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Source de saisons3.tex

Fichier TeX
%&latex
%% Auteur : Jean-Michel Sarlat - 16 juin 2002
%% Reprise 29 janvier 2005 (fourier+pdflatex)
\documentclass[a4paper,12pt]{article}

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\input cadre.tex
\def\degre{\textrm{°}}
\everymath{\displaystyle}
\begin{document}
\begin{center}
    \textbf{Détermination des saisons (3)}\\
    \Large
    \textsf{Dates et durées des saisons}
\end{center}

Jusque là nous pouvions considérer la terre comme un point matériel or
c'est une sphère qui de plus est en rotation sur elle même (rotation 
\emph{diurne}). Son axe (supposé de direction fixe dans l'espace)
n'est pas perpendiculaire au plan de l'écliptique, il est 
perpendiculaire à un plan qui est le \emph{plan équatorial}, 
l'intersection de ces deux plans est la ligne des \emph{équinoxes} 
($\gamma$). 
\begin{center}
    \includegraphics[scale=0.6]{saisons3A-1.pdf}
\end{center}
Il y a quatre instants particuliers dans le mouvement relatif du 
soleil autour de la terre. Je vais les évoquer en partant de la 
direction du soleil mentionnée sur la figure (ou plutôt de la 
direction des rayons solaires), ils sont matérialisés par des segments 
verts sur l'orbite purement abstraite qui est grisée.
\begin{enumerate}
    \item  Le soleil passe pour la première fois sur la ligne des équinoxes.
    Nous allons supposer que, le temps d'un tour de la terre sur elle 
    même, il reste en cet endroit... Chaque point de la terre passe 
    alors autant de temps dans la zone éclairée par le soleil que dans 
    la zone non éclairée; c'est l'\emph{équinoxe de printemps}, c'est 
    à dire l'entrée dans le printemps pour l'hémisphère nord et dans
    l'automne pour l'hémisphère sud.
    \begin{center}
       \includegraphics[scale=0.6]{saisons3B-1.pdf}
    \end{center}
    Sur la figure précédente les lignes grises représentent les 
    trajectoire de points liés à la terre, à des latitudes 
    différentes, dans la rotation diurne. Cette figure correspond à la 
    vue que l'on a de la terre en ce situant dans le plan équatorial 
    de la terre en \emph{quadrature}\footnote{L'angle 
    soleil-terre-observateur est droit.} avec le soleil.
    \item  Le soleil traverse pour la première fois le plan 
    perpendiculaire à l'écliptique et contenant les pôles de la terre.
    C'est le \emph{solstice d'été}, entrée dans l'été au nord et dans 
    l'hiver au sud.
    \begin{center}
       \includegraphics[scale=0.6]{saisons3B-2.pdf}
    \end{center}
    \item  Le soleil passe pour la seconde fois par la ligne des 
    équinoxes, c'est la situation symétrique de la première et les 
    saisons s'inversent entre hémisphère sud et hémisphère nord. C'est 
    l'\emph{équinoxe d'automne}.
    \item  Le soleil traverse pour la seconde fois le plan 
    perpendiculaire à l'écliptique et contenant les pôles, c'est le 
    \emph{solstice d'hiver}, moment où les «journées» sont les plus 
    courtes au nord alors qu'elles sont les plus longues au sud.
    \begin{center}
       \includegraphics[scale=0.6]{saisons3B-3.pdf}
    \end{center}
\end{enumerate}
Revenons à nos calculs, les choses se présentent ainsi:
    \begin{center}
       \includegraphics[scale=0.6]{saisons3C-1.pdf}
    \end{center}
La longitude $\ell$ du soleil est mesurée à partir du point $\gamma$ 
(équinoxe de printemps), elle 
est donc liée à l'angle $v$ et à la longitude $\varpi$ du périgée que 
l'on supposera constante dans les calculs à venir.
$$\ell = v + \varpi$$

Pour déterminer la date des saisons et, par voie de conséquence, leur 
durée il suffit de déterminer les instants $t$ pour lesquels on a:
$$v=-\varpi\quad v = 90\degre -\varpi\quad v = 180 -\varpi\quad 
v=270-\varpi$$

La situation proposée jusqu'à maintenant est «simpliste», hypothèse 
képlérienne du mouvement elliptique de la terre autour du soleil (en 
faisant comme si le soleil et la terre étaient seules au monde), 
fixité de l'axe de rotation de la terre (comme si la terre était une 
sphère parfaite ne subissant aucun \emph{couple} affectant la 
position de cet axe -- \emph{précession luni-solaire}); en réalité les 
choses sont plus compliquées que cela ! Nous pouvons toutefois nous 
fonder sur les formules vues jusqu'à maintenant pour effectuer des 
calculs dans la mesure ou ils n'embrassent pas une période de temps trop 
grande.

En interrogeant le serveur d'\emph{éphémérides} du 
\textsc{Bureau Des 
Longitudes}\footnote{\url{http://www.bdl.fr}} nous avons 
des données fiables, prenant en compte tous les effets négligés.

\begin{center}
    \begin{tabular}{|r|l|}
        \hline
        Jour (à 0h 0m 0s) & Longitude du soleil  \\
        \hline
        1 janvier 2002 & $280\degre 21' 34''$ \\
        \hline
        11 janvier 2002 & $290\degre 33' 2''$ \\
        \hline
        21 janvier 2002& $300\degre 44' 13''$  \\
        \hline
        31 janvier 2002& $310\degre 53' 58''$  \\
        \hline
        10 février 2002& $321\degre 2' 13''$  \\
        \hline
        20 février 2002& $331\degre 8' 27''$  \\
        \hline
        30 février 2002& $341\degre 11' 45''$  \\
        \hline
    \end{tabular}\\
    Table des longitudes du soleil
\end{center}

Nous allons aussi simplier la relation entre $v$ et $M$, c'est à dire 
entre l'anomalie vraie et l'anomalie moyenne.
% Question 6
\cadre{\linewidth}{10pt}{1pt}{\it\textbf{Question 6}}{
Montrer
$$\sin(v-u)=\frac{e\sin u-\left(1-\sqrt{1-e^2}\right)\sin u\cos u}{1-e\cos u}$$
En déduire, l'excentricité $e$ étant petite, qu'en tronquant au 
premier ordre du développement limité de $u$ selon la variable $e$, 
nous avons:
$$v\approx M+2e\sin M$$
Quel lien peut-on faire entre le résultat précédent et la méthode 
utilisée à la question 5 pour résoudre l'équation de Képler?
}

Utilisons cette formule pour une première détermination.
% Question 7
\cadre{\linewidth}{10pt}{1pt}{\it\textbf{ Question 7 }}{
À partir de la table des longitudes du soleil et sachant que le 
passage du soleil au périgée a eu lieu le 2 janvier à 14 heures
estimer la longitude du périgée $\varpi$ en vous aidant de 
l'approximation ci-dessus. Vous choisirez une valeur positive comprise 
entre 0° et 360°. À titre d'indication cette longitude était égale à 
282°4.5' en 1950.}

Maintenant tous les éléments sont là pour que vous puissiez déterminer
avec une \emph{précision toute relative} la date et la durée des saisons 
pour l'année 2002.

Il est à noter que beaucoup d'éléments, en particulier l'unité de 
temps, n'ont pas été précisés, je m'en suis tenu à leur définition 
immédiate, celle que nous partageons. Or il y a beaucoup à dire et, là 
encore, rien n'est absolument figé.

\begin{center}\large
    Bon courage pour la fin des calculs et à bientôt pour une nouvelle 
    série!
\end{center}
\end{document}