\documentclass[12pt]{article} \usepackage{t1enc} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[french]{babel} \usepackage{palatino,pifont,macros} \usepackage{pdfslide} \pagestyle{plain} \title{Les coniques} \author{Jean-Michel Sarlat} \date{15 mai 2OO1} \definecolor{gris}{gray}{0.8} \definecolor{rgris}{rgb}{.7,.4,.4} \let\oldtextbf\textbf \def\textbf#1{\oldtextbf{\color{rgris}#1}} \begin{document} \begin{center} {\Large Les coniques}\\[1cm] \rule{.8\linewidth}{0.5mm}\\[5mm] \textbf{Jean-Michel Sarlat}\\ Lycée Louis Armand -- POITIERS\\ \textit{25 mai 2001} \end{center} \tableofcontents \section{Définition par foyer et directrice} \noindent Soit $\mathcal{D}$ une droite du plan, $F$ un point non situé sur $\mathcal{D}$ et $e$ un réel strictement positif. L'ensemble $\mathcal{C}_{e}$ des points $M$ tels que~: $$\frac{MF}{MH}=e$$ où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{D}$ est la \textbf{conique} d'\textbf{excentricité} $e$, de \textbf{foyer} $F$ et de \textbf{directrice} $\mathcal{D}$.\\[1cm] La perpendiculaire $\Delta$ à $\mathcal{D}$ passant par $F$ est, de façon immédiate, un axe de symétrie de $\mathcal{C}_{e}$, c'est l'\textbf{axe focal} de la conique. \newpage \begin{figure}[hb] \centering \parbox{10cm}{\includegraphics[width=9.9cm]{coniques-web-1.pdf}} \caption{\'Eléments d'une conique} \end{figure} \noindent L'équation cartésienne de $\mathcal{C}_{e}$ dans le repère orthonormé $(F,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ est~: \begin{center} $\displaystyle (1-e^2)X^2+Y^2-2e^2\alpha X -e^2\alpha^2=0$ \end{center} Son équation polaire suivant l'axe $(F,\vec{\imath})$ se met sous la forme~: \begin{center} $\displaystyle \frac1{r}=\frac1{\alpha e}(1-e\cos\theta)$ \end{center} Dans ces deux équations $\alpha$ représente la distance du foyer $F$ à la directrice $\mathcal{D}$ (i.e. $\alpha=KF$). \section{Parabole} \noindent Dans le cas particulier où l'excentricité $e$ est égale à $1$, la conique est une \textbf{parabole}. Un point se distingue de tous les autres, c'est le point $S$~: \textbf{sommet} de la parabole, il est situé au milieu de $[KF]$. Comme autres points particuliers, on note $M_{1}$ et $M_{2}$ les intersections de la parabole avec la parallèle à la directrice passant par $F$.\\[5mm] La longueur $p$ telle que~: \begin{center} $M_{1}M_{2}=2KF=2p$ \end{center} est le \textbf{paramètre} de la parabole, c'est le coefficient $\alpha$ du paragraphe précédent. \begin{figure}[ht] \begin{center} \parbox{10cm}{\includegraphics[width=9.9cm]{coniques-web-2.pdf}} \end{center}\caption{Parabole} \end{figure} Dans le repère ortho\-normé $(S,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, l'équation cartésienne de la parabole est~: \begin{center} $Y^2=2pX$ \end{center} Un paramètrage admissible est alors~: $\displaystyle X=\frac1{2p}t^2,\, Y=t$. \section{Coniques à centre} \noindent On suppose maintenant $e\ne 1$. L'abscisse, dans $(F,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, des points d'intersection de $\mathcal{C}_{e}$ avec $\Delta$ vérifie~: $$X^2=e^2(X+\alpha)^2\iff \left((1-e)X-\alpha e\right)\left((1+e)X+\alpha e\right)=0$$ Il y à donc deux points d'intersections, d'abscisses $\displaystyle X_{1}=\frac{\alpha e}{1-e}$ et $\displaystyle X_{2}=-\frac{\alpha e}{1+e}$; ce sont les \textbf{sommets} de la conique. L'équation de $\mathcal{C}_{e}$ peut s'écrire~: $$Y^2+(1-e^2)(X-X_{1})(X-X_{2})=0$$ \newpage \noindent En conséquence~: \begin{itemize} \item $\mathcal{C}_{e}$ est symétrique par rapport au point $O$ de $\Delta$ d'abscisse $$\frac12(X_{1}+X_{2})=\frac{\alpha e^2}{1-e^2}$$ \item $\mathcal{C}_{e}$ est symétrique par rapport à la droite $\delta$ perpendiculaire à $\Delta$ en~$O$ \end{itemize} \vspace{3mm} On dit alors que $O$ est le \textbf{centre} et $\delta$ l'\textbf{axe non focal} de la conique. La conique est une \textbf{conique à centre}, elle possède donc de façon immédiate deux couples \emph{foyer-directrice}. \section{Ellipse} \noindent Une conique à centre dont l'excentricité $e$ est inférieure à $1$ est une \textbf{ellipse}.\\ On note $A$ et $A'$ les sommets, la grandeur $a$ telle que~: \begin{center} $OA=OA'=a$ \end{center} est le \textbf{demi-grand axe}. Les intersections de l'ellipse avec l'axe non focal sont $B$ et $B'$ (sommets se\-condaires de l'ellipse), la grandeur $b$ telle que~: \begin{center} $OB=OB'=b$ \end{center} est le \textbf{demi-petit axe}. On complète ces notations en posant~: \begin{center} $OF=OF'=c$ \end{center} La grandeur $c$ ne possède pas de nom particulier, en fait elle se déduit de $a$ et $b$, on la retrouve dans les relations suivantes qui sont \emph{fondamentales} pour caractériser une ellipse et \emph{placer} ses éléments~: \begin{center} \fbox{\(c=ae\quad b=a\sqrt{1-e^2}\quad a^2=b^2+c^2\)} \end{center} \begin{figure}[ht] \centering \parbox{10cm}{\includegraphics[width=9.9cm]{coniques-web-3.pdf}} \caption{Ellipse} \end{figure} On note par ailleurs que la distance du centre aux directrices est égale~à $$OK=OK'=\frac{a}{e}$$ Rapportée à ses axes (repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}$), l'équation d'une ellipse est~: $$\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1\hbox{ \emph{(équation réduite)}}$$ elle admet le paramètrage~: $$X=a\cos t,\, Y=b\sin t$$ et la définition \textbf{bifocale}~: $$\mathcal{C}_{e}=\{M,\, MF+MF'=2a\}$$ \section{Hyperbole} \noindent Une conique à centre dont l'excentricité $e$ est supérieure à $1$ est une \textbf{hyperbole}.\\ Contrairement à l'ellipse, l'hyperbole ne rencontre pas l'axe $\delta$, elle ne possède que deux sommets~: $A$ et $A'$. On note $a$ et $c$ les grandeurs telles que~: \begin{center} $OA=OA'=a$\\ $OF=OF'=c$ \end{center} On vérifie que l'on a encore~: \begin{center} $\displaystyle OK=OK'=\frac{a}{e}$ \end{center} les relations fondamentales étant~: \begin{center} \fbox{\(c=ae\quad b=a\sqrt{e^2-1}\quad c^2=a^2+b^2\)} \end{center} \begin{figure}[hb] \centering \parbox{10cm}{\includegraphics[width=9.9cm]{coniques-web-4.pdf}} \caption{Hyperbole} \end{figure} Rapportée à ses axes (repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}$), l'équation d'une hyperbole est~: $$\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1\hbox{ \emph{(équation réduite)}}$$ ses asymptotes ont pour équation~: $$\frac{X}{a}-\frac{Y}{b}=0\hbox{ et }\frac{X}{a}+\frac{Y}{b}=0 \quad \left(\hbox{facteurs de }\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=0\right)$$ Si les asymptotes sont perpendiculaires ($e=\sqrt2,\, a=b$) l'hyperbole est \textbf{équilatère}.\\ Par ailleurs une hyperbole admet les paramètrages~: $$(X=\frac{a}{\cos t},\, Y=b\tan t)\hbox{ ou }(X=\pm a\ch t,\, Y= b \sh t) $$ et la définition \textbf{bifocale}~: $$\mathcal{C}_{e}=\{M,\, \vert MF- MF'\vert =2a\}$$ \section{Cercle} \noindent Le cercle n'apparaît pas dans la classification précédente, il n'admet pas de définition par foyer-directrice, ni de définition bifocale. Il représente un cas particulier de l'ellipse, lorsque $a=b$, c'est à dire lorsque $e=0$. En examinant de près les éléments de l'ellipse on peut présenter le cercle comme étant une ellipse dont les directrices sont repoussées à l'infini alors que les foyers se confondent avec le centre. Dans la suite on considère que le cercle est une conique, en fait si on revient à la définition initiale des coniques (\textit{c.f.} section compléments), le cercle ne se présente pas comme une exception. \section{Courbes du second degré} \noindent $\mathcal{P}$~: plan euclidien rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$.\\[0.2cm] \fcolorbox{gris}{gris}{\parbox{\textwidth}{\textbf{Définition} \it Une courbe $\mathcal{C}$ de $\mathcal{P}$ est du \textbf{second degré} si, et seulement si elle admet une équation cartésienne de la forme~: $$\alpha x^2+2\beta xy+\gamma y^2+ax+by+c=0$$ où $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $a$, $b$ et $c$ sont des réels tels que $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\ne 0$. }}\\[0.2cm] On montre que les courbes du second degré sont, soit des coniques, soit des réunions de points ou de droites ou soit ... le vide !\\[0.2cm] On classe les courbes du second degré de la façon suivante~: \begin{enumerate} \item Si $\beta^2-\alpha\gamma>0$, $\mathcal{C}$ est du \emph{genre hyperbole}, \item Si $\beta^2-\alpha\gamma=0$, $\mathcal{C}$ est du \emph{genre parabole}, \item Si $\beta^2-\alpha\gamma<0$, $\mathcal{C}$ est du \emph{genre ellipse}. \end{enumerate} \noindent Soit $\lambda$ et $\mu$ les valeurs propres de $A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\ \beta&\gamma\end{pmatrix}$, c'est à dire les racines du polynôme \emph{caractéristique}~: $X^2-(\alpha+\gamma)X+(\alpha\gamma-\beta^2)$. Il est facile de vérifier que $\lambda$ et $\mu$ existent et sont réels.\\[1cm] \rule{2mm}{2mm} Cas $\lambda=\mu$.\\ Ce cas correspond à $\alpha=\gamma$ et $\beta=0$, l'équation de $\mathcal{C}$ peut se mettre sous la forme~: $$x^2+y^2+a'x+b'y+c'=0$$ On se retrouve donc en terrain connu~: $\mathcal{C}$ est un cercle si $4c'<a'^2+b'^2$, réduit à un point si $4c'=a'^2+b'^2$ et vide si $4c'>a'^2+b'^2$ !\\ \rule{2mm}{2mm} Cas $\lambda\ne \mu$.\\ Soient $\vect{I}$ et $\vect{J}$ des vecteurs propres normés associés à $\lambda$ et $\mu$, ils sont orthogonaux. Dans le repère $(O,\vect{I},\vect{J})$ la courbe $\mathcal{C}$ possède une équation de la forme~: $$\lambda X^2+\mu Y^2+2uX+2vY+w=0$$ \newpage \begin{itemize} \item[{\large\ding{43}}] \fbox{$\beta^2-\alpha\gamma>0$} $\lambda$ et $\mu$ sont non nuls et de signes contraires, on suppose $\lambda>0$. Soit $\Omega(-\frac{u}{\lambda},-\frac{v}{\mu})$ dans $(O,\vect{I},\vect{J})$. Dans $(\Omega,\vect{I},\vect{J})$, l'équation de $\mathcal{C}$ est~: $$\lambda X'^2 + \mu Y'^2+h=0$$ \begin{itemize} \item Si $h=0$, $\mathcal{C}$ est la réunion des deux droites dont les équations sont~: $$\sqrt{\lambda}X'+\sqrt{-\mu}Y'=0\, \hbox{ et }\, \sqrt{\lambda}X'-\sqrt{-\mu}Y'=0$$ La courbe est dite hyperbole dégénérée en deux droites. \item Si $h\ne 0$, $\mathcal{C}$ est une hyperbole dont on peut obtenir aisément l'équation réduite en tenant compte du signe de $h$ (il y à deux orientations possibles pour l'axe focal). \end{itemize} \end{itemize} \newpage \begin{itemize} \item[{\large\ding{43}}] \fbox{$\beta^2-\alpha\gamma=0$} $\lambda$ ou $\mu$ est nul, on suppose $\lambda=0$. \begin{itemize} \item Si $u=0$, l'équation de $\mathcal{C}$ devient $\mu Y^2+2vY+w=0$; $\mathcal{C}$ est soit la réunion de deux droites parallèles ($v^2-w>0$), soit une droite ($w=v^2$), soit le vide ($v^2-w<0$). \item Si $u\ne 0$, $\mathcal{C}$ est une parabole. \end{itemize} \end{itemize} \begin{itemize} \item[{\large\ding{43}}] \fbox{$\beta^2-\alpha\gamma<0$} $\lambda$ et $\mu$ sont de même signe. On suppose $\lambda,\mu >0$. Soit $\Omega(-\frac{u}{\lambda},-\frac{v}{\mu})$ dans $(O,\vect{I},\vect{J})$. Dans $(\Omega,\vect{I},\vect{J})$, l'équation de $\mathcal{C}$ est~: $$\lambda X'^2 + \mu Y'^2+h=0$$ \begin{itemize} \item Si $h>0$, $\mathcal{C}$ est vide (ellipse imaginaire). \item Si $h=0$, $\mathcal{C}$ est réduite à un point ($\Omega$). \item Si $h<0$, $\mathcal{C}$ est l'ellipse dont l'équation réduite est~: $$\frac{x'^2}{(\sqrt{-\frac{h}{\lambda}})^2}+ \frac{y'^2}{(\sqrt{-\frac{h}{\mu}})^2}=1$$ \end{itemize} \end{itemize} \newpage \paragraph{NOTE IMPORTANTE.} Toute l'activité qui, en partant de l'équation d'une courbe du second degré, à l'aide de changement de repère et de réécritures d'équations permet l'identification de la courbe porte le nom de \textbf{réduction}. Aucune formule n'est à retenir avec l'intention de donner directement la nature de la courbe, il faut effectuer complètement la réduction dans chaque cas d'étude. \paragraph{Exemple traité.} Soit à reconnaître la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $$xy+3x+5y-4=0$$ On a~: $1^2 -0\times 0=1>0$ donc la courbe est du genre hyperbole. les racines de $X^2-\frac14$ sont $+\frac12$ et $-\frac12$. Les vecteurs associés à ces valeurs sont~: $$\vect{I}=\frac{\sqrt2}2\vec{\imath}+\frac{\sqrt2}2\vec{\jmath}\, \hbox{ et }\, \vect{I}=-\frac{\sqrt2}2\vec{\imath}+\frac{\sqrt2}2\vec{\jmath}$$ Les formules de changement de repère de $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ à $(O,\vect{I},\vect{J})$ sont~: $$x=\frac{\sqrt2}2X-\frac{\sqrt2}2Y\, \hbox{ et }\, y=\frac{\sqrt2}2X+\frac{\sqrt2}2Y$$ Dans le nouveau repère, $\mathcal{C}$ à pour équation~: $$X^2-Y^2+8\sqrt{2}X+2\sqrt{2}Y-8=0\leqno{(1)}$$ Soit $x'=X+4\sqrt2$ et $y'=Y-\sqrt2$, alors \begin{eqnarray*} (1)&\iff& x'^2-y'^2-38=0\\ &\iff& \frac{x'^2}{38}-\frac{y'^2}{38}=1 \end{eqnarray*} $\mathcal{C}$ est l'hyperbole de centre $\Omega(-4\sqrt2,\sqrt2)$ dans le repère $(O,\vect{I},\vect{J})$, d'axe focal $(O,\vect{I})$. \begin{figure}[hb] \centering \parbox{10cm}{\includegraphics[width=9.9cm]{coniques-web-5.pdf}} \end{figure} \section{Compléments} \subsection{Sections coniques} % \begin{wrapfigure}[12]{r}{7cm} % \centering % \fig{0.35}{coniques.eps} % \end{wrapfigure} \noindent Une \textbf{section conique} ou une conique est la section d'un cône de révolution par un plan. Les coniques constituent une famille de courbes qui contient les cercles, les ellipses, les paraboles et les hyperboles. \\[0.1cm] L'étude des coniques comme figures de l'espace a été entreprise par les grecs (en particulier \textsc{Apollonius}), elle a été renouvelée à la Renaissance par \textsc{La Hire} qui les a présentées comme des figures du plan sans référence à l'espace (présentation actuelle). \subsection{\'Equation polaire} \noindent L'équation polaire d'une conique dont le pôle coincide avec l'un des foyers est~: $$r=\frac{ep}{1-e\cos(\theta-\theta_{0})}$$ où $e$ est l'excentricité de la conique, $p$ la distance du foyer à la directrice et $\theta_{0}$ l'angle polaire de l'axe focal. \paragraph{Exemples.} La courbe d'équation $r=\frac1{1-\sin\theta}$ est un parabole, celle d'équation $r=\frac1{1+2\cos\theta}$ est une hyperbole (mais on obtient une seule branche). \subsection{\'Equation des tangentes} L'équation de la tangente au point $(x_{0},y_{0})$ des différentes coniques rapportées à leur repère propre se retrouve à l'aide de la \emph{règle du dédoublement}~: \begin{itemize} \item Parabole $2px=y^2$~, tangente : $p(x+x_{0})=yy_{0}$ \item Ellipse $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, tangente~: $\displaystyle \frac{xx_{0}}{a^2}+\frac{yy_{0}}{b^2}=1$. \item Hyperbole $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, tangente~: $\displaystyle \frac{xx_{0}}{a^2}-\frac{yy_{0}}{b^2}=1$. \end{itemize} \paragraph{Exemple.} La tangente à l'ellipse d'équation $4x^2+y^2=1$ au point de coordonnées $(\frac14,\frac{\sqrt3}2)$ à pour équation~: $x+\frac{\sqrt3}2y=1$.\\[0.3cm] Cette règle du dédoublement (substitutions~: $X^2\leftarrow XX_{0}$ et $2X\leftarrow X+X_{0}$) s'applique aux courbes du second degré en général (à démontrer !). \end{document}