thispagestyle{empty}
\noindent \doublebox{\hspace{0,2cm} \Large{ \textbf{BACCALAURÉAT série S
novembre 2003}}\hspace{0,2cm}}
\vspace{0,9cm}
\noindent \textbf{Exercice 1 \hspace{2 cm} (4 points)}
\noindent \textbf{Commun à tous les candidats}
Un sac contient 4 jetons numérotés respectivement $-1,~ 0,~ 0,~ 1$ et
indiscernables au toucher.
\noindent On tire un jeton du sac, on note son numéro $x$ et on le remet
dans le sac ; on tire un second jeton, on note son numéro $y$ et on le
remet dans le sac ; puis on tire un troisième jeton, on note son numéro
$z$ et on le remet dans le sac.
\noindent Tous les jetons ont la même probabilité d'être tirés.
\noindent À chaque tirage de trois jetons, on associe, dans l'espace
muni d'un repère orthonormal
$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},
~\overrightarrow{k}\right)$ le point $M$ de coordonnées $(x,~ y,~ z)$.
\noindent Sur le graphique joint en annexe page 6, sont placés les 27
points correspondant aux différentes positions possibles du point $M$.
Les coordonnées du point A sont $(1~;~ -1~;~ -1)$ dans le repère
$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},
~\overrightarrow{k}\right)$.
\noindent On note $\mathcal{C}$ le cube ABCDEFGH.
\noindent \textbf{1)} Démontrer que la probabilité que le point $M$
soit en A est égale à $\cfrac{1}{64}$.
\noindent \textbf{2)} On note E$_1$ l'évènement : « $M$ appartient à
l'axe des abscisses ».
\noindent Démontrer que la probabilité de E$_1$ est égale à
$\cfrac{1}{4}$.
\noindent \textbf{3)} Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par O et
orthogonal au vecteur $\overrightarrow{n} (1~;~ 1~;~1)$.
\textbf{a)} Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
\textbf{b)} Tracer en couleur sur le graphique de la page 5, la section
du plan $\mathcal{P}$ et du cube $\mathcal{C}$. (On ne demande pas de
justification).
\textbf{c)}On note E$_2$ l'évènement : « $M$ appartient à
$\mathcal{P}$ ».
Quelle est la probabilité de l'évènement E$_2$ ?
\noindent \textbf{4)} On désigne par $\mathcal{B}$ la boule de centre
O et de rayon 1,5 (c'est-à-dire l'ensemble des points $M$ de l'espace
tels que O$M \leqslant 1,5$).
\noindent On note E$_3$ l'évènement : « $M$ appartient à la boule
$\mathcal{B}$ ».
\noindent Déterminer la probabilité de l'évènement E$_3$.
\vspace{2cm}
\begin{flushright}\textbf{T.S.V.P.} \end{flushright}
\newpage
\noindent \textbf{Exercice 2 \hspace{2cm} (5 points)}
\noindent \textbf{Enseignement obligatoire}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonornial direct
$\left(\text{O}~; ~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$ (unité
graphique 4 cm).
\noindent Soit I le point d'affixe 1. On note $\mathcal{C}$ le cercle
de diamètre [OI] et on nomme son centre $\Omega$.
\noindent \textbf{Partie I}
\noindent On pose $a_0 = \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{2}\text{i}$ et on note
A$_0$ son image.
\noindent \textbf{1)} Montrer que le point A$_0$ appartient au cercle
$\mathcal{C}$.
\noindent \textbf{2)} Soit B le point d'affixe $b$, avec $b = -1 +
2\text{i}$ , et B$'$ le point d'affixe $b'$ telle que $b'= a_0b$.
\textbf{a)} Calculer $b'$.
\textbf{b)} Démontrer que le triangle OBB$'$ est rectangle en B$'$.
\noindent \textbf{Partie II}
Soit $a$ un nombre complexe non nul et différent de 1, et $A$ son image
dans le plan complexe.
\noindent À tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle ; on associe le point
$M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = az$.
\noindent \textbf{1)} On se propose de déterminer l'ensemble des
points $A$ tels que le triangle O$MM'$ soit rectangle en $M'$.
\textbf{a)} Interpréter géométriquement arg$\left( \cfrac{a - 1}{
a}\right)$.
\textbf{b)} Montrer que $\left(\overrightarrow{M'\text{O}},~
\overrightarrow{M'M}\right) = \text{arg}\left(\cfrac{a - 1}{a}\right) + 2k\pi
\quad (\text{où}~ k \in \Z)$.
\textbf{c)} En déduire que le triangle O$MM'$ est rectangle en $M'$ si
et seulement si $A$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ privé de O et de
I.
\noindent \textbf{2)} Dans cette question, $M$ est un point de l'axe
des abscisses, différent de O.
\noindent On note $x$ son affixe.
\noindent On choisit $a$ de manière que $A$ soit un point de
$\mathcal{C}$ différent de I et de O.
\noindent Montrer que le point $M'$ appartient à la droite (O$A$).
\noindent En déduire que $M'$ est le projeté orthogonal de $M$ sur cette
droite.
\vspace{2cm}
\begin{flushright}\textbf{T.S.V.P.} \end{flushright}
\newpage
\noindent \textbf{Exercice 2 \hspace{2cm} (5 points)}
\noindent \textbf{Enseignement de spécialité}
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct
$\left(\text{O}~; ~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$ (unité
graphique : 1 cm).
\noindent On note $r_1$ la rotation de centre O et d'angle
$\cfrac{\pi}{3}$ et $r_2$ la rotation de centre O et d'angle
$\cfrac{\pi}{5}$.
\noindent \textbf{Partie A}
\noindent \textbf{1)} Résoudre dans $\Z \times \Z$ l'équation ( E) :
$3y = 5(15 - x)$.
\noindent \textbf{2)} Soit I le point d'affixe 1.
\noindent On considère un point $A$ mobile sur le cercle trigonométrique
$\mathcal{C}$ de centre O.
\noindent Sa position initiale est en I.
\noindent On appelle $d$ la distance, exprimée en centimètres, qu'a
parcourue le point $A$ sur le cercle $\mathcal{C}$ après avoir subi $p$
rotations $r_1$ et $q$ rotations $r_2$ \quad ($p$ et $q$ étant des
entiers naturels).
\noindent On convient que lorsque $A$ subit la rotation $r_1$
(respectivement $r_2$), il parcourt une distance de $\cfrac{\pi}{3}$cm
(respectivement $\cfrac{\pi}{5}$ cm).
\noindent Déterminer toutes les valeurs possibles de $p$ et $q$ pour
lesquelles le point $A$ a parcouru exactement deux fois et demie la
circonférence du cercle $\mathcal{C}$ à partir de J.
\noindent \textbf{Partie B}
On note $h_1$ l'homothétie de centre O et de rapport 4 et $h_2$
l'homothétie de centre O et de rapport $-6$. On pose $s_1 = r_1 \circ
h_1$ et $s_2 =r_2 \circ h_2$.
\noindent \textbf{1)} Préciser la nature et les éléments
caractéristiques de $s_1$ et $s_2$.
\noindent \textbf{2)} On pose :
$S_m = s_1 \circ s_1 \cdots \circ s_1$ (composée de $m$ fois $s_1$,~$m$
étant un entier naturel non nul),
$S'_n = s_2 \circ s_2 \cdots \circ s_2$ (composée de $n$ fois $s_2$,~$n$
étant un entier naturel non nul), et $f = S'_n s_1 \circ S_m$.
\textbf{a)} Justifier que $f$ est la similitude directe de centre O, de
rapport $2^{2m+n}~\times~ 3^n$ et d'angle $m\cfrac{\pi}{3} +
n\cfrac{6\pi}{5}$.
\textbf{b)} $f$ peut-elle être une homothétie de rapport 144 ?
\textbf{c)} On appelle M le point d'affixe 6 et M$'$ son image par $f$.
Peut-on avoir OM$' = 240$ ?
Démontrer qu'il existe un couple d'entiers naturels unique $(m,~n)$ tel
que OM$' = 576$.
Calculer alors la mesure principale de l'angle orienté
$\left(\overrightarrow{u},~ \overrightarrow{\text{OM}'}\right)$.
\vspace{2cm}
\begin{flushright}\textbf{T.S.V.P.} \end{flushright}
\newpage
\noindent \textbf{Problème\hspace{2cm} (11 points)}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
\[ f(x) =\cfrac{1}{\text{e}^{-x} + \text{e}^{x}} \]
\noindent et on désigne par $\Gamma$ sa courbe représentative dans un
repère orthogonal
$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$.
\noindent \textbf{Partie A}
\noindent \textbf{1)} Étudier la parité de $f$. Que peut-on en déduire
pour la courbe $\Gamma$ ?
\noindent \textbf{2)} Démontrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul,
$\text{e}^{-x} \leqslant \text{e}^x$.
\noindent \textbf{3) a)} Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\textbf{b)} Étudier les variations de $f$ sur $[0,~ + \infty[$.
\noindent \textbf{4)} On considère les fonctions $g$ et $h$ définies
sur $[0~ ;~ + \infty[$ par $g(x) = \cfrac{1}{\text{e}^x}$ et $h(x) =
\cfrac{1}{2\text{e}^x}$.
\noindent Sur l'annexe de la page 7 sont tracées, dans le repère
$\left(\text{O}~;~
\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$ les courbes
représentatives de $g$ et $h$, notées respectivement $\Gamma_1$ et
$\Gamma_2$.
\textbf{a)} Démontrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul, $h(x)
\leqslant f(x) \leqslant g(x)$.
\textbf{b)} Que peut-on en déduire pour les courbes $\Gamma,~ \Gamma_1$, et
$\Gamma_2$ ?
Tracer $\Gamma$ sur l'annexe de la page 7, en précisant sa tangente au
point d'abscisse $0$.
\noindent \textbf{Partie B}
Soit $\left(I_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par : $I_n =
\displaystyle\int_n^{n+1}\: f(x)\:\text{d}x$.
\noindent \textbf{1)} Justifier l'existence de $\left(I_n\right)$, et
donner une interprétation géométrique de $\left(I_n\right)$.
\noindent \textbf{2) a)} Démontrer, que pour tout entier naturel
$n,~f(n +1)
\leqslant I_n \leqslant f(n)$.
\textbf{b)} En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante.
c) Démontrer que la suite $\left(I_n\right)$ est
convergente et determiner sa limite.
\noindent \textbf{Partie C}
Soit $\left(J_n\right)$ la suite définie sur $\N$ par : $J_n =
\displaystyle\int_0^{n}\: f(x)\:\text{d}x$.
\noindent \textbf{1)} En utilisant l'encadrement obtenu dans la question
\textbf{A) 4) a)}, démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
\[\cfrac{1}{2}\left(1 - \text{e}^{-n}\right) \leqslant 1 - \text{e}^{-n}
\leqslant 1.\]
\noindent \textbf{2)} Démontrer que la suite $\left(J_n\right)$ est
croissante.
\noindent En déduire qu'elle converge.
\noindent \textbf{3)} On note $L$ la limite de la suite $\left(J_n\right)$ et on
admet le théorème suivant :
« Si $u_n, ~v_n$ et $w_n$ sont trois suites convergentes de limites
respectives $a,~ b$ et $c$ et si, à partir d'un certain rang on a pour
tout $n,~u_n
\leqslant v_n \leqslant w_n$, alors $a \leqslant b \leqslant c$ ».
\noindent Donner un encadrement de $L$.
\noindent \textbf{4)} Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par
\[u(x) = \cfrac{1}{1+ x^2}.\]
\noindent On note $v$ la primitive de $u$ sur $\R$ telle que $v(1) =
\cfrac{\pi}{4}$.
\noindent On admet que la courbe représentative de $v$ admet en $+
\infty$ une asymptote d'équation $y = \cfrac{\pi}{2}$.
\textbf{a)} Démontrer que, pour tout réel $x,~f(x) = \cfrac{\text{e}^x}
{\left(\text{e}^x\right)^2 +1}$.
\textbf{b)} Démontrer que, pour tout réel $x,~ f$ est la dérivée de la
fonction $x \mapsto v\left(\text{e}^x\right)$.
\textbf{c)} En déduire la valeur exacte de $L$.
\vspace{1cm} \noindent \footnote{Amérique du Sud série S, novembre 2003}
\newpage
\begin{center}\textbf{Annexe de l'exercice 1}
\vspace{0,8cm}
\textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie}
\vspace{3cm}
\begin{pspicture}(-6.3,-6.1)(6.3,6.1)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(4.7,-0.35)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(-1.6,-0.9)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,4.9)
\psline(3.2,-6)(3.2,3.7)(6.3,5.4)
\psline(-6.3,-5.4)(3.2,-6)(6.3,-4.4)(6.3,5.4)(-3.2,6)(-6.3,4.3)(-6.3,-5.4)
\psline(4.7,-5.2)(4.7,4.6)(-4.7,5.2)
\psline(-6.3,-0.5)(3.2,-1.2)(6.3,0.5)
\psline(3.2,3.7)(-6.3,4.3)
\psline(-1.55,-5.75)(-1.55,4)(1.55,5.75)
\psline[linestyle=dotted](4.7,-5.3)(-4.7,-4.5)(-4.7,5.2)
\psline[linestyle=dotted](-4.7,0.3)(0,0)
\psline[linestyle=dotted](6.3,-4.4)(-3.2,-3.7)(-3.2,6)
\psline[linestyle=dotted](-1.55,-5.8)(1.5,-4)(1.5,5.7)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(0,-4.9)
\psline[linestyle=dotted](-6.3,-0.5)(-3.2,1.2)(6.3,0.5)
\psline[linestyle=dotted](-6.3,-5.4)(-3.2,-3.7)
\psline[linestyle=dotted](0,0)(1.5,0.9)
\uput[ul](0,0){O} \uput[dl](-6.3,-5.4){A} \uput[dr](3.2,-6){B}
\uput[dr](6.3,-4.4){C} \uput[ul](-3.2,-3.7){D} \uput[ul](-6.4,4.3){E}
\uput[u](3.2,3.7){F} \uput[ur](6.3,5.4){G} \uput[u](-3.2,6){H}
\uput[u](-1,-0.6){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[u](2.4,0){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[r](0.2,3){$\overrightarrow{k}$}
\qdisk(-4.7,0.3){2pt} \qdisk(-3.2,1.2){2pt} \qdisk(1.5,0.9){2pt}
\qdisk(-3.2,-3.7){2pt} \qdisk(-4.7,-4.5){2pt} \qdisk(0,-4.9){2pt}
\qdisk(1.5,-4){2pt} \qdisk(4.7,-0.3){2pt} \qdisk(4.7,-5.25){2pt}
\qdisk(-1.55,-5.7){2pt}
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage
\begin{center}\textbf{Annexe du problème} \vspace{0,8cm}
\textbf{Cette page sera complétée et remise avec la copie}
\vspace{2cm}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=10cm}
\begin{pspicture}(0,-0.2)(6,1.1)
\psgrid[subgriddiv=1](0,-0.2)(0,0)(6,1.1)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(6,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,-0.2)(0,1.1)
\multido{\n=-0.2+0.1}{14}{\psline(0,\n)(6,\n)}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline(\n,1)(\n,1.1)}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline(\n,0)(\n,-0.2)}
\psplot{0}{6}{1 2.71828 x exp div}
\psplot{0}{6}{1 2.71828 x exp 2 mul div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
— Syracuse — Dernière modification : 4 décembre 2003 (0.07s - 3831375 - 4 décembre 2008)
