\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\everymath{\displaystyle}
\begin{document}
\begin{center}
\textbf{Détermination des saisons (1)}\\
\Large
\textsf{Mouvement du soleil en longitude}
\end{center}
On admet depuis \textsc{Copernic} que la terre tourne autour du
soleil et \textsc{Kepler} à précisé les lois de ce mouvement. Il est
immédiat que le mouvement relatif du soleil par rapport à la terre
suit les mêmes lois, en particulier:
\begin{itemize}
\item Le soleil décrit une ellipse dont la terre occupe l'un des
foyers, ce mouvement est «contenu» dans le plan de
l'\emph{ecliptique}.
\item La vitesse \emph{aréolaire} du mouvement est constante,
les aires balayées par le segment terre-soleil pendant des durées
égales sont égales.
\end{itemize}
Voici la représentation que nous adopterons:
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.75]{saisons1A-1.pdf}
\end{center}
L'origine $O$ du repère est au centre du cercle principal de l'ellipse
décrite par le soleil. La terre est en $T$, l'axe $(OT)$ est la
\emph{ligne des apsides}, le point $P$ de l'ellipse sur cette ligne,
le plus proche de $T$, est le \emph{périgée}, le point $A$ le plus
éloigné de $T$ est l'\emph{apogée}. Le soleil est en $S$, son mouvement
est direct.\\
L'ellipse est caractérisée par son \emph{demi-grand axe} ($a$), son
\emph{demi-petit axe} ($b$) et son \emph{excentricité} ($e$). Ces
quantités sont définies à partir des éléments de la figure par:
$$a=OA=BT\quad b=OB \quad e = \frac{OT}{OA}$$
La relation $OA=BT$ est celle qui permet, une ellipse étant donnée
avec ses axes, de retrouver les foyers.\\
L'ellipse se déduit du cercle principal par l'\emph{affinité} d'axe
$(Ox)$ et de rapport $\frac{b}{a}$
$$(x,y)\longmapsto (x,\frac{b}{a}y)$$
\cadre{\linewidth}{10pt}{1pt}{\it\textbf{ Question 1 }}{
Montrer que l'on a: $b=a\sqrt{1-e^2}$
}
Sur la figure apparaît un \emph{soleil excentré} $S'$, il a la même
abscisse que $S$ mais est situé sur le cercle principal, il suit donc
le \emph{soleil vrai} $S$ dans son mouvement. Ce point $S'$ va nous
servir pour établir quelques relations, en particulier la relation
entre $r$ et $v$ qui caractérisent la position de $S$
\cadre{\linewidth}{10pt}{1pt}{\it\textbf{ Question 2 }}{
Établir les formules suivantes:
$$x_{S}=a\cos u,\quad y_{S} = b\sin u = a\sqrt{1-e^2}\sin u$$
$$r\cos v = x_{S}-ae=a(\cos u - e),\quad r\sin v = y_{S}=a\sqrt{1-e^2}\sin u$$
$$r=a(1-e\cos u)$$
$$\cos v=\frac{\cos u - e}{1-e\cos u},\quad
\sin v=\frac{\sqrt{1-e^2}\sin u}{1-e\cos u}$$
$$r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos v}$$
}
Quelques données numériques:\\
-- l'\emph{unité astronomique} (UA) est égale à 149 597 870 km,\\
-- le demi-grand axe de l'orbite terrestre ($a$) est égale à 1 UA,\\
-- l'excentricité de l'orbite terrestre est égale à 0.017,\\
-- la \emph{révolution sidérale} de la terre est 365.256 jours.
\begin{center}
Prochain épisode (2) : l'équation de \textsc{Kepler}
\end{center}
\end{document}
