%disposition standard pour les textes de devoirs \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[a4paper]{geometry} \usepackage{french,amssymb,amstex,amsfonts} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{lastpage} \textwidth17,9cm \textheight25,5cm \newcommand{\N}{\mathbb{N}}%ens. des entiers \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}%ens. des relatifs \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}%ens. des rationnels \newcommand{\R}{\mathbb{R}}%ens. des réels \newcommand{\C}{\mathbb{C}}%ens. des complexes \newcommand{\ROD}{\mbox{$\left(O,\vect{u},\vect{v}\right)$}}%repère orthon.direct \newcommand{\RON}{\mbox{$\left(O,\vect{i},\vect{j}\right)$}}%repère orthon \newcommand{\AXE}{\mbox{$\left(O,\vect{i}\right)$}}%axe (OI) \newcommand{\base}{\mbox{$\mathcal{B} = \left(\vect{i},\vect{j}\right)$}}%base des vecteurs du %%@ %plan \newcommand{\se}{\geqslant} \newcommand{\ie}{\leqslant} \def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}} \newcounter{num} \newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}\framebox{EXERCICE~\thenum~}} \newcommand{\pt}{\hspace*{0,5cm}$\bullet$\hspace*{0,2cm}} \newcommand{\disf}{\displaystyle\frac} % Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT) \def\figTR#1{} % Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer éventuellement les lignes % suivantes jusqu'à la section 4 \usepackage[dvips]{epsfig} % == Figure en taille fixee par l'utilisateur \def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}} \def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}} % == Figure en taille reelle \def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}} \def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}} %numérotation des pages par rapport à la dernière \makeatletter \renewcommand{\@evenfoot}% {\hfill page {\thepage}/\pageref{LastPage} \hfill} \renewcommand{\@oddfoot}{\@evenfoot} \makeatother %fin de la macro pour numéroter les pages \begin{document} \definecolor{gris}{gray}{0.8} \geometry{margin=1cm} \noindent \fcolorbox{black}{gris}{ \makebox[17,6cm][s]{ \textsl{Classe de 2 i}\hfill \textsl{\large{Corrigé du devoir N°13}}\hfill %(préciser) \textsl{Année scolaire 1998-1999}}}\\%indiquer l'année scolaire \begin{center} %à remettre le xx/xx/199x %date à indiquer %du xx/xx/199x(xx heure) \end{center} \exo \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Le système donné est successivement équivalent aux systèmes : $$\left\lbrace \begin{array}{l} x=7y-z-40\\ 3(7y-z-40)-y-z=20\\ 7y-z-40+y-z=-10 \end{array} \right. \quad \left\lbrace \begin{array}{l} x=7y-z-40\\ 10y-2z=70\\ 4y-z=15 \end{array} \right.$$ Puis aux systèmes : $$ \left\lbrace \begin{array}{l} x=7y-z-40\\ z=4y-15\\ 10y-2(4y-15)=70 \end{array} \right. \quad \left\lbrace \begin{array}{l} x=7y-z-40\\ z=4y-15\\ 2y=40 \end{array} \right. \quad \left\lbrace \begin{array}{l} y=20\\ z=65\\ x=35 \end{array} \right.$$ D'où $\mathcal{S}=\{(35;20;65)\}$. \item[\textbf{2.}] \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] \`A la fin de la première partie, $A$ et $B$, qui ont gagné, ont des avoirs %%@ doublés qui deviennent respectivement $2x$ et $2y$. \\ L'avoir de $C$, qui a perdu, est donc de %%@ $z-x-y$. \item[\textbf{b.}] \`A la fin de la deuxième partie, $B$ et $C$, qui ont gagné, ont des avoirs %%@ doublés qui deviennent respectivement $4y$ et $2(z-x-y)$.\\ L'avoir de $A$, qui a perdu, est %%@ donc de $2x-2y-(z-x-y)=3x-y-z$.\\[0,2cm] \`A la fin de la troisième partie, $A$ et $C$, qui ont gagné, ont des avoirs doublés qui %%@ deviennent respectivement $2(3x-y-z)$ et $4(z-x-y)$. \\ L'avoir de $B$, qui a perdu, est donc %%@ de $4y-(3x-y-z)-2(z-x-y)=-x+7y-z$. \item[\textbf{c.}] Les avoirs des trois joueurs sont identiques à la fin de cette troisième %%@ partie. On est alors conduit à résoudre le système : $$\left\lbrace \begin{array}{l} 6x-2y-2z=40\\ -x+7y-z=40\\ 4z-4x-4y=40 \end{array} \right.,$$ système équivalent au système : $$\left\lbrace \begin{array}{l} 3x-y-z=20\\ -x+7y-z=40\\ x+y-z=-10 \end{array} \right.$$ qui a été résolu à la première question.\\ Les avoirs respectifs des joueurs $A$, $B$ %%@ et $C$ au début du jeu sont donc de $35$ F, $20$ F et $65$ F. \end{enumerate} \end{enumerate} \exo \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] On note $\mathcal{A}(ABC)$ l'aire du triangle $ABC$.\\Si $M\in [OB]$, soit %%@ $0\ie x \ie 6$, $f(x)=\mathcal{A}(OMA)=\disf{1}{2}x$ ;\\ si $M\in [BC]$, soit $6\ie x \ie 10$, $f(x)=\mathcal{A}(OAB)+ \mathcal{A}(BAM) %%@ =3+\disf{1}{2}(x-6)\times4=2x-9$ ;\\ si $M\in [CD]$, soit $10\ie x \ie 16$, $f(x)=\mathcal{A}(OAB) + \mathcal{A}(BAC)+ %%@ \mathcal{A}(CAM) =11+\disf{1}{2}(x-10)\times3=\disf{3}{2}x-4$ ;\\ si $M\in [DO]$, soit $16\ie x \ie 20$, $f(x)= \mathcal{A}(OBCD)- \mathcal{A}(OAM) = 24-%%@ \disf{1}{2}(x-16)\times 2=x+4$. \item[\textbf{2.}] D'où le graphique :\\[0,5cm] \begin{center} \fig{0.8}{figdtln13.2.eps} \end{center} \item[\textbf{3.}] L'aire du rectangle est de $24$ unités d'aire : l'aire de chacun des %%@ domaines cités est donc de $8$ unités d'aire.\\ Soit $x_1$ l'abscisse de $M_1$. On cherche %%@ $x_1\in [6;10]$ tel que $f(x_1)=8$.\\ Soit $x_2$ l'abscisse de $M_2$. On cherche $x_2\in %%@ [10;16]$ tel que $\mathcal{A}(M_2AOD)=\mathcal{A}(OBCD)-f(x)=8$, c'est à dire $f(x_2)=16$.\\ Graphiqement on cherche les abscisses des points du graphique d'ordonnées $8$ et $16$ : on lit %%@ $x_1\approx 8,5$ et $x_2 \approx 13,4$.\\ Par le calcul :\\ \pt on résout $f(x)=8$ lorsque $x\in [6;10]$, soit $2x-9=8$. On trouve %%@ $x=8,5$, valeur qui appartient bien à l'intervalle $[6;10]$.\\ \pt on résout $f(x)=16$ lorsque $x\in [10;16]$, soit $\disf{3}{2}x-4=16$. On trouve %%@ $x=\disf{40}{3}$, valeur qui appartient bien à l'intervalle $[10;16]$. \end{enumerate} \exo \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Par théorème,\\ \pt $|x-2|\se 1 $ équivaut à $ x\ie 1\ \mathrm{ou}\ x\se %%@ 3$ ;\\ \pt $|x-2|\ie 4$ équivaut à $-2\ie x \ie 6$.\\ Les deux conditions précédentes seront %%@ donc simultanément vérifiées ssi $x\in [-2;1]\cup[3;6]$. \item[\textbf{b.}] La double inégalité donnée est équivalente à $|2x+3|\se2$ et $|2x+3|\ie %%@ 3$.\\ Par théorème, \\ \pt $|2x+3|\se 2 $ équivaut à $(2x\ie -5\ \mathrm{ou}\ 2x\se -1)$ %%@ équivaut à $(x\ie -\disf{5}{2}\ \mathrm{ou}\ x\se - \disf{1}{2})$ ;\\ \pt $|2x+3|\ie 3$ %%@ équivaut à $-6\ie 2x \ie 0$ équivaut à $-3\ie x \ie 0$.\\ Les deux conditions précédentes %%@ seront donc simultanément vérifiées ssi $x\in \left[-3;-\disf{5}{2}\right]\cup\left[-%%@ \disf{1}{2};0\right]$. \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] $|x+y-2| \ie 3$ équivaut à $-1\ie x+y \ie 5$ équivaut à $(y\se -x-1 \ %%@ \mathrm{et}\ y \ie -x+5)$.\\ $|2x-y-1| \se 2 $ équivaut à $ (2x-y \se -1\ \mathrm{ou}\ 2x-y \ie 3)$ équivaut à $(y\ie %%@ 2x+1 \ \mathrm{ou}\ y \se 2x-3)$.\\ En désignant par $(AD)$ et $(BC)$ les droites d'équations %%@ $y=-x-1$ et $y=-x+5$, par $(AB)$ et $(DC)$ les droites d'équations $y=2x+1$ et $y=2x-3$, les %%@ points $M$ cherchés sont ceux extérieurs au parallèlogramme $ABCD$ dans la bande limitée par %%@ $(AD)$ et $(BC)$. D'où le graphique. \begin{center} \fig{0.2}{figdtln13.3.eps} \end{center} \end{enumerate} \exo \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Pour $x \se 0$ et $y \se 0$, $|x|+|y|\ie 2$ équivaut à $x+y \ie 2$ %%@ équivaut à $y\ie -x+2$.\\ Les solutions sont les coordonnées des points intérieurs au triangle %%@ $OAB$ limité par les droites d'équations $x=0$, $y=0$ et $y=-x+2$. \begin{center} \fig{0.2}{figdtln13.4.eps} \end{center} \item[\textbf{2.}] Autres cas : \\ \pt si $x\se0$ et $y\ie 0$, $|x|+|y|\ie 2$ équivaut à $x-y %%@ \ie 2$ équivaut à $y\se x-2$ dont les solutions sont les coordonnées des points intérieurs au %%@ triangle limité par les droites d'équations $x=0$, $y=0$ et $y=x-2$ ; \\ \pt si $x\ie 0$ et $y\ie 0$, $|x|+|y|\ie 2$ équivaut à $-x-y \ie 2$ équivaut à $ y\se -x-2$ %%@ dont les solutions sont les coordonnées des points intérieurs au triangle limité par les %%@ droites d'équations $x=0$, $y=0$ et $y=-x-2$ ; \\ \pt si $x\ie0$ et $y\se 0$, $|x|+|y|\ie 2$ équivaut à $-x+y \ie 2$ équivaut à $ y\ie x+2$ dont %%@ les solutions sont les coordonnées des points intérieurs au triangle limité par les droites %%@ d'équations $x=0$, $y=0$ et $y=x+2$.\\ \item[\textbf{3.}] En résumé, les solutions de l'inéquation $|x|+|y|\ie 2$ sont les coordonnées %%@ des points intérieurs au carré $ABCD$ délimité par les quatre droites d'équations $y=-x+2$, %%@ $y=x-2$, $y=-x-2$ et $y=x=2$. D'où le graphique : \begin{center} \fig{0.2}{figdtln13.4.2.eps} \end{center} \end{enumerate} \end{document}