%@P:exocorcp %@Auteur:d'après \url{http://serge.mehl.free.fr/exos/proba2.html}\par Un sac opaque contient 10 jetons numérotés de 0 à 9, indiscernables au toucher : c'est dire que chaque jeton tiré du sac à {\em la même probabilité} d'apparaître. En procédant à trois tirages successifs d'un jeton en remettant un jeton précédemment tiré, on s'intéresse à la formation de nombres de 3 chiffres : le chiffre des centaines étant le 1er jeton tiré, le chiffre des dizaines est le second, le chiffre des unités est le dernier. Par exemple, si on sort le 8 puis le 1 puis le 4, on formera 814. \begin{myenumerate} \item Recopie et complète les phrases suivantes (aucune justification n'est demandée) : \begin{quote} Au 1\ier\ tirage, il y a \dotfill possibilités pour le chiffre des \dotfill \`A chacun de ces \dotfill cas je peux associer \hbox to4cm{\dotfill} possibilités pour le choix des dizaines car on \dotfill le 1\ier\ jeton dans le \dotfill Ceci me donne déjà $\ldots\ldots\times\ldots\ldots=\ldots\ldots$ possibilités de formation des deux premiers chiffres. Au 3\ieme\ tirage, il me reste \hbox to2cm{\dotfill} jetons dans le sac. Par conséquent à chacun des \dotfill cas déjà dénombrés, je peux associer \dotfill tirages possibles. J'ai donc en tout $\ldots\times\ldots=\ldots$ possibilités de former un nombre de \dotfill chiffres. \end{quote} {\em \textdbend Dans toute la suite, on donnera les probabilités sous forme de fractions irréductibles.} \item Les deux premiers tirages ont donné deux chiffres impairs. Quelle est la probabilité de tirer un nombre pair au 3\ieme\ tirage ? \item Karim a procédé à un tirage des trois jetons et s'étonne d'avoir tiré 1-2-3 dans cet ordre. Quelle est donc la probabilité de tirer successivement trois chiffres consécutifs en croissant ou décroissant ? \item \`A quelle condition un nombre est-il divisible par 5 ? Quelle est la probabilité de former un nombre divisible par 5 ? \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item Au 1\ier\ tirage, il y a 10 possibilités pour le chiffre des centaines. \`A chacun de ces 10 cas je peux associer 10 possibilités pour le choix des dizaines car on remet le 1\ier\ jeton dans le sac. Ceci me donne déjà $10\times10=100$ possibilités de formation des deux premiers chiffres. Au 3\ieme\ tirage, il me reste 10 jetons dans le sac. Par conséquent à chacun des 100 cas déjà dénombrés, je peux associer 10 tirages possibles. J'ai donc en tout $10\times100=1\,000$ possibilités de former un nombre de 3 chiffres. \item Au 3\ieme\ tirage, il reste 10 jetons dans le sac. Comme chiffre pair, il reste : 0 2 4 6 8. Les jetons sont indiscernables au toucher. La probabilité cherchée est donc : \[p =\frac{\mbox{nombre de cas favorables}}{\mbox{nombre de cas possibles}}=\frac5{10}=\frac12\] \item Dénombrons les cas (favorables) où l'on obtient des chiffres consécutifs : il peuvent commencer par 0, ou 1, ou 2, ou 3, ou\ldots, ou 7 en croissant : de 0 1 2 à 7 8 9 : 8 cas ou bien en sens inverse : 8 autres cas de 9 8 7 à 3 2 0 . La probabilité cherchée est donc : \[p=\frac{\mbox{nombre de cas favorables}}{\mbox{nombre de cas possibles}}=\frac{16}{1\,000}=\frac2{125}\] \item Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5. Il y a zéro dans le sac. Par conséquent le dernier chiffre tiré : \begin{itemize} \item est soit le 5 : le même raisonnement qu'à la question 1 conduit à dire qu'il y a $10\times10=100$ façons de tirer les deux premiers jetons ($10\times10$ car les jetons tirés sont remis). On peut donc former 100 nombres se terminant par 5. \item est soit le 0 : le même raisonnement qu'à la question 1 conduit à dire qu'il y a $10\times10=100$ façons de tirer les deux premiers jetons ($10\times10$ car les jetons tirés sont remis). On peut donc former 100 nombres se terminant par 0. \end{itemize} La probabilité cherchée est donc : \[p=\frac{\mbox{nombre de cas favorables}}{\mbox{nombre de cas possibles}}=\frac{200}{1\,000}=\frac15\] \end{myenumerate}