%@P:exocorcp %@Dif:3 {\em Les questions sont indépendantes.} \begin{myenumerate} \item Soit $RST$ un triangle tel que $RS=\sqrt{45}$, $ST=3\sqrt5$, $TR=\sqrt{90}$. Quelle est la nature de ce triangle ? \item Calcule et donne le résultat sous la forme d'un entier relatif ou d'une fraction irréductible : \[A=\left(2+3\sqrt5\right)\left(2-3\sqrt5\right)\kern2cm B=\frac{3\sqrt{45}}{6\sqrt{20}}\] \item \'Ecris le nombre $E$ sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers. \[E=\sqrt{75}-2\sqrt{12}+2\sqrt{27}\] \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item On a $RS=\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=\sqrt9\times\sqrt5=3\sqrt5$.\\Donc le triangle $RST$ est isocèle en $S$. \par{\em Est-il rectangle ?} Dans le triangle $RST$, $[RT]$ est le plus grand côté. \[\left.\begin{array}{l} RT^2=\sqrt{90}^2=90\\ \\ RS^2+ST^2=\sqrt{45}^2+\left(3\sqrt5\right)^2=45+9\times5=45+45=90\\ \end{array} \right\}RT^2=RS^2+ST^2 \] Comme $RT^2=RS^2+ST^2$ alors le triangle $RST$ est rectangle en $S$ d'après la réciproque du théorème de Pythagore. \item \[ \Eqalign{ A&=\left(2+3\sqrt5\right)\left(2-3\sqrt5\right)\kern2cm&B&=\frac{3\sqrt{45}}{6\sqrt{20}}\cr A&=2^2-\left(3\sqrt5\right)^2&B&=\frac{3\times\sqrt{9\times5}}{6\times\sqrt{4\times5}}\cr A&=4-9\times5&B&=\frac{3\times\sqrt9\times\sqrt5}{6\times\sqrt4\times\sqrt5}\cr A&=4-45&B&=\frac{3\times3\times\sqrt5}{6\times2\times\sqrt5}\cr A&=-41&B&=\frac9{12}\cr &&B&=\frac34\cr } \] \item \[\begin{array}{l} \sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=\sqrt{25}\times3=5\sqrt3\\ 2\sqrt{12}=2\times\sqrt{4\times3}=2\sqrt4\times\sqrt3=2\times2\times\sqrt3=4\sqrt3\\ 2\sqrt{27}=2\times\sqrt{9\times3}=2\times\sqrt9\times\sqrt3=2\times3\times\sqrt3=6\sqrt3\\ \end{array} \] Donc \[ \Eqalign{ E&=\sqrt{75}-2\sqrt{12}+2\sqrt{27}\cr E&=5\sqrt3-4\sqrt3+6\sqrt3\cr E&=7\sqrt3\cr } \] %@Commentaire: Exercice assez complet sur l'utilisation des racines carrées. \end{myenumerate}