\exo{Calculs de minimum} Considérons~$\mathcal{C}([0,1], \RR)$, l'espace des fonctions continues de~$[0,1]$ vers~$\RR$, muni du produit scalaire~: $$ \ideng{f,g} = \int_0^1 f(t)g(t) dt $$ \q Soit~$F$ le sous-espace de~$\mathcal{C}([0,1], \RR)$ constitué des applications affines, c'est-à-dire~$F = \{t \mapsto at + b, \; (a,b) \in \RR^2\}$~; il s'agit de déterminer la valeur~$\min_{(a,b) \in \RR^2} \left\{ \int_0^1 (t^2 - at - b)^2 dt \right\}$. \subq Lier le minimum cherché à la distance d'un élément de~$\mathcal{C}([0,1], \RR)$ à~$F$. \subq Calculer une base orthonormée de~$F$. \subq Calculer~$\pi_F(t^2)$ le projeté orthogonal de la fonction~$t \mapsto t^2$ sur~$F$. \subq Conclure. \q Reprendre les questions précédentes, {\sl la dernière étant hors barême}, afin de déterminer la valeur~$\min_{(a,b,c) \in \RR^3} \left\{ \int_{0}^1 (t^3 - a t^2 - bt - c)^2 dt \right\}$. (penser à ré-investir vos calculs antérieurs). \ifwithcorrection \correction \q Il s'agit de déterminer~$\min_{(a,b) \in \RR^3} \left\{ \int_{0}^1 (t^2 - at - b)^2 dt \right\}$. \subq Ce minimum n'est rien d'autre que~$d(t^2, F)^2$ le carré de la distance de la fonction~$t \mapsto t^2$ au sous-espace~$F$. De plus, on sait que~$d(t^2, F) = \|t^2 - \pi_F(t^2)\|$, où~$\pi_F(t^2)$ désigne le projeté orthogonal de la fonction~$t \mapsto t^2$ sur~$F$. \subq Afin de calculer cette distance, on commence par déterminer, via le procédé d'orthognalisation de Schmidt, une base orthonormée de~$F$. Cela en passe par le calcul des quantités~: $$ \|1\| = 1 \qquad \|t\| = \frac{1}{\sqrt{3}} \qquad \ideng{1,t} = \frac{1}{2} \qquad \left\|t - \frac{1}{2}\right\| = \frac{1}{2\sqrt{3}} $$ Posons~$\varepsilon_1 = 1$ et~$\varepsilon_2 = \sqrt{3}(2t - 1)$ alors la famille~$\{\varepsilon_1, \varepsilon_2\}$ est une base orthonormée de~$F$. \subq On en déduit~$\pi_F(t^2)$ le projeté orthogonal de~$t^2$ sur~$F$~: $$ \pi_F(t^2) = \ideng{\varepsilon_1, t^2} \varepsilon_1 + \ideng{\varepsilon_2, t^2} \varepsilon_2 = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} \times \sqrt{3}(2t - 1) = t - \frac{1}{6} $$ \subq Le minimum cherché est donc~: $$ d(t^2, F)^2 = \|t^2 - \pi_F(t^2)\|^2 = \int_0^1 \left(t^2 - t + \frac{1}{6} \right)^2 dt = \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{4}{9} - \frac{1}{6} + \frac{1}{36} = \frac{1}{180} $$ \q Ré-investissons les calculs précédents~: par définition~$t^2 - \pi_F(t^2) \in F^\perp$ donc la famille~$\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, t^2 - t + \frac{1}{6}\}$ est orthogonale. Reste à l'orthonormaliser, ce qui revient à normaliser~$t^2 - t + \frac{1}{6}$. Mais on connaît cette norme puisque c'est~$d(t^2, F)$. Par conséquent la famille~$\{\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\}$, où~$\varepsilon_3 = \sqrt{5}(6t^2 - 6t + 1)$ est une base orthonormée de~$G$ le sous-espace vectoriel engendré par~$1, \, t$ et~$t^2$. Reste à calculer le projeté~$\pi_G(t^3)$ ce qui en passe par la détermination des produits scalaires~: $$ \ideng{t^3, \varepsilon_1} = \frac{1}{4} \qquad \ideng{t^3, \varepsilon_2} = \frac{3\sqrt{3}}{20} \qquad \ideng{t^3, \varepsilon_3} = \frac{\sqrt{5}}{20} $$ Par suite~: $$ \pi_G(t^3) = \frac{1}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{20} \times \sqrt{3}(2t - 1) + \frac{\sqrt{5}}{20} \times \sqrt{5}(6t^2 - 6t + 1) = \frac{3}{2} t^2 - \frac{3}{5} t + \frac{1}{20} $$ Enfin, on en déduit le second minimum~: $$ d(t^3, G)^2 = \|t^3 - \pi_G(t^3)\|^2 = \int_0^1 \left( t^6 - 3t^5 + \frac{69}{20}t^4 - \frac{19}{10} t^3 + \frac{51}{100} t^2 - \frac{3}{50} t + \frac{1}{400} \right) dt = \frac{1}{2800} $$ \fi